수학 개념 지도

수학 개념 지도

개념 하나를 한 페이지에서, 끌 수 있는 그림과 함께 다룹니다. 본문의 파란 링크에 마우스를 올리면 그 개념이 그림째로 떠오르고, 링크를 따라가면 이웃 개념으로 이어집니다.

미적분⁠(calculus)⁠, 삼각함수⁠(trigonometric function)⁠, 확률과 통계⁠(probability and statistics)⁠, 선형대수⁠(linear algebra)⁠, 집합론⁠(set theory)⁠, 정수론⁠(number theory)⁠은 따로 떨어진 과목이 아니라 서로 얽힌 하나의 지도입니다. 소수⁠(prime number)⁠의 분포를 적분⁠(integral)⁠이 설명하고, 확률⁠(probability)⁠에서 π가 나오며, 행렬⁠(matrix)⁠의 고유벡터⁠(eigenvector)⁠가 황금비⁠(golden ratio)⁠와 마르코프 연쇄⁠(Markov chain)⁠의 끝을 알려 줍니다.

긴 글

미분에서 회전까지 · 1편 · 미분 순간의 속도 속도계는 '지금 이 순간'의 속도를 보여 준다. 순간에는 시간이 흐르지 않는데, 무엇을 재는 걸까? 미분에서 회전까지 · 2편 · 적분 거리를 되찾기 속도계 기록만 남았다. 차가 어디까지 갔는지 되찾을 수 있을까? 미분에서 회전까지 · 3편 · 테일러 급수 한 점에서 전부를 한 점에서의 값과 기울기, 휘는 정도만으로 함수 전체를 다시 그릴 수 있을까? 미분에서 회전까지 · 4편 · 오일러 공식 원을 그리는 지수함수 지수함수에 허수를 넣으면 원이 된다. 가장 유명한 등식은 어디서 왔을까? 미분에서 회전까지 · 5편 · 복소수와 행렬 곱셈은 회전이다 복소수를 곱하는 일과 행렬로 평면을 돌리는 일은 같은 일이다. 확률 도박판에서 온 편지 1654년, 도중에 멈춘 내기의 판돈을 어떻게 나눌까? 두 수학자가 주고받은 편지에서 확률론이 태어났다. 소수 소수를 세는 사람들 소수는 제멋대로 흩어져 있는 것 같다. 그런데 멀리서 세어 보면 로그가 보인다. 정수론과 암호 나머지로 지키는 비밀 한 번도 만난 적 없는 두 사람이 모두가 엿듣는 통신망에서 비밀 열쇠를 맞출 수 있을까? 답은 시계의 산수와 1640년 페르마의 정리에 있다. 집합론 무한에도 크기가 있다 자연수와 짝수는 어느 쪽이 많을까? 칸토어는 무한을 세는 법을 찾았고, 무한이 하나가 아님을 보였다. 삼각함수 원에서 파동으로 별의 위치를 재던 현의 표가 사인이 되고, 열의 흐름을 풀던 푸리에가 모든 파동을 사인으로 쪼갰다. 최소제곱과 선형대수 잃어버린 소행성 1801년, 발견 몇 주 만에 태양 뒤로 사라진 세레스. 스물네 살의 가우스는 흩어진 관측값에서 궤도를 되찾았다. 비유클리드 기하 평행선의 반란 유클리드의 다섯 번째 공준은 2,000년 동안 증명되지 않았다. 증명을 포기한 사람들이 찾은 것은 새로운 우주였다. 그래프 이론 일곱 다리의 도시 쾨니히스베르크의 일곱 다리를 한 번씩만 건너 산책할 수 있을까? 오일러는 지도를 지우고 점과 선만 남겼다. 혼돈 나비의 날갯짓 방정식이 정해져 있으면 미래도 정해질까? 소수점 아래 몇 자리를 버린 계산이 날씨 예보의 한계를 드러냈다. 통계와 인과 담배와 폐암 상관관계는 인과관계가 아니라고들 한다. 그렇다면 담배가 폐암을 일으킨다는 것은 어떻게 알게 되었을까? 거리와 유사도 까마귀와 택시 까마귀는 곧장 날고 택시는 블록을 돌아간다. '얼마나 먼가'에는 답이 하나가 아니고, 어떤 거리를 고르느냐가 통계와 기계 학습의 답을 바꾼다. 계산 이론 기계가 풀 수 없는 문제 모든 수학 문제를 기계적으로 풀 수 있을까? 러셀의 역설에서 괴델과 튜링까지, 그 질문에 대한 답은 '아니오'였고, 그 증명이 컴퓨터를 낳았다. 계산언어학 말을 세는 기계 문법은 규칙일까, 확률일까? 파니니의 문법에서 촘스키의 위계, 섀넌의 영어 엔트로피, 오늘날의 언어 모델까지. 조합론 세지 않고 세기 시의 운율을 세던 인도의 운율학자부터 오일러의 생성함수까지. 하나하나 늘어놓지 않고 경우의 수를 세는 법은 어떻게 자라났을까? 매칭과 흐름 짝을 찾는 알고리즘 의대 졸업생과 병원, 신장 기증자와 환자, 철도와 화물. 누구를 누구와 이을지 정하는 수학은 냉전의 철도 지도에서 노벨 경제학상까지 이어진다. 램지 이론 완전한 무질서는 없다 여섯 명이 모이면 서로 아는 세 사람이나 서로 모르는 세 사람이 반드시 있다. 충분히 크면 어디에나 질서가 숨어 있다는 이론과, 그것을 동전 던지기로 증명한 에르되시. 알고리즘과 복잡도 줄 세우기의 한계 카드 천 장을 가장 빨리 줄 세우는 방법은? 인구조사의 천공 카드에서 퀵정렬까지, 그리고 어떤 방법도 넘을 수 없는 n log n의 벽. 정보 이론과 압축 짧게 보내기 모스 부호는 왜 E를 점 하나로 보낼까? 섀넌의 엔트로피가 정한 압축의 한계와, 허프만 부호에서 JPEG까지 그 한계에 다가간 방법들. 통신과 잡음 잡음 너머로 대서양 바닥의 케이블은 왜 신호를 뭉갰을까? 잡음이 있어도 오류 없이 보낼 수 있다는 섀넌의 정리와, 그 한계를 50년 동안 쫓은 부호들. 신경망과 기계 학습 배우는 기계 예를 보여 주면 규칙을 스스로 찾는 기계. 1958년의 퍼셉트론에서 오늘의 심층 신경망까지, 그 밑바닥에는 미분과 연쇄법칙이 있다. 타입 이론과 범주론 증명은 프로그램이다 러셀의 역설을 막으려던 '타입'이 프로그램의 실수를 막는 장치가 되었다. 명제를 타입으로, 증명을 프로그램으로 읽으면 둘이 규칙 하나하나까지 맞아떨어진다. 오늘날 수학자들은 그 사실로 컴퓨터에게 증명을 검사받는다. 언어 모델 다음 단어를 맞히는 기계 다음 낱말을 짐작하는 일만으로 어디까지 갈 수 있을까? 마르코프의 글자 세기에서 섀넌의 추측 게임, 트랜스포머와 규모의 법칙, 사람의 선호까지. 밑바닥에는 확률의 곱셈 규칙과 로그 하나가 있고, 그 수학은 모델이 왜 그럴듯하게 틀리는지도 말해 준다. 역문제 거꾸로 푸는 문제는 왜 어려운가 원인에서 결과를 계산하기는 쉽다. 흐린 사진, CT, 블랙홀 사진은 왜 결과에서 원인을 되찾기 어려웠을까? 작은 특잇값이 잡음을 키우는 벽과, 정규화·릿지 회귀·베이즈 사전확률이 사실은 같은 처방이라는 이야기. 라플라시안 라플라시안, 가장 많이 재사용된 식 이웃의 평균에서 나를 뺀다. 이 한 줄이 열의 법칙이고, 도박꾼이 이길 확률이고, 전기 회로와 나무 세기이고, 북의 음색이고, 사진의 윤곽선이고, 그래프를 가르는 칼이고, 잡음에서 그림을 빚는 확산 모델의 밑그림이다. 측정의 수학 재는 순간 바뀐다 해안선의 길이는 자에 따라, 평균은 누구에게 묻느냐에 따라, 지표는 목표가 되는 순간 달라진다. 리처드슨의 국경과 프랙털 차원, 스티븐스의 척도, 버스 정류장과 타율의 역설, 스피어먼의 요인, 굿하트의 법칙과 보상 해킹을 한 줄로 꿴다. 게임과 증명 이기는 쪽이 존재한다 "이 판은 백이 이겼다"는 흑이 어떻게 두든 백에게 답이 있다는 말이다. 체스의 체르멜로 정리, ε–δ, 님의 이진법, 폰 노이만의 최소최대와 쌍대성, 논리의 한계를 재는 게임, 끝나지 않는 게임과 선택공리, 대화로 읽는 증명, 겨루며 배우는 신경망까지. 수학의 참을 두 사람의 게임으로 읽는다. 수학의 오류 틀린 증명이 만든 수학 틀린 증명은 흔하다. 드물게, "정확히 어디가 틀렸는가"라는 물음이 새 분야를 낳는다. 코시의 합 정리와 균등 수렴, 라메의 증명과 아이디얼, 켐프의 사슬, 푸앵카레의 회수된 논문과 혼돈, 프레게의 법칙과 러셀의 편지, 보예보츠키와 증명 보조기까지. 오류는 대개 서로 다른 두 가지를 하나로 여긴 자리에 있었다. 불가능성 정리 불가능의 증명 각의 삼등분, 5차방정식의 근의 공식, 모든 파일을 줄이는 압축, 멈춤을 판정하는 프로그램, 공정한 투표 규칙. 없다는 것은 어떻게 증명할까? 서로 먼 분야의 불가능성 증명들은 거의 모두 불변량, 세기, 대각선이라는 세 가지 무기 가운데 하나를 쓴다. 반환과 동적 계획법 같은 계산, 다른 덧셈 가장 짧은 길, 길의 가짓수, 가장 그럴듯한 해석, 갈 수 있는지 없는지. 따로 태어난 알고리즘들이 사실은 한 계산이고, 달라지는 것은 더하기와 곱하기 자리에 무엇을 넣느냐뿐이다. 그렇게 바꿔 넣어도 되는 까닭은 분배법칙 하나다. 압축과 과학 압축하는 것이 이해하는 것이다 튀코 브라헤가 20년 동안 적은 행성의 위치를 케플러는 법칙 세 줄로 줄였다. 짧게 적는 일과 이해하는 일은 정말 같은 일일까? 오컴의 면도날을 비트로 재는 법, 과적합을 압축의 실패로 읽는 법, 그리고 그 말이 정리인 곳과 철학인 곳. 범주론 화살표만으로 본 수학 최대공약수와 교집합과 '그리고'는 같은 것이고, 화살표를 뒤집으면 최소공배수와 합집합과 '또는'이 된다. 무엇으로 만들었는지 묻지 않고 어떻게 이어지는지만 보는 언어로, '자연스럽다'는 말의 뜻, 관계만으로 대상을 알아보는 요네다의 생각, 함자로 본 연쇄법칙, 어디에나 있는 수반까지 사이트의 여러 분야를 가로지른다.

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기초(Basics)

  • 함수(Function)입력 하나에 출력 하나를 정해 주는 규칙. 그래프는 모든 (입력, 출력) 쌍을 한꺼번에 그린 그림이다.
  • 기울기(Slope)직선이 가로로 1만큼 갈 때 세로로 얼마나 오르는가. 오른 양 ÷ 간 거리.
  • 극한(Limit)입력이 어떤 값에 한없이 다가갈 때 출력이 다가가는 값. 그 점에서 계산할 수 없어도 존재할 수 있다.
  • 벡터(Vector)크기와 방향을 가진 양. 화살표로 그리고, 이어 붙여 더하고, 수를 곱해 늘인다.
  • 수 체계: 자연수에서 실수까지(Number systems: from natural numbers to real numbers)셈하는 수 1, 2, 3, …에서 출발해, 뺄셈이 늘 되도록 정수를, 0이 아닌 수로 나누는 나눗셈이 늘 되도록 유리수를, 항끼리 한없이 가까워지는 수열이 늘 극한을 갖도록 실수를 만든다. 단계마다 앞 단계에서 막히던 계산이 풀린다.
  • 다항식(Polynomial)변수의 거듭제곱에 수를 곱해 더한 식. n차 다항식은 복소수 범위에서 중근을 겹쳐 세어 정확히 n개의 근을 갖고, x좌표가 다른 n + 1개의 점을 지나는 n차 이하 다항식은 하나뿐이다.

집합론(Set theory)

  • 집합(Set)어떤 것들을 모은 한 묶음. 무엇이 들어 있는지(원소인지 아닌지)만이 그 집합을 정한다.
  • 집합의 연산(Set operations)두 집합에서 새 집합을 만드는 방법들. 합집합(또는), 교집합(그리고), 차집합(빼고), 여집합(아닌 것).
  • 포함배제 원리(Inclusion–exclusion principle)겹치는 집합들의 합집합 크기를 세는 법: 하나씩 더하고, 둘씩 겹친 것을 빼고, 셋씩 겹친 것을 다시 더한다.
  • 단사·전사·전단사(Injection, surjection, bijection)함수가 서로 다른 입력을 서로 다른 곳으로 보내면 단사, 모든 곳에 닿으면 전사, 둘 다면 전단사(일대일대응)이다.
  • 집합의 크기(Cardinality)두 집합 사이에 짝짓기(전단사)가 있으면 크기가 같다. 무한집합에서는 부분이 전체와 같은 크기일 수 있다.
  • 가산 집합(Countable set)자연수와 일대일로 짝지을 수 있는(하나씩 번호를 붙여 나열할 수 있는) 무한집합. 유리수 전체도 가산이다.
  • 칸토어의 대각선 논법(Cantor's diagonal argument)0과 1의 무한한 줄들을 어떻게 나열해도, 대각선의 숫자를 모두 뒤집으면 목록에 없는 줄이 나온다. 그래서 실수는 셀 수 없다.
  • 멱집합(Power set)한 집합의 모든 부분집합을 모은 집합. 원소가 n개면 부분집합은 2ⁿ개이고, 각 부분집합은 n자리 이진수와 짝지어진다.
  • 칸토어 집합(Cantor set)구간에서 가운데 3분의 1을 끝없이 지워 남은 점들. 전체 길이는 0인데 점은 실수만큼이나 많다.
  • 비둘기집 원리(Pigeonhole principle)n개의 칸에 n개보다 많은 물건을 넣으면 어떤 칸에는 반드시 두 개 이상이 들어간다. 당연한 말이 놀라운 결론을 만든다.
  • 동치관계와 분할(Equivalence relations and partitions)'같다고 봐도 되는' 관계. 반사·대칭·추이를 만족하면 집합이 서로 겹치지 않는 덩어리(동치류)로 나뉜다.
  • 연속체 가설(Continuum hypothesis)자연수보다 크고 실수보다 작은 크기의 집합은 없다는 가설. 보통 쓰는 집합론의 공리(ZFC)로는 증명도 반증도 할 수 없다.
  • 대수적 수와 초월수(Algebraic and transcendental numbers)0이 아닌 정수 계수 다항식의 근이 되는 수가 대수적 수, 그렇지 않은 수가 초월수다. 대수적 수는 셀 수 있으므로 초월수는 셀 수 없이 많고, 길이로 재도 실수의 거의 전부다.
  • 칸토어 함수(Cantor function)칸토어 집합 위에서만 오르는 연속 계단 함수. 거의 모든 점에서 기울기가 0인데도 0에서 1까지 오른다.
  • 측도 0(Measure zero)길이의 합을 얼마든지 작게 만들 수 있는 구간들로 덮이는 집합. 셀 수 있는 집합은 모두 측도 0이고, 셀 수 없는 칸토어 집합도 측도 0이다.
  • 기술 집합론(Descriptive set theory)실수의 집합 가운데 구간에서 출발해 셀 수 있는 번의 합집합·여집합·그림자(사영)로 '적어 낼 수 있는' 것들을 층층이 분류하고, 그 층마다 측도와 크기 같은 좋은 성질이 어디까지 성립하는지 묻는 분야.
  • 게임의 결정성(Determinacy of games)두 사람이 모든 것을 보며 번갈아 두는 게임에서 어느 한쪽에 반드시 이기는 전략이 있는 성질. 비김 없이 반드시 끝나는 게임은 늘 결정되지만(체르멜로), 끝없이 이어지는 게임은 선택공리 아래에서 결정되지 않을 수 있고, 어떤 게임까지 결정되는지가 집합론의 공리와 큰 무한의 문제로 이어진다.

정수론(Number theory)

  • 소수와 에라토스테네스의 체(Primes and the sieve of Eratosthenes)1과 자기 자신으로만 나누어지는 1보다 큰 자연수. 작은 소수의 배수를 차례로 지우면 남는 수들이다.
  • 소인수분해(Prime factorization)1보다 큰 모든 자연수는 소수들의 곱으로 쓸 수 있고, 그 방법은 순서를 빼면 오직 하나뿐이다.
  • 최대공약수와 유클리드 호제법(GCD and the Euclidean algorithm)두 수의 최대공약수는 큰 수를 작은 수로 나눈 나머지로 바꿔 가며 구한다. 직사각형을 정사각형으로 채우는 그림과 같다.
  • 연분수(Continued fraction)수를 정수 부분 + 1/(나머지)로 계속 풀어 쓴 표현. 중간에서 끊으면 그 크기의 분모로 만들 수 있는 가장 좋은 유리 근사가 나온다.
  • 무리수(Irrational number)두 정수의 비 p/q로 쓸 수 없는 수. 소수 전개로 쓰면 끝나지도 반복되지도 않는다. 대표적인 예가 √2이다.
  • 피보나치 수열(Fibonacci sequence)앞의 두 수를 더해 다음 수를 만드는 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, …. 이웃한 두 항의 비는 황금비로 수렴한다.
  • 황금비(Golden ratio)φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618. φ² = φ + 1을 만족하고, 연분수가 [1; 1, 1, …]이라 분수로 가장 근사하기 어려운 무리수이다.
  • 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)위의 두 수를 더해 아래 수를 만드는 삼각형. n번째 줄의 수는 n개 중 k개를 고르는 방법의 수 C(n, k)이다.
  • 진법(Positional notation)자리마다 밑 b의 거듭제곱을 곱해 수를 쓰는 방법. 같은 수를 2진법, 10진법, 16진법으로 다르게 적을 수 있다.
  • 모듈러 연산(Modular arithmetic)n으로 나눈 나머지만 보고 계산하는 산술. 수직선을 n칸짜리 시계로 감아 버린 셈이다.
  • 원 위의 곱셈표(Times tables on a circle)원 둘레의 N개 점에서 k번 점을 m·k번 점과 이으면 곱셈표 하나가 그림이 된다. m = 2는 카디오이드, m = 3은 신장형 곡선.
  • 오일러 피 함수와 페르마 소정리(Euler's totient function and Fermat's little theorem)φ(n)은 1부터 n까지 n과 서로소인 수의 개수. n과 서로소인 a를 그런 수들에 곱하면 그 수들이 같은 길이의 고리로 나뉘고, 그래서 a^φ(n) ≡ 1 (mod n)이다.
  • RSA 암호(RSA cryptosystem)누구나 잠글 수 있지만 두 소수를 아는 사람만 열 수 있는 자물쇠. 오일러 정리로 m^(ed) ≡ m이 되게 지수 e, d를 고른다.
  • 소수 정리(Prime number theorem)x 이하의 소수 개수 π(x)를 x/ln x로 나눈 비는 x가 커질수록 1로 간다. x 근처의 수 가운데 소수가 차지하는 비율은 약 1/ln x이다.
  • 울람 나선(Ulam spiral)자연수를 나선으로 감고 소수에만 점을 찍으면 대각선 줄무늬가 드러난다. 그 줄은 소수를 유난히 많이 품은 2차식이다.
  • 피타고라스 세 쌍(Pythagorean triples)a² + b² = c²을 만족하는 자연수 세 쌍. 가우스 정수 m + ni를 제곱하면 나오고, 단위원 위의 유리점과 일대일로 대응한다.
  • 바젤 문제(Basel problem)1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6. 1부터 N까지에서 두 수를 고르게 뽑을 때 서로소일 확률은 N이 커질수록 이 수의 역수 6/π²로 간다.
  • 원시근(Primitive root)거듭제곱하면 p로 나눈 나머지 1, 2, …, p − 1을 빠짐없이 한 번씩 도는 밑. 곱셈을 시계 위의 덧셈으로 바꿔 준다.
  • 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)m과 n이 서로소이면 'm으로 나눈 나머지'와 'n으로 나눈 나머지'의 짝이 0부터 mn − 1까지의 수를 하나씩 정확히 가리킨다.
  • 디피–헬먼 키 교환(Diffie–Hellman key exchange)공개된 통로로 g^a, g^b mod p만 주고받아 두 사람이 같은 비밀 g^(ab)를 갖게 되는 방법. 지수를 되찾는 이산로그를 빠르게 푸는 방법이 알려져 있지 않다는 데 기댄다.
  • 소수 판정(Primality test)큰 수 n이 소수인지 가리는 방법. 나눠 보기는 √n까지 해야 하지만, 페르마 소정리를 거꾸로 쓰면 인수를 몰라도 합성수임을 들킬 수 있다.
  • 쌍둥이 소수(Twin primes)차이가 2인 소수의 쌍(3과 5, 11과 13, 17과 19, …). 끝없이 많을 것이라 믿지만 아직 증명되지 않았다.
  • 해밍 거리(Hamming distance)길이가 같은 두 문자열에서 서로 다른 자리의 개수. 부호어끼리 해밍 거리를 벌려 두면 잡음에 뒤집힌 비트를 찾아 고칠 수 있다.
  • 군연산 하나가 정해진 집합으로, 결합법칙이 성립하고 항등원이 있고 모든 원소에 역원이 있는 것. 도형의 대칭, 시계의 덧셈, 카드 섞기가 모두 군이다.
  • 정수론(Number theory)정수의 성질, 곧 나누어떨어짐·소수·나머지·정수 해를 묻는 수학. 가장 쉬운 질문에서 가장 어려운 정리가 나오며, 오늘날에는 암호의 바탕이다.
  • 유일 인수분해와 아이디얼(Unique factorization and ideals)소인수분해가 한 가지뿐이라는 성질은 수의 세계마다 따로 증명해야 하는 정리다. a + b√−5 꼴의 수에서는 6 = 2·3 = (1 + √−5)(1 − √−5)처럼 깨지고, 수 대신 아이디얼로 쪼개면 다시 한 가지가 된다.
  • 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem)n이 3 이상이면 xⁿ + yⁿ = zⁿ을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 없다. 17세기 페르마가 책 여백에 적은 주장이 1994년 와일스와 테일러의 증명으로 정리가 되었다.

삼각함수(Trigonometric function)

복소수(Complex number)

  • 복소수(Complex number)실수부와 허수부를 가진 수 a + bi. 평면 위의 점이자 화살표이며, 더하기는 벡터 더하기와 같다.
  • 허수 단위 i(Imaginary unit i)제곱해서 −1이 되는 수. 곱하면 평면을 90° 돌린다. 두 번 돌리면 180°, 곧 −1배다.
  • 극형식(Polar form)복소수를 원점에서의 거리 r과 각도 φ로 적는 방법. z = r(cos φ + i sin φ) = r·eⁱᵠ.
  • 복소수 곱셈(Complex multiplication)복소수 w를 곱하면 평면 전체가 arg w만큼 돌고 |w|배 늘어난다. 모양(각도)을 보존하는 선형변환이다.
  • 오일러 공식(Euler's formula)eⁱᶿ = cos θ + i sin θ. eˣ의 급수에 iθ를 넣으면 항들이 90°씩 꺾이며 단위원 위의 점으로 모인다.
  • 도메인 컬러링(Domain coloring)복소함수를 보는 방법. 각 점 z를 f(z)의 각도(색)와 크기(밝기 띠)로 칠한다. 계산은 GPU가 픽셀마다 한다.
  • 영점과 극(Zeros and poles)함숫값이 0이 되는 점(영점)과 무한대로 치솟는 점(극). 도메인 컬러링에서 색이 한 바퀴 도는 중심이다.
  • 망델브로 집합(Mandelbrot set)z ↦ z² + c를 0부터 반복해도 무한대로 달아나지 않는 복소수 c들의 집합. 단순한 규칙에서 끝없이 복잡한 경계가 나온다.
  • 1의 거듭제곱근(Roots of unity)zⁿ = 1의 해 n개. 단위원 위에 정n각형으로 놓인다. 두 근을 곱하면 각도가 더해져서, 근의 번호로 보면 n에 닿으면 0으로 돌아가는 시계 덧셈(n을 법으로 하는 덧셈)이 된다.
  • 리만 제타 함수(Riemann zeta function)ζ(s) = 1 + 1/2ˢ + 1/3ˢ + ⋯. 소수에 대한 곱으로도 쓸 수 있어서, 복소평면 위 이 함수의 영점들이 소수의 분포를 결정한다.
  • 사원수(Quaternion)복소수를 넓혀 허수 단위 셋 i, j, k를 둔 네 성분의 수. 곱하는 순서를 바꾸면 값이 달라지며, 크기 1인 사원수 하나로 3차원 회전을 나타낼 수 있다.

급수(Series)

  • 테일러 급수(Taylor series)한 점에서의 미분값들로 만든 다항식. 수렴반경 안에서는 대개 차수를 올릴수록 원래 함수에 가까워지지만, 급수가 함수와 같다는 보장은 없다.
  • 지수함수 eˣ(Exponential function eˣ)기울기가 언제나 자기 높이와 같은 함수. 미분해도 그대로이고, 1에서 시작한다.
  • 수렴반경(Radius of convergence)테일러 급수가 수렴하는 범위의 반지름. 중심에서 가장 가까운 복소평면의 특이점까지의 거리와 같다(1/(1+x²)처럼 특이점이 극뿐이면 가장 가까운 극까지의 거리).
  • 등비급수(Geometric series)매번 같은 비율 r을 곱해 가며 끝없이 더한 합. |r| < 1이면 1/(1−r)로 수렴한다.
  • 조화급수(Harmonic series)1 + 1/2 + 1/3 + ⋯은 항이 0으로 가는데도 발산한다. 합은 ln n만큼, 아주 느리게 끝없이 자란다.
  • 스털링 공식(Stirling's formula)n!은 √(2πn)·(n/e)ⁿ과 비율 1로 가까워진다. ln n!을 ln x의 리만 합으로 보면 뼈대가, 가우스 적분에서 상수 √(2π)가 나온다.
  • 깁스 현상(Gibbs phenomenon)불연속 점 근처에서 푸리에 부분합이 절벽 높이의 약 9%만큼 튀어나오는 현상. 항을 늘리면 뿔은 좁아질 뿐 낮아지지 않는다.
  • 급수의 수렴과 발산(Convergence and divergence of series)무한히 많은 수의 합은 앞에서부터 n개까지 더한 부분합의 극한으로 정의한다. 부분합이 한 값에 한없이 다가가면 수렴, 그렇지 않으면 발산이다.

미적분(Calculus)

  • 평균변화율(Average rate of change)구간 양 끝의 출력 차이를 입력 차이로 나눈 값. 곡선 위 두 점을 잇는 할선의 기울기.
  • 미분계수(Derivative)평균변화율에서 구간 h를 0으로 보낸 극한. 곡선의 한 점에서의 기울기, 접선의 기울기.
  • 국소 선형성(Local linearity)미분 가능한 점에서 곡선을 충분히 확대하면 직선과 구별되지 않는다. 그 직선이 접선이다.
  • 도함수(Derivative function)각 점의 미분계수를 모아 만든 새 함수. 원래 함수가 가파른 곳에서 크고, 평평한 곳에서 0이다.
  • 리만 합(Riemann sum)구간을 n조각으로 나누고 각 조각을 직사각형(높이 = 한 점의 함숫값)으로 바꿔 더한 값. 넓이의 근사.
  • 정적분(Definite integral)곡선과 x축 사이의 부호 있는 넓이. 리만 합에서 조각을 무한히 잘게 한 극한.
  • 미적분의 기본정리(Fundamental theorem of calculus)연속함수 f에 대해, 고정된 점 a부터 x까지의 넓이 A(x)를 미분하면 f(x)가 된다. 적분과 미분은 서로를 되돌린다.
  • 연속성(Continuity)입력을 조금만 움직이면 출력도 조금만 움직인다. 점 a에서의 극한값이 함숫값과 같을 때 연속이다.
  • 중간값 정리(Intermediate value theorem)닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수가 a에서 음수, b에서 양수이면 그 사이 어딘가에서 반드시 0이 된다. 반씩 잘라 찾을 수 있다.
  • 연쇄법칙(Chain rule)함수를 합성하면 배율도 이어서 곱해진다. f가 x에서, g가 f(x)에서 미분 가능하면 합성함수의 미분계수는 각 단계 미분계수의 곱이다.
  • 뉴턴 방법(Newton's method)곡선을 접선으로 바꿔 그 접선의 0점으로 건너뛰기를 되풀이해 근을 찾는다. 복소평면에서 돌리면 확대해도 끝없이 복잡한 경계(프랙털)가 나온다.
  • 최적화(Optimization)미분 가능한 함수의 가장 크거나 작은 값은 기울기가 0인 곳이나 구간의 끝에서 나온다. 그래서 도함수의 0점을 찾는 문제가 된다.
  • 자연로그(Natural logarithm)eˣ를 되돌리는 함수이자, 곡선 1/t 아래 1부터 x까지의 넓이. 곱셈을 덧셈으로 바꾼다.
  • 가우스 적분(Gaussian integral)종 모양 곡선 e^(−x²) 아래 넓이는 √π. 2차원으로 올려 원 둘레로 쌓으면 π가 나오는 것이 비밀이다.
  • 점별 수렴과 균등 수렴(Pointwise and uniform convergence)함수열이 점마다 따로 다가가는 것(점별 수렴)과 모든 점이 한꺼번에 다가가는 것(균등 수렴)의 차이. 균등 수렴의 극한은 연속성을 물려받고, 길이가 유한한 곳에서는 측도로 잴 수 있는 함수열이라면 작은 조각만 빼면 점별 수렴이 균등 수렴이 된다(예고로프 정리).
  • 르베그 적분과 측도(Lebesgue integral and measure)넓이를 세로 막대가 아니라 가로 층으로 잘라 재는 적분. 층마다 'f가 이 높이 이상인 점들의 집합'의 길이(측도)가 필요하고, 그 덕분에 거친 함수도 적분하고 극한과 적분의 순서를 넓게 바꿀 수 있다.
  • 근사 이론(Approximation theory)복잡한 함수를 다항식처럼 계산하기 쉬운 함수로, 구간 전체에서 가장 큰 오차가 가장 작도록 바꾸는 방법과 그 한계를 다루는 분야. 연속함수는 다항식으로 얼마든지 가깝게 근사할 수 있고(바이어슈트라스), 가장 좋은 근사의 오차는 같은 크기로 번갈아 흔들린다(체비쇼프).
  • 변분법(Calculus of variations)수 하나가 아니라 곡선이나 함수 전체를 바꿔 가며, 거기서 계산되는 양(시간, 길이, 넓이, 작용)을 가장 작게 또는 가장 크게 만드는 방법.
  • 기울기 벡터와 야코비 행렬(Gradient and Jacobian)변수가 여러 개인 함수의 미분. 출력이 수 하나면 각 변수로 편미분한 값을 모은 기울기 벡터가 가장 가파르게 오르는 방향과 빠르기를 가리키고, 출력도 여러 개면 그 기울기들을 쌓은 야코비 행렬이 한 점 근처에서 함수를 흉내 내는 선형변환이 된다.
  • 볼록 함수와 볼록 최적화(Convex function and convex optimization)그래프 위의 어느 두 점을 이어도 그 선분이 그래프 아래로 내려가지 않는 함수. 이런 함수에서는 극소가 곧 최소이고, 미분 가능하면 기울기가 0인 곳이 곧 가장 낮은 곳이라, 최적화를 믿고 풀 수 있다.
  • 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier)조건을 지키며 무언가를 최대나 최소로 만드는 방법. 최적점에서는 목표의 등고선이 제약 곡선에 스치므로 두 기울기 벡터가 평행하다(∇f = λ∇g, 단 ∇g ≠ 0일 때). 승수 λ는 제약의 수준 c를 조금 바꿀 때 최적값이 변하는 비율이다.
  • 라플라시안과 그래프 라플라시안(Laplacian and graph Laplacian)'이웃의 평균 − 나'를 재는 연산. 연속인 공간에서는 이계 편도함수의 합 Δu = u_xx + u_yy + …이고, 그래프에서는 부호를 바꾼 행렬 L = D − A이다. 열, 확산, 무작위 행보, 전기 회로, 진동 모드, 그래프 군집에 모두 나온다.
  • 조화 함수와 디리클레 문제(Harmonic function and the Dirichlet problem)라플라시안이 0인 함수, 곧 모든 점의 값이 둘레(이웃)의 평균과 같은 함수. 봉우리도 골짜기도 없어 가장 큰 값과 작은 값을 경계에서 가지며, 유계 영역에서는 경계값을 정하면 (해가 있을 때) 하나로 정해진다(디리클레 문제).

미분방정식(Differential equation)

  • 선형 미분방정식(Linear differential equation)속도가 위치에 행렬을 곱한 것으로 주어지는 운동 x' = Ax. 행렬의 고유값이 운동의 모양(나선, 원, 안장)을 정한다.
  • 열방정식(Heat equation)온도가 오르는 빠르기가 온도 곡선의 휘어진 정도(이계 도함수)와 같다는 방정식 u_t = u_xx. 사인 모양은 모양을 지킨 채 e^(−k²t)로 식는다.
  • 파동방정식(Wave equation)가속도가 휘어진 정도에 비례한다는 방정식 u_tt = c²u_xx. 해는 양쪽으로 달리는 두 진행파의 합이자, sin kx·cos kct 꼴 정상파(모드)들의 합이다.
  • 로지스틱 사상(Logistic map)x → r·x(1−x)를 되풀이하는 규칙. 성장률 r를 올리면 수렴, 주기 배가, 혼돈이 차례로 나타난다.
  • 분기(Bifurcation)매개변수가 조금 변하는 사이에 평형점이나 주기 궤도의 개수와 안정성이 갑자기 바뀌는 현상.
  • 혼돈(Chaos)규칙은 완전히 결정되어 있는데도, 유한한 영역 안에서 초기값의 작은 차이가 지수적으로 커지고 궤도가 뒤섞여 장기 예측이 불가능해지는 운동.
  • 로렌츠 끌개(Lorenz attractor)대기의 대류를 세 변수로 줄인 미분방정식의 해가 그리는 나비 모양 궤적. 대부분의 궤적은 되풀이되지 않으면서도 유한한 영역을 벗어나지 않는다.
  • 고정점(Fixed point)f(x) = x인 점. f가 연속이면 같은 규칙을 되풀이해 다가가는 곳은 언제나 고정점이며, 그 근처에서 |f′| < 1이면 끌어당기고 |f′| > 1이면 밀어낸다.
  • 동역학계(Dynamical system)지금의 상태와, 상태가 어떻게 바뀌는지 정하는 규칙의 짝. 규칙을 한 걸음씩 되풀이하거나(반복) 연속으로 흘려(미분방정식) 미래를 만든다.
  • 삼체 문제(Three-body problem)서로 끌어당기는 세 물체가 어떻게 움직이는지 묻는 문제. 둘일 때는 뉴턴이 완전히 풀었지만, 셋이 되면 보존량이 모자라 적분으로 풀어 내는 일반 공식이 없고(모든 시각에서 수렴하는 급수 해는 있지만 쓸 수 없을 만큼 느리다), 운동이 혼돈이 될 수 있다.

선형대수(Linear algebra)

확률과 통계(Probability and statistics)

  • 확률(Probability)일어날 수 있는 모든 결과의 집합(표본공간) 가운데 어떤 사건이 차지하는 몫. 넓이의 비율로 보면 가장 쉽다.
  • 조건부 확률(Conditional probability)B가 일어났다는 것을 알 때 A의 확률. 표본공간을 B로 좁히고 그 안에서 A가 차지하는 몫을 다시 잰다.
  • 베이즈 정리(Bayes' theorem)결과(양성)에서 원인(병)의 확률을 거꾸로 구하는 공식. 드문 원인은 정확한 검사로도 쉽게 뒤집히지 않는다.
  • 기댓값(Expected value)확률로 가중한 평균. 확률분포를 막대 무게로 놓았을 때 시소가 수평을 이루는 받침점이다.
  • 분산과 표준편차(Variance and standard deviation)값들이 평균에서 얼마나 퍼져 있는가. 평균과의 차이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 평균이 분산, 그 정사각형의 한 변이 표준편차다.
  • 이항분포(Binomial distribution)성공 확률 p인 시행을 n번 했을 때 성공 횟수의 분포. 골턴 보드에서 공이 떨어지는 칸의 분포와 같다.
  • 정규분포(Normal distribution)평균 μ를 중심으로 표준편차 σ만큼 퍼진 종 모양 분포. 서로 독립인 작은 요인이 많이 더해지면, 어느 하나가 압도하지 않는 한 합이 이 모양에 가까워진다.
  • 중심극한정리(Central limit theorem)분포가 같고 서로 독립이며 분산이 유한한 확률변수를 많이 평균 내어 표준화하면, 원래 분포가 무엇이든 표준정규분포에 가까워진다.
  • 큰 수의 법칙(Law of large numbers)같은 실험을 서로 독립으로 많이 반복하면, 기댓값이 있는 한 결과의 평균은 기댓값에 가까워진다. 분산이 유한하면 흔들림의 폭은 반복 횟수의 제곱근에 반비례해 줄어든다.
  • 몬테카를로 방법(Monte Carlo method)무작위 점을 많이 뿌려 그중 조건을 만족하는 비율로 넓이, 적분, 확률을 어림하는 방법. 정사각형 속 사분원으로 π를 잴 수 있다.
  • 뷔퐁의 바늘(Buffon's needle)간격 d인 평행선 위에 길이 l ≤ d인 바늘을 던지면 선과 만날 확률이 2l/(πd)다. 바늘을 던지는 것만으로 π를 잴 수 있다.
  • 무작위 행보(Random walk)매 걸음 동전을 던져 앞뒤로 한 칸씩 움직이는 운동. 평균적으로는 제자리지만, 퍼지는 폭은 걸음 수의 제곱근만큼 자란다.
  • 마르코프 연쇄(Markov chain)다음 상태의 확률이 오직 지금 상태에만 달린 과정. 상태가 유한하고 모든 상태를 오갈 수 있으며 주기가 없으면, 확률 분포에 전이 행렬을 거듭 곱할 때 처음과 상관없이 고유값 1의 고유벡터(정상 분포)로 수렴한다.
  • 최소제곱 회귀(Least-squares regression)점들 사이를 가장 잘 지나는 직선. '잘'의 기준은 세로 오차의 제곱 합이 최소인 것이고, 그 직선은 투영으로 한 번에 구해진다.
  • 주성분 분석(Principal component analysis)데이터가 가장 넓게 퍼진 방향을 찾는 방법. 그 방향들은 공분산 행렬의 고유벡터이고, 퍼진 정도(분산)는 고유값이다.
  • 생일 문제(Birthday problem)23명만 모여도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 절반을 넘는다. 사람 수가 아니라 짝의 수가 늘어나기 때문이다.
  • 이항계수(Binomial coefficient)n개 가운데 k개를 고르는 방법의 수 C(n, k). 격자에서 오른쪽 k번, 위로 n−k번 가는 최단 경로의 수이자 (a+b)ⁿ을 전개한 계수이다.
  • 도박꾼의 파산(Gambler's ruin)k닢으로 시작해 한 판에 한 닢씩 주고받을 때 N닢에 먼저 닿을 확률. 공정한 게임이면 k/N이고, 조금만 불리해도 파산이 거의 확실해진다.
  • 중앙값(Median)값들을 크기순으로 늘어놓았을 때 한가운데 오는 값. 거리의 합 Σ|x−c|를 가장 작게 하며, 평균과 달리 이상값에 거의 흔들리지 않는다.
  • 상관관계(Correlation)두 변수가 함께 변하는 정도. 상관계수 r은 −1에서 1 사이의 수로 직선적인 관계의 세기와 방향을 재며, 인과관계와는 다르다.
  • 평균으로의 회귀(Regression to the mean)극단적인 값이 나온 다음에는 평균에 더 가까운 값이 나오기 쉬운 현상. 두 측정의 상관이 완전하지 않으면 언제나 생기며, 어떤 힘이나 원인이 아니다.
  • 심슨의 역설(Simpson's paradox)부분마다 성립하는 경향이 부분들을 합치면 뒤집히는 현상. 부분의 크기 비율이 집단마다 다를 때, 가중 평균이 만들어 낸다.
  • 교란 변수(Confounding variable)원인 후보와 결과 모두에 영향을 주어 둘 사이에 가짜 연관을 만드는 제3의 변수. 그 변수를 고정하고 보면 가짜 연관이 사라진다.
  • 무작위 대조 시험(Randomized controlled trial)처치를 받을 사람을 동전 던지기처럼 무작위로 정해, 교란을 끊고 처치의 인과 효과를 재는 실험.
  • 은닉 마르코프 모델(Hidden Markov model)보이지 않는 상태가 마르코프 연쇄를 따라 바뀌고, 우리는 상태에 따라 확률적으로 나오는 관측만 보는 모델. 관측열로부터 가장 그럴듯한 숨은 상태열을 비터비 알고리즘으로 찾는다.
  • 통계학(Statistics)자료를 모아 몇 개의 수로 요약하고, 일부(표본)를 보고 전체(모집단)를 짐작하며, 눈에 보이는 차이가 우연인지 가리는 학문. 답과 함께 그 답이 얼마나 틀릴 수 있는지를 말하는 것이 핵심이다.
  • 확률변수(Random variable)우연한 실험의 결과 하나하나에 수를 하나씩 붙이는 규칙(함수). 결과는 우연이지만 규칙은 정해져 있으므로, 그 수가 각 값을 가질 확률, 곧 분포와 기댓값을 계산할 수 있다.
  • 최대가능도법(Maximum likelihood)관찰한 자료를 가장 그럴듯하게 만드는 모수를 고르는 추정법. 모수를 고정하고 자료의 확률을 묻는 대신, 자료를 고정한 채 그 확률을 모수의 함수(가능도)로 읽어 가장 큰 곳을 찾는다.
  • 굿하트의 법칙(Goodhart's law)어떤 측정값을 목표로 삼아 압박하면, 그 측정값과 원래 목표 사이의 관계가 무너지는 경향. 정리가 아니라 경험에서 나온 경고이고, 회귀·극단·인과·적대의 네 가지 메커니즘으로 나누어 볼 수 있다.

기하(Geometry)

  • 평행선 공준(Parallel postulate)직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선은 하나뿐이다. 유클리드의 다섯 번째 공준을 같은 뜻으로 바꿔 쓴 문장.
  • 쌍곡기하(Hyperbolic geometry)평행선이 무수히 많고 삼각형 내각의 합이 180°보다 작은 기하.
  • 구면기하(Spherical geometry)대원이 직선 역할을 하고, 평행선이 없으며 삼각형 내각의 합이 180°보다 큰 기하.
  • 가우스 곡률(Gaussian curvature)곡면 위에서만 재어도 알 수 있는 휘어짐. 삼각형 내각의 합이 180°에서 벗어나는 정도.
  • 푸앵카레 원판(Poincaré disk)쌍곡평면 전체를 원판 안에 담은 모형. 직선은 경계에 수직인 원호.
  • 측지선(Geodesic)곡면 위에서 좌우로 꺾지 않고 곧게 가는 길, 곧 곡면의 '직선'. 가까운 두 점 사이에서는 가장 짧은 길이다.
  • 거리 함수(Metric)음수가 아니고 같을 때만 0이며, 대칭이고, 삼각부등식을 지키는 두 점 사이의 함수. 이 세 규칙만 지키면 무엇이든 거리라 부를 수 있다.
  • 유클리드 거리(Euclidean distance)두 점을 잇는 곧은 선분의 길이. 좌표 차이의 제곱을 모두 더해 제곱근을 씌운 값으로, 피타고라스 정리가 몇 차원으로든 그대로 늘어난 것이다.
  • 맨해튼 거리(Manhattan distance)가로 차이와 세로 차이를 더한 거리. 바둑판처럼 반듯한 길만 따라 달리는 택시의 거리다.
  • 체비쇼프 거리(Chebyshev distance)좌표 차이 가운데 가장 큰 것. 체스판의 킹이 한 칸에서 다른 칸까지 가는 데 드는 최소 수이고, p를 한없이 키운 Lp 거리의 극한이다.
  • Lp 노름(Lp norm)성분 크기의 p제곱을 더해 p제곱근을 씌운 벡터의 크기. p = 1이면 맨해튼, p = 2면 유클리드, p → ∞이면 체비쇼프 거리가 되고, 단위원의 모양이 p에 따라 바뀐다.
  • 보로노이 다이어그램(Voronoi diagram)평면을 가장 가까운 기준점별로 나눈 지도. 어떤 거리로 재느냐에 따라 경계의 모양이 달라진다.
  • 하버사인 공식(Haversine formula)위도와 경도만으로 지구 위 두 점 사이의 대원 거리를 구하는 공식. hav θ = sin²(θ/2)을 쓰면 가까운 두 점에서도 자릿수를 잃지 않는다.
  • 위상수학(Topology)늘이고 구부리고 짓눌러도 찢거나 붙이지만 않으면 변하지 않는 성질(이어져 있음, 구멍의 수, 오일러 지표)을 다루는 기하학. 거리 대신 '열린 집합'만으로 가까움과 연속을 말한다.
  • 사영기하(Projective geometry)그림자와 원근법에서도 변하지 않는 것, 곧 점이 직선 위에 있는지와 네 점의 복비만 남기는 기하학. 평행선도 무한히 먼 한 점에서 만난다고 보면 '두 점은 한 직선을, 두 직선은 한 점을 정한다'가 예외 없이 성립하고, 점과 직선이 서로 자리를 바꿀 수 있다.
  • 원뿔곡선(Conic section)원뿔을 평면으로 자른 곡선. 초점까지의 거리와 준선까지의 거리의 비(이심률) e가 1보다 작으면 타원, 1이면 포물선, 1보다 크면 쌍곡선이며, 행성과 혜성의 궤도(다른 천체의 영향을 무시할 때), 거울과 안테나의 모양이 모두 이 곡선이다.
  • 일반 상대성 이론(General relativity)중력은 힘이 아니라 질량과 에너지가 만든 시공간의 휘어짐이고, 자유롭게 움직이는 물체는 그 안에서 가장 곧은 길(측지선)을 따라간다는 아인슈타인의 1915년 이론.
  • 작도 가능한 수(Constructible number)길이 1인 선분에서 출발해 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 그릴 수 있는 길이. 사칙연산과 제곱근을 몇 번이고 거듭해 얻는 수와 정확히 같아서, 차수가 2의 거듭제곱인 대수적 수만 작도된다. 그래서 ∛2(정육면체 두 배), cos 20°(60°의 삼등분), √π(원의 넓이)는 작도할 수 없다.
  • 라돈 변환과 CT(Radon transform and computed tomography)평면 위의 함수를 모든 직선을 따라 적분한 값들의 표. 라돈은 1917년 이 표에서 함수를 되찾는 공식을 찾았고, CT 스캐너는 X선이 몸을 지나며 약해진 정도로 이 표를 재어 단면을 계산한다.
  • 프랙털 차원(Fractal dimension)크기를 줄여 가며 도형을 덮을 때 필요한 조각 수가 늘어나는 빠르기로 잰 차원. 선분 1, 정사각형 2와 같은 규칙으로 재면 코흐 곡선은 약 1.26, 칸토어 집합은 약 0.63이 된다.
  • 가우스–보네 정리(Gauss–Bonnet theorem)곡면 위 삼각형의 각의 합이 180°에서 벗어난 양은 그 안의 곡률을 모두 더한 값과 같다. 닫힌 곡면 전체의 곡률을 더하면 2π × 오일러 지표가 된다.

그래프 이론(Graph theory)

  • 그래프점(꼭짓점)과 그 사이를 잇는 선(변)으로 관계만 남긴 구조. 어디에 어떻게 그리든, 누가 누구와 이어졌는지만이 그래프를 정한다.
  • 오일러 경로(Euler path)그래프의 모든 변을 꼭 한 번씩 지나는 길. 변들이 한 덩어리로 이어져 있을 때, 홀수 차수 꼭짓점이 0개면 제자리로 돌아오는 회로가, 2개면 그 둘을 잇는 경로가 있고, 그 밖에는 없다.
  • 4색 정리(Four color theorem)나라마다 땅이 한 덩어리인 평면 지도라면, 경계선을 나누는 이웃끼리 다른 색이 되도록 네 가지 색만으로 칠할 수 있다. 1976년 컴퓨터의 도움으로 처음 증명되었다.
  • 최단 경로(Shortest path)변마다 길이(가중치)가 붙은 그래프에서 두 점을 잇는 가장 짧은 길. 길이가 음수가 아니면, 가까운 곳부터 차례로 거리를 확정해 나가는 다익스트라 알고리즘으로 찾는다.
  • 좁은 세상(Small world)이웃끼리 촘촘히 뭉친 연결망에 멀리 가는 지름길을 조금만 섞어도 두 점 사이의 평균 거리가 크게 줄어, 연결망이 커져도 크기의 로그 정도로만 자라는 현상.
  • 페이지랭크(PageRank)링크를 무작위로 따라가다 가끔 아무 데로나 순간이동하는 사람이 각 페이지에 머무는 시간의 비율로 매긴 중요도. 순간이동까지 넣은 전이 행렬(구글 행렬)의 고유값 1에 대한 고유벡터이다.
  • 편집 거리(Edit distance)한 문자열을 다른 문자열로 바꾸는 데 필요한 삽입·삭제·치환의 최소 횟수(레벤시테인 거리). 표를 한 칸씩 채우는 동적 계획법으로 구한다.
  • 트리(Tree)순환 없이 하나로 이어진 그래프. 꼭짓점이 n개면 변은 정확히 n−1개이고, 어떤 두 점 사이에도 길이 꼭 하나뿐이다.
  • 최소 신장 트리(Minimum spanning tree)모든 점을 잇는 트리 가운데 변 길이의 합이 가장 작은 것. 가장 짧은 변부터 순환을 만들지 않게 고르는 욕심쟁이 방법(크러스컬)이 정확한 답을 준다.
  • 홀의 정리(Hall's theorem)두 무리를 짝지을 때 한쪽 모두에게 짝을 줄 수 있으려면, 그쪽의 어떤 k명을 골라도 그들이 받아들일 상대가 합쳐서 k명 이상이어야 하고, 그것으로 충분하다.
  • 최대 흐름 최소 절단 정리(Max-flow min-cut theorem)관 네트워크로 출발점에서 도착점까지 보낼 수 있는 최대 흐름은, 두 점을 가르는 가장 좁은 절단의 용량과 같다. 증가 경로를 찾아 흐름을 늘려 가면 둘이 만난다.
  • 안정 매칭(Stable matching)서로 지금 짝보다 서로를 더 좋아하는 두 사람이 없는 짝짓기. 게일–섀플리의 '청혼과 보류' 알고리즘이 언제나 찾아 주며, 청혼하는 쪽에 유리하다.

데이터와 학습(Data and learning)

  • 마할라노비스 거리(Mahalanobis distance)데이터의 퍼짐과 상관을 고려한 거리. 공분산 행렬이 늘이고 돌려 놓은 공간을 되돌린(백색화한) 뒤 잰 유클리드 거리로, 평균에서 '표준편차 몇 개만큼' 떨어졌는지를 여러 차원에서 잰다.
  • 코사인 유사도(Cosine similarity)두 벡터 사이 각의 코사인. 길이는 무시하고 방향만 비교하므로, 문서·추천·임베딩처럼 '얼마나 많이'보다 '무엇에 관한 것인가'가 중요한 곳에서 쓴다.
  • 최근접 이웃 분류(K-nearest neighbors classification)새 점과 가장 가까운 k개의 예를 찾아 다수결로 이름표를 정하는 분류 방법. 예를 모두 기억해 둘 뿐 따로 학습하지 않고, 무엇을 '가깝다'고 할지는 거리 함수가 정한다.
  • k-평균 군집(K-means clustering)점들을 k개의 무리로 나누되, 각 점과 그 무리 중심 사이 거리 제곱의 합이 작아지도록 '가장 가까운 중심에 배정'과 '중심을 평균으로 옮기기'를 되풀이하는 방법.
  • 차원의 저주(Curse of dimensionality)차원이 높아지면 공간이 기하급수적으로 넓어져 데이터가 텅 빈 듯 흩어지고, 거의 모든 점 사이 거리가 비슷해져 '가깝다'는 말이 힘을 잃는 현상.
  • 최적 수송(Optimal transport)한 분포의 질량을 다른 분포의 모양으로 옮기는 데 드는 최소 비용(옮긴 양 × 옮긴 거리). 그 최솟값이 두 분포 사이의 거리, 바서슈타인 거리가 된다.
  • 자카드 지수(Jaccard index)두 집합이 얼마나 겹치는지를 교집합의 크기 ÷ 합집합의 크기로 잰 값. 0이면 공통점이 없고 1이면 같은 집합이며, 1에서 뺀 값은 진짜 거리가 된다.
  • 쇠렌센–다이스 계수(Sørensen–Dice coefficient)두 집합의 겹침을 2|A∩B| ÷ (|A|+|B|)로 잰 값. 자카드 지수와 한쪽이 커지면 다른 쪽도 커지는 관계지만, 1에서 뺀 값은 삼각부등식을 어긴다. 의료 영상 분할의 표준 점수다.
  • 단어 임베딩(Word embedding)낱말 하나하나를 수백 차원의 벡터로 나타내, 비슷한 문맥에서 쓰이는 낱말끼리 가까이 놓이게 하는 방법. 가까움은 흔히 코사인 유사도로 재고, 벡터의 뺄셈과 덧셈이 '왕 − 남자 + 여자 ≈ 여왕' 같은 유추를 흉내 내기도 한다.
  • 퍼셉트론(Perceptron)입력에 가중치를 곱해 더하고 문턱을 넘으면 1을 내는 인공 뉴런. 틀릴 때마다 가중치를 고치는 규칙으로, 직선으로 가를 수 있는 데이터는 반드시 가르게 된다.
  • 경사 하강법(Gradient descent)손실 함수의 기울기(그래디언트) 반대 방향으로 조금씩 내려가며 낮은 곳을 찾는 방법. 걸음 크기(학습률)가 너무 크면 튀고, 너무 작으면 느리며, 볼록 함수가 아니면 가장 낮은 곳에 닿는다는 보장이 없다.
  • 신경망(Neural network)퍼셉트론 같은 단위를 층으로 쌓고 사이에 비선형 함수를 끼운 함수. 숨은 층이 있으면 XOR처럼 직선 하나로 가를 수 없는 것도 배운다.
  • 역전파(Backpropagation)신경망의 손실을 각 가중치로 미분하는 방법. 출력에서 입력 쪽으로 연쇄법칙을 한 층씩 거꾸로 적용해, 모든 기울기를 한 번의 역방향 계산으로 얻는다.
  • 과적합(Overfitting)학습 데이터에는 꼭 맞지만 새 데이터에는 틀리는 현상. 모형이 잡음까지 외워 버린 것으로, 따로 떼어 둔 검증 데이터와 규제로 막는다.
  • 기계 학습(Machine learning)규칙을 사람이 적어 넣는 대신 예에서 규칙을 찾게 하는 방법. 목표는 본 예를 외우는 것이 아니라 처음 보는 예에서 맞히는 것(일반화)이라서, 성능은 학습에 쓰지 않은 시험 데이터로 잰다.
  • 로지스틱 회귀(Logistic regression)직선 wx + b를 S자 곡선(시그모이드)에 넣어 'y = 1일 확률'을 내는 모형. 최대가능도로 맞춘다. 그 손실(로그 손실)은 볼록해서 엉뚱한 골짜기가 없고, 가장 낮은 곳이 있으면 기울기를 따라 내려가 찾을 수 있다. 다만 두 무리가 완전히 갈린 자료에서는 가장 낮은 곳이 없다.
  • 소프트맥스와 교차 엔트로피(Softmax and cross-entropy)점수 여러 개를 지수함수로 양수로 만든 뒤 합이 1이 되게 나누어 확률로 바꾸는 함수. 정답에 준 확률의 음의 로그(교차 엔트로피)를 손실로 쓰면, 점수에 대한 기울기가 '확률 − 정답'이라는 단순한 모양이 된다.
  • 편향–분산 분해(Bias–variance decomposition)새 자료에서의 제곱 오차의 기댓값은 잡음(σ²) + 편향의 제곱 + 분산으로 정확히 나뉜다. 모형이 단순하면 늘 같은 쪽으로 빗나가고(편향), 복잡하면 표본마다 크게 흔들린다(분산).
  • 정규화: 릿지와 라소(Regularization: ridge and lasso)손실에 계수의 크기에 대한 벌점을 더해 계수를 0 쪽으로 당기는 방법. 제곱합 벌점(릿지)은 모든 계수를 비율로 줄이고, 절댓값 합 벌점(라소)은 일부 계수를 정확히 0으로 만들어 특성을 고른다.
  • 교차 검증과 일반화(Cross-validation and generalization)자료를 k조각으로 나눠 조각마다 한 번씩 시험용으로 떼어 두고 나머지로 맞춘 뒤, 떼어 둔 조각에서의 오차를 평균해 처음 보는 자료에서의 오차를 어림하는 방법. 모형이나 λ, 차수를 고를 때 쓴다.
  • 결정 트리와 랜덤 포레스트(Decision trees and random forests)'x < 0.4인가?' 같은 예/아니오 질문을 차례로 던져 자료를 나누고, 잎에서 다수결로 답하는 모형. 질문은 엔트로피를 가장 많이 줄이는 것을 욕심껏 고르고, 자료와 질문 후보를 무작위로 바꿔 가며 기른 깊은 나무 여러 그루의 예측을 평균하면 랜덤 포레스트가 된다.
  • 서포트 벡터 머신과 커널(Support vector machines and kernels)두 무리 사이에 놓을 수 있는 가장 넓은 빈 띠의 한가운데로 경계를 긋는 분류기. 답은 띠의 가장자리에 닿거나 띠를 침범한 몇 점(서포트 벡터)만으로 정해지고, 계산에 자료의 내적만 쓰이므로 내적을 커널로 바꾸면 곡선 경계도 그린다.
  • EM 알고리즘과 가우스 혼합(The EM algorithm and Gaussian mixtures)숨은 이름표가 있는 모형의 최대가능도를 구하는 방법. 지금의 모수로 이름표의 확률을 짐작하고(E), 그 짐작을 가중치로 삼아 모수를 다시 구하기(M)를 되풀이하면 가능도가 결코 줄지 않는다. 정규분포들이 섞인 자료를 나누는 데 널리 쓰인다.

딥러닝과 언어 모델

  • 자동 미분(Automatic differentiation)프로그램을 덧셈, 곱셈, sin 같은 기본 연산으로 쪼개고 각 연산의 미분을 연쇄법칙으로 이어 붙여, 도함수의 값을 반올림 오차 수준까지 정확하게 계산하는 방법. 입력 쪽에서 나르는 전진 모드와 출력 쪽에서 거꾸로 나르는 후진 모드가 있고, 후진 모드는 출력이 하나면 모든 기울기를 한 번에 준다.
  • 확률적 경사 하강법과 Adam(Stochastic gradient descent and Adam)데이터 전체의 기울기 대신 무작위로 뽑은 일부(미니배치)의 기울기로 걷는 경사 하강법. 그 기울기는 참 기울기의 치우침 없는 추정이고 흩어짐은 배치 크기의 제곱근에 반비례한다. 모멘텀과 Adam은 길쭉한 골짜기에서 걸음을 다듬는 변형이다.
  • 인공지능(Artificial intelligence)사람이 하면 지능이 필요하다고 여길 일을 기계가 하게 만들려는 분야. 지식을 규칙으로 적어 넣는 길과 예에서 규칙을 찾는 길이 번갈아 앞섰고, 2010년대부터는 큰 신경망을 많은 자료로 학습시키는 방법이 주류가 되었다.
  • 합성곱 신경망(Convolutional neural network)작은 필터 하나를 그림 위로 미끄러뜨리며 겹친 칸끼리 곱해 더하는 합성곱을 층마다 쌓은 신경망. 같은 가중치를 모든 위치에 다시 써서 매개변수가 적고, 그림을 옮기면 출력도 그만큼 옮겨 간다(이동 등변성).
  • 순환 신경망과 LSTM(Recurrent neural network and LSTM)같은 규칙 h_t = tanh(W h_{t−1} + U x_t + b)를 매 걸음 되풀이하며 지난 입력을 상태 벡터에 접어 넣는 신경망. 학습 신호는 시간을 거슬러 가며 행렬 W를 거듭 곱하므로 고유값의 크기에 따라 지수적으로 사라지거나 폭발하고, LSTM은 곱해지는 수를 1 가까이 둘 수 있는 게이트로 이를 누그러뜨린다.
  • 강화 학습(Reinforcement learning)정답 대신 보상을 받으며 행동을 고르는 법을 배우는 방법. 앞으로 받을 보상의 기댓값(가치)은 벨먼 방정식을 만족하고, 그 오른쪽을 되풀이해 적용하는 연산은 차이를 γ배 이하로 줄이는 축소 사상이라 하나뿐인 해로 수렴한다.
  • 게임 트리 탐색: 미니맥스와 몬테카를로 트리 탐색(Game-tree search: minimax and Monte Carlo tree search)번갈아 두는 게임의 가능한 수를 나무로 펼치고, 내 차례에서는 가장 큰 값을, 상대 차례에서는 가장 작은 값을 끌어올려 최선의 수를 고르는 방법(미니맥스). 결과를 바꿀 수 없는 가지를 잘라 내는 알파–베타 가지치기, 무작위 대국의 승률로 값을 어림하며 유망한 가지만 키우는 몬테카를로 트리 탐색이 그 위에 선다.
  • 확산 모델(Diffusion model)자료에 잡음을 조금씩 더해 거의 표준정규분포로 만드는 과정을 정해 두고, 그 반대 방향을 신경망에게 배우게 해서 순수한 잡음에서 새 자료를 만들어 내는 생성 모델. 신경망이 배우는 것은 잡음 수준마다 확률밀도가 가장 빨리 커지는 방향(점수)이다.
  • 오토인코더와 잠재 공간(Autoencoder and latent space)입력을 좁은 병목(잠재 공간)으로 압축했다가 다시 펼쳐 원래 입력을 되살리도록 학습하는 신경망. 선형이고 제곱 오차를 쓰면 주성분 분석과 같은 부분공간을 찾고, 잠재 공간에 정규분포를 입힌 변분 오토인코더는 새 자료를 만드는 생성 모델이 된다.
  • 토큰화와 BPE(Tokenization and byte-pair encoding)글을 언어 모델이 다루는 정수 열로 자르는 일. BPE는 말뭉치에서 가장 자주 이웃해 나오는 두 기호를 하나로 합치는 일을 되풀이해 어휘를 만든다.
  • 어텐션(Attention)쿼리를 모든 키와 내적으로 비교해 소프트맥스로 가중치를 만들고, 그 가중치로 값들을 평균하는 '부드러운 찾기'. 트랜스포머의 핵심 연산이다.
  • 트랜스포머(Transformer)어텐션(토큰 사이를 섞기)과 MLP(토큰마다 변환하기)를 잔차 연결과 층 정규화로 감싸 여러 층 쌓은 신경망. 오늘날 대부분의 큰 언어 모델이 이 구조다.
  • 언어 모델과 다음 토큰 예측(Language model and next-token prediction)앞의 토큰들이 주어졌을 때 다음 토큰의 확률 분포를 내놓는 모델. 실제 글에 준 확률의 로그를 최대화하도록(교차 엔트로피를 최소화하도록) 학습한다.
  • 디코딩: 온도, top-p, 빔 탐색(Decoding: temperature, top-p and beam search)언어 모델이 준 다음 토큰의 분포에서 실제로 토큰을 고르는 규칙. 온도로 분포를 날카롭거나 평평하게 바꾸고, top-k·top-p로 꼬리를 자르며, 빔 탐색으로 확률이 큰 문장을 찾는다.
  • 규모의 법칙(Neural scaling laws)언어 모델의 시험 손실이 매개변수 수·자료 양·계산량의 거듭제곱으로 줄어든다는 경험적 관계. 측정한 범위 안에서 맞춘 곡선이며, 이론에서 유도된 법칙은 아니다.
  • 인간 피드백 강화 학습과 정렬(Reinforcement learning from human feedback and alignment)사람이 두 답 가운데 나은 쪽을 고른 기록으로 보상 모델을 학습하고(브래들리–테리 모형), 원래 모델에서 너무 멀어지지 않게 KL 벌점을 두며 언어 모델을 그 보상 쪽으로 조정하는 방법.
  • 위치 인코딩의 변천(Positional encoding)어텐션은 순서를 모르므로 위치를 따로 알려 줘야 한다. 입력에 위치 벡터를 더하던 2017년의 방식에서, 어텐션 점수에 상대 거리를 넣는 방식, 쿼리와 키를 위치만큼 회전시키는 RoPE, 거리에 비례해 점수를 깎는 ALiBi를 거쳐, 학습 때보다 긴 문맥으로 늘리는 보간 기법까지 이어진 흐름.
  • 상태 공간 모형과 선형 순환(State space models)상태 h를 h_t = Āh_{t−1} + B̄u_t로 선형으로 갱신하고 y_t = Ch_t로 읽는 수열 모형. 같은 계산을 되풀이(추론)로도 합성곱(학습)으로도 할 수 있고, 기억의 길이는 Ā의 고유값이 정한다. S4(2021)가 긴 수열에서 가능성을 보였고, Mamba(2023)는 갱신을 입력에 따라 바꿔 언어 모델에 다가갔으며, 지금은 어텐션 층 몇 개와 섞은 하이브리드가 많이 연구된다.
  • 추론 모델과 테스트 시점 계산(Reasoning models and test-time compute)답하기 전에 중간 풀이를 길게 쓰도록 학습한 언어 모델. 풀이를 여러 번 뽑아 다수결하거나 검증기로 고르는 방법, 정답을 기계적으로 확인할 수 있는 문제에서 채점 결과를 보상으로 쓰는 강화 학습(GRPO 등)이 핵심이다. '추론'은 관례적인 이름이며, 적힌 풀이가 실제 계산을 보여 주는지는 논쟁 중이다.
  • 전문가 혼합(Mixture of experts)입력마다 여러 '전문가' 신경망 가운데 몇 개만 골라 쓰는 구조. 라우터가 소프트맥스로 전문가별 점수를 매겨 상위 k개만 계산하므로 매개변수는 많아도 토큰 하나에 드는 계산은 적다. 몇몇 전문가에게 일이 몰리지 않도록 부하 균형 장치가 필요하다.
  • 검색 증강 생성(Retrieval-augmented generation)질문과 가까운 글을 외부 문서 모음에서 찾아 문맥에 넣은 뒤 답을 생성하는 방법. 문서와 질문을 벡터로 바꾸고 코사인 유사도가 큰 이웃을 찾는다. 모델이 배우지 못한 최신 정보나 내부 문서를 쓰게 하고 출처를 보여 줄 수 있지만, 환각을 없애지는 못한다.
  • 언어 모델의 발전사: RLHF 이후(A history of language models after RLHF (2022–2026))2022년 InstructGPT와 ChatGPT 이후 2026년까지 언어 모델에 일어난 일을 날짜순으로 정리한 길잡이. 선호 학습(RLHF, DPO), 공개 가중치 모델, 전문가 혼합, 긴 문맥, 멀티모달, 도구와 에이전트, 추론 모델, 증류와 효율화가 각각 어느 개념 페이지로 이어지는지 보여 준다.

논리와 계산(Logic and computation)

  • 불 대수(Boolean algebra)참과 거짓을 1과 0으로 두고 AND·OR·NOT으로 계산하는 대수. 모든 경우를 진리표로 확인할 수 있고, 논리 회로와 컴퓨터 산술의 바탕이다.
  • 러셀의 역설(Russell's paradox)'자기 자신을 원소로 갖지 않는 집합들의 집합'은 자기 자신을 원소로 가져도, 갖지 않아도 모순이 된다. 아무 조건으로나 집합을 만들 수 있다는 소박한 집합론을 무너뜨린 역설.
  • 괴델의 불완전성 정리(Gödel's incompleteness theorems)자연수의 덧셈과 곱셈에 관한 기본 사실을 증명할 수 있고 모순이 없는 형식 체계(증명이 맞는지를 기계가 검사할 수 있는 공리 체계)에는 자연수에 대해 참이지만 그 체계 안에서 증명할 수 없는 문장이 있다. 또 페아노 산술 같은 그런 체계는 자기에게 모순이 없다는 것을 스스로 증명할 수 없다.
  • 튜링 기계(Turing machine)칸이 끝없이 이어진 테이프, 한 칸을 읽고 쓰는 헤드, 유한한 상태표만으로 '기계적인 계산'을 정의한 가상의 기계. 보편 튜링 기계는 다른 모든 튜링 기계를 흉내 낸다.
  • 정지 문제(Halting problem)임의의 프로그램과 입력을 받아 그 프로그램이 언젠가 멈출지를 언제나 옳게 판정하는 알고리즘은 없다. 대각선 논법의 계산 버전.
  • 람다 계산(Lambda calculus)함수를 만들고(λx.M) 적용하는(M N) 두 가지만으로 모든 계산을 표현하는 처치의 체계. 계산은 인자를 함수 몸통에 대입하는 β-축약 하나뿐이다.
  • 처치–튜링 논제(Church–Turing thesis)'기계적인 절차로 계산할 수 있는 것'은 정확히 튜링 기계로 계산할 수 있는 것이라는 논제. 직관적인 개념에 대한 주장이라 정리가 아니지만, 서로 다른 모든 계산 모형이 같은 힘을 가진다는 사실이 이를 뒷받침한다.
  • P 대 NP 문제(P versus NP problem)답이 주어지면 빠르게 확인할 수 있는 문제(NP)는 모두 빠르게 풀 수도 있는가(P)? 컴퓨터 과학의 가장 유명한 미해결 문제.
  • 유한 오토마톤(Finite automaton)유한한 개수의 상태만 기억하며 입력 기호를 하나씩 읽고 상태를 옮겨 가는 기계. 다 읽은 뒤의 상태로 입력을 받아들일지 정하며, 이런 기계가 받아들이는 문자열의 집합(언어)은 정확히 정규 표현식으로 적을 수 있는 정규 언어다.
  • 공리와 공준(Axioms and postulates)증명 없이 받아들이고 나머지를 모두 거기서 증명해 내는 출발점. 오늘날에는 자명한 진리가 아니라 게임의 규칙 같은 약속으로 보며, 좋은 공리계는 모순이 없어야 한다.
  • 수학 기초론 논쟁(Debate on the foundations of mathematics)1900년 무렵부터 1931년까지, 집합론의 역설을 계기로 수학의 확실성을 어디에 세울지를 두고 논리주의·형식주의·직관주의가 맞선 논쟁. 괴델의 불완전성 정리가 한 장을 닫았다.
  • 배타적 논리합(Exclusive or)두 입력 가운데 정확히 하나만 참일 때 참인 연산. 비트로는 같으면 0, 다르면 1이고, 같은 값으로 두 번 하면 원래대로 돌아온다.

타입 이론과 범주론

  • 타입 이론(Type theory)모든 항이 태어날 때부터 종류(타입)를 갖고, 'a는 A 타입이다'(a : A)라는 판단을 규칙으로만 따지는 체계. 러셀의 역설을 막으려던 장치에서 시작해 프로그래밍 언어의 타입 검사와 컴퓨터가 확인하는 증명의 바탕이 되었다.
  • 단순 타입 람다 계산(Simply typed lambda calculus)람다 계산의 변수마다 타입을 붙이고, 세 규칙(Var, Abs, App)으로 항의 타입을 이끌어 내는 체계. 타입이 붙는 항은 어떤 순서로 줄여도 반드시 끝나며(강정규화), 그 대가로 끝나지 않을 수 있는 되부름을 쓸 수 없다.
  • 커리–하워드 대응(Curry–Howard correspondence)명제를 타입으로, 증명을 그 타입의 프로그램으로 읽는 대응. '이면'은 함수, '그리고'는 쌍, '또는'은 꼬리표 붙은 값이고, 증명을 군더더기 없이 다듬는 일은 프로그램을 계산하는 일과 같다.
  • 직관주의 논리(Intuitionistic logic)'참이다'를 '증명(구성)이 있다'로 읽는 논리. 'A 또는 B'를 주장하려면 어느 쪽인지 댈 수 있어야 해서, 배중률 A ∨ ¬A를 일반 원리로 쓰지 않는다. 커리–하워드 대응으로 프로그램이 곧 증명이 되는 논리가 이것이다.
  • 대수적 자료형(Algebraic data types)합(A + B, 둘 중 하나)과 곱(A × B, 둘 다)으로 짓는 타입. 값의 개수가 |A + B| = |A| + |B|, |A × B| = |A||B|, |A → B| = |B|^|A|로 셈해지고, 리스트는 등비급수 1/(1 − x), 타입의 미분은 '구멍 하나 뚫린 맥락'이 된다.
  • 타입 추론: 힌들리–밀너(Type inference: Hindley–Milner)타입을 하나도 적지 않은 프로그램에서 가장 일반적인 타입을 찾아내는 방법. 모르는 타입마다 변수를 두고, 함수 적용에서 나오는 등식을 단일화로 푼다.
  • 다형성과 시스템 F(Polymorphism and System F)타입 변수에 '모든 X에 대해'를 붙여 한 프로그램이 모든 타입에서 같은 방식으로 일하게 하는 것. 같은 방식이어야 한다는 제약 덕분에 타입만 보고도 프로그램에 대한 정리를 얻는다.
  • 의존 타입(Dependent types)값에 따라 달라지는 타입. '길이가 n인 벡터'처럼 타입 안에 값을 넣을 수 있게 되면, 타입으로 수학의 명제를, 프로그램으로 그 증명을 적을 수 있다.
  • 호모토피 타입 이론(Homotopy type theory)타입을 공간으로, 원소를 점으로, 같음의 증명을 두 점을 잇는 경로로 읽는 타입 이론. 동치인 두 타입은 같다는 보예보츠키의 일가성 공리를 더한다.
  • 증명 보조기(Proof assistant)사람이 증명의 뼈대를 대화하듯 적으면, 컴퓨터가 모든 단계를 논리 규칙까지 내려가 검사하는 프로그램. 믿어야 할 것을 작은 검사 핵심(커널) 하나로 줄인다.
  • 범주론(Category theory)대상과 그 사이의 화살표, 그리고 화살표를 잇는 합성만으로 수학의 구조를 다루는 이론. 집합과 함수, 군과 준동형, 크기와 행렬, 나누어떨어짐이 모두 범주이고, 성질을 원소 대신 화살표 사이의 관계로 적는다.
  • 모노이드(Monoid)결합법칙을 만족하는 연산과 항등원을 갖춘 집합. 수의 덧셈과 곱셈, 문자열 이어 붙이기, 함수 합성, 최댓값이 모두 모노이드이고, 범주로 보면 대상이 하나뿐인 범주다.
  • 함자(Functor)범주에서 범주로 가는 사상. 대상은 대상으로, 화살표는 화살표로 보내면서 항등 화살표와 합성을 지킨다. 목록의 모든 원소에 함수를 적용하는 map, 기준점을 정한 공간에 기본군을 붙이는 일이 모두 함자다.
  • 자연 변환(Natural transformation)두 함자 F, G 사이를 잇는, 대상마다 하나씩 정한 화살표들의 모임. 어떤 화살표 f를 먼저 따라가든 나중에 따라가든 결과가 같아야(자연성 사각형이 가환해야) 한다. '기저를 고르지 않고 정의된다', '값을 보지 않고 위치만 본다'는 말의 정확한 뜻이다.
  • 보편 성질: 곱, 쌍대곱, 극한(Universal property: products, coproducts, limits)대상을 속으로 짓지 않고, 다른 모든 대상과 맺는 관계로 정의하는 방법. 곱은 '두 대상으로 가는 화살표 쌍이 모두 거쳐 가는, 하나뿐인 길목'이다. 곱집합, 약수 순서의 최대공약수, 논리의 '그리고'가 모두 곱이고, 이렇게 정의한 대상은 동형을 빼고 하나뿐이다.
  • 수반 함자(Adjoint functors)두 함자 L: 𝒞 → 𝒟, R: 𝒟 → 𝒞 사이에서 'LX에서 Y로 가는 화살표'와 'X에서 RY로 가는 화살표'가 자연스럽게 일대일로 대응하는 관계. 올림과 내림, 자유 구성과 잊기, ∃와 ∀, 커링이 모두 수반이고, 오른쪽 수반은 극한을 보존한다.
  • 요네다 보조정리(Yoneda lemma)대상 A로 들어오는 화살표 전체가 A를 동형인 것까지 정확히 결정한다는 정리. Hom(−, A)에서 (방향이 뒤집히는, 집합 값) 함자 F로 가는 자연 변환은 F(A)의 원소 하나와 정확히 대응하고, 그 원소는 항등 화살표 id_A가 가는 곳이다.
  • 모나드(Monad)값에 '실패할 수 있음', '여러 개일 수 있음', '상태를 바꿈' 같은 맥락을 씌우는 함자 T와, 그런 함수들을 잇는 합성 규칙. 법칙 세 개는 이 합성이 결합법칙과 항등원을 가진다는 것, 곧 이런 함수들이 범주를 이룬다는 것이다.
  • 데카르트 닫힌 범주(Cartesian closed category)끝 대상과 곱이 있고, 모든 두 대상 A, B에 'A에서 B로 가는 화살표들'을 모은 대상 Bᴬ가 있어 Hom(C × A, B) ≅ Hom(C, Bᴬ)가 성립하는 범주. 커링이 가능한 세계이며, 순서쌍을 가진 단순 타입 람다 계산과 '그리고·이면·참'만 쓰는 직관주의 명제 논리가 정확히 이 구조에 대응한다.
  • 선형 논리와 선형 타입(Linear logic and linear types)가정을 '몇 번이든 쓸 수 있는 참'이 아니라 '정확히 한 번 쓰는 자원'으로 다루는 논리. 버리기(약화)와 복사하기(축약)를 막으면 '그리고'가 ⊗와 &로, '또는'이 ⊕와 ⅋로 갈라지고, 몇 번이든 쓸 수 있는 것은 !로 따로 표시한다. 러스트의 소유권(복사는 막고 버리기는 허락하는 아핀 타입)과, 모르는 양자 상태를 복사할 수 없다는 사실이 이 '복사 금지'를 닮았다.
  • 영역 이론: 스콧과 재귀의 의미(Domain theory)재귀로 정의한 함수가 무엇을 뜻하는지 답하는 이론. '아직 모름'(⊥)에서 시작해 정보가 늘어나는 순서 ⊑를 두면 재귀 정의는 방정식 f = F(f)가 되고, 그 뜻은 최소 고정점이다. F가 스콧 연속(늘어나는 사슬의 상한을 보존함)이면 최소 고정점은 ⊥, F(⊥), F(F(⊥)), …의 상한으로 계산되며, 프로그램으로 쓸 수 있는 F는 모두 이 성질을 가진다.
  • 하위 타입과 공변·반변(Subtyping and variance)A가 B의 하위 타입(A ≤ B)이면 B가 필요한 곳 어디에나 A를 써도 된다. 이 규칙을 목록·배열·함수 같은 타입 생성자로 넓히면, 값을 꺼내 주기만 하는 자리는 방향을 따르고(공변), 받아들이기만 하는 자리는 방향을 뒤집으며(반변), 둘 다 하는 자리는 어느 쪽도 허락하지 않는다(무변).
  • 호어 논리와 프로그램 검증(Hoare logic and program verification)'P가 참인 상태에서 C를 실행해 끝나면 Q가 참이다'라는 주장 {P} C {Q}를 규칙으로 증명하는 논리. 반복문은 한 바퀴 돌아도 깨지지 않는 불변식으로, 끝남은 매번 줄어드는 음이 아닌 정수로 증명한다. 데이크스트라의 최약 전조건은 프로그램을 조건을 바꾸는 함수로 본다. 끝남을 따지지 않는 판(wlp)은 실행해 닿는 상태들(최강 후조건)과 갈루아 연결을 이룬다.
  • F-대수와 fold: 재귀와 귀납의 범주론(Initial algebras and folds)타입을 짓는 규칙 F(예: 자연수는 X ↦ 1 + X, 목록은 X ↦ 1 + A × X)에 대해 '가장 작은 해'가 시작 대수이고, 그 대수에서 다른 모든 대수로 가는 하나뿐인 준동형이 fold다. 존재는 재귀로 정의할 수 있다는 것, 유일성은 수학적 귀납법이다.
  • 갈루아 연결(Galois connection)두 순서 사이를 오가는 단조 함수의 짝 f, g로, 'f(p) ≤ q ⇔ p ≤ g(q)'가 늘 성립하는 것. 순서에서의 수반 함자다. 정수 나눗셈과 곱셈, 선형 생성과 부분공간이 이런 짝이고, 순서를 뒤집는 판으로는 성질과 대상, 체와 자기 동형군이 있다. 짝을 한 바퀴 돌면 늘 닫힘 연산이 나온다.
  • 모노이드 범주와 끈 그림(Monoidal categories and string diagrams)화살표를 이어 붙이는 합성 ∘ 말고도, 두 대상과 두 화살표를 나란히 놓는 곱 ⊗가 있는 범주. 벡터 공간의 텐서곱과 크로네커 곱, 독립인 두 확률 과정의 전이 행렬, 병렬로 도는 두 프로그램이 예이며, 계산을 선과 상자로 그린 끈 그림을 변형해 등식을 증명할 수 있다.
  • 층: 국소에서 전체로(Sheaf)공간의 열린 집합마다 '그 위의 자료'를 정하고, 작은 곳으로 제한하는 규칙을 준 것(준층) 가운데, 겹치는 곳에서 서로 맞는 국소 자료가 언제나 전체 자료 하나로 정확히 붙는 것. 연속 함수가 대표적이고, 붙일 수 없는 경우를 재는 것이 코호몰로지다.
  • 토포스: 집합을 닮은 우주(Topos)집합의 범주처럼 유한 극한, 함수들의 대상, 그리고 '부분 대상 분류자' Ω를 가진 범주. 집합에서는 Ω = {참, 거짓}이지만, 시간에 따라 변하는 집합이나 공간 위의 층의 세계에서는 진릿값이 더 많다. 그 안의 논리는 직관주의 논리이고, 배중률은 토포스에 따라 성립하기도 하고 깨지기도 한다.
  • 풍부화된 범주: 거리를 범주로(Enriched category)두 대상 사이의 화살표들이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상(수, 참·거짓, 벡터 공간)을 이루는 범주. 화살표 모음을 '거리' 하나로 바꾸면 합성은 삼각부등식, 항등 화살표는 d(a, a) = 0이 되어 거리 공간(대칭을 요구하지 않는 로베어 거리 공간)이 범주가 되고, 최단 경로는 (min, +) 행렬 곱의 거듭제곱이다.

언어와 계산(Language and computation)

  • 촘스키 위계(Chomsky hierarchy)문법을 규칙의 모양에 따라 정규·문맥 자유·문맥 의존·무제한의 네 층으로 나눈 위계. 층마다 그 언어를 알아보는 기계(유한 오토마톤, 푸시다운 오토마톤, 선형 유계 오토마톤, 튜링 기계)가 짝을 이룬다.
  • 문맥 자유 문법(Context-free grammar)왼쪽에 기호 하나만 오는 다시 쓰기 규칙(A → α)들로 문장을 만들어 내는 문법. 규칙을 적용한 흔적이 구문 트리가 되고, 괄호처럼 겹겹이 중첩된 구조를 적을 수 있다.
  • 정규 표현식(Regular expression)문자열의 패턴을 이어 쓰기(연결), 고르기(|), 되풀이(*) 세 가지 연산으로 적는 표기. 정규 표현식으로 적을 수 있는 언어는 유한 오토마톤이 알아보는 언어와 정확히 같다.
  • 지프의 법칙(Zipf's law)글에 나오는 낱말을 빈도순으로 늘어놓으면, r번째 낱말의 빈도가 대략 1/r에 비례한다는 경험 법칙. 로그–로그 그래프에서 기울기 약 −1의 직선이 된다.
  • n-그램 언어 모델다음 낱말(또는 글자)의 확률을 바로 앞 n−1개만 보고 어림하는 언어 모델. 말뭉치에서 n개짜리 묶음을 세어 만들며, 마르코프 연쇄를 언어에 적용한 것이다.
  • 비교 언어학(Comparative linguistics)여러 언어의 낱말을 나란히 놓고 규칙적인 소리 대응을 찾아, 기록이 남지 않은 공통 조상 언어(조어)를 재구성하는 방법. 그림의 법칙과 인도유럽어 연구가 대표적이다.

정보 이론

  • 정보 엔트로피(Information entropy)확률분포가 가진 불확실성의 크기. 확률 p인 일이 일어났을 때의 놀람 −log₂ p를 평균한 값으로, 결과 하나를 적는 데 평균적으로 필요한 비트 수의 하한이다.
  • 허프만 부호(Huffman coding)가장 드문 두 기호를 묶어 트리를 쌓아 올려, 자주 나오는 기호에 짧은 부호를 주는 접두 부호(어떤 부호어도 다른 부호어의 앞부분이 되지 않는 부호). 기호의 확률을 알 때, 기호마다 부호어 하나를 정해 두고 이어 붙여도 되살릴 수 있는 부호 가운데 평균 길이가 가장 짧다.
  • 원천 부호화 정리(Source coding theorem)기호들이 서로 독립이고 같은 분포를 따르는 원천에서, 이어 붙여도 되살릴 수 있는 어떤 부호도 기호당 평균 비트 수를 엔트로피보다 작게 할 수 없고, 기호들을 길게 묶어 부호화하면 엔트로피에 얼마든지 가까워질 수 있다.
  • 렘펠–지브 압축(Lempel–Ziv compression)앞에 나왔던 문자열을 '몇 칸 앞에서 몇 글자'라는 참조로 바꾸는 사전식 압축. 확률을 미리 몰라도 엔트로피에 다가가며, zip·gzip·PNG의 바탕이다.
  • 오류 정정 부호(Error-correcting code)여분의 비트를 규칙적으로 덧붙여 전송 중 뒤집힌 비트를 찾아 고치는 부호. 해밍 부호(7,4)는 4비트에 3비트를 더해 한 비트 오류를 고친다.
  • 이산 코사인 변환(Discrete cosine transform)유한한 값들을 진동수가 다른 코사인들의 합으로 나타내는 변환. 높은 진동수를 거칠게 버려도 눈에 잘 띄지 않아 JPEG·MP3 같은 손실 압축의 핵심이 된다.
  • 콜모고로프 복잡도(Kolmogorov complexity)어떤 문자열을 출력하고 멈추는 가장 짧은 프로그램의 길이. '무작위'를 '더 줄일 수 없음'으로 정의하지만, 정지 문제 때문에 계산할 수 없다.
  • 결합 엔트로피와 조건부 엔트로피(Joint and conditional entropy)두 변수를 함께 볼 때의 불확실성 H(X,Y)와, X를 안 뒤에 Y에 남는 불확실성의 평균 H(Y|X). 둘은 연쇄법칙 H(X,Y) = H(X) + H(Y|X)로 이어진다.
  • 상호 정보량(Mutual information)한 변수를 알 때 다른 변수의 불확실성이 줄어드는 양. 대칭이고 0 이상이며, 두 변수가 독립일 때만 0이다. 직선 관계만 보는 상관계수와 달리 어떤 모양의 의존성도 잡아낸다.
  • 쿨백–라이블러 발산(Kullback–Leibler divergence)실제 분포가 p인데 q라고 믿을 때 치르는 평균 비용. q에 맞춘 부호로 p의 자료를 적을 때 더 드는 비트 수이자, 관측 하나가 p와 q를 구별해 주는 평균 증거로, 늘 0 이상이고 비대칭이다.
  • 최대 엔트로피 원리(Principle of maximum entropy)아는 조건을 만족하는 확률분포 가운데 엔트로피가 가장 큰 것을 고르라는 원리. 모르는 것을 가정하지 않는 선택이며, 평균만 정해지면 지수 모양(양의 실수 위에서는 지수분포), 실수 전체에서 평균과 분산이 정해지면 정규분포가 나온다.
  • 통로 용량(Channel capacity)잡음이 있는 통로를 여러 번 쓰며 긴 부호로 보낼 때, 오류 확률을 얼마든지 작게 하면서 한 번 쓸 때마다 평균적으로 실을 수 있는 비트 수의 한계. 입력 분포를 바꿔 가며 입력과 출력의 상호 정보량을 최대로 만든 값과 같다.
  • 통로 부호화 정리(Noisy-channel coding theorem)전송률이 통로 용량보다 작으면 부호를 길게 하여 오류 확률을 얼마든지 작게 만들 수 있고, 용량보다 크면 어떤 부호로도 그럴 수 없다는 섀넌의 정리(1948).
  • 섀넌–하틀리 정리(Shannon–Hartley theorem)대역폭(통과시키는 진동수 범위의 폭)이 B인 통로에 정규분포를 따르는 백색 잡음이 더해지고, 평균 신호 전력과 잡음 전력의 비가 S/N일 때, 오류를 얼마든지 작게 하며 1초에 보낼 수 있는 비트 수의 한계는 B log₂(1 + S/N)이다.
  • 표본화 정리(Sampling theorem)B보다 높은 진동수를 담지 않은 신호는 1초에 2B번보다 자주 뽑은 표본만으로 완전히 정해진다. 그보다 드물게 뽑으면 빠른 진동이 느린 진동으로 둔갑한다(에일리어싱).
  • 산술 부호화(Arithmetic coding)메시지 전체를 [0, 1) 안의 수 하나로 적는 무손실 압축. 기호마다 구간을 그 확률만큼 좁혀 가므로 기호 하나에 분수 비트를 쓸 수 있고, 메시지 길이가 −log₂ P + 2비트 안쪽이다.
  • 율–왜곡 이론(Rate–distortion theory)되살린 값이 평균적으로 D만큼 틀려도 될 때, 표본을 길게 묶어 부호화하면 표본 하나에 필요한 최소 비트 수 R(D). 분산이 σ²인 정규분포를 평균 제곱 오차로 재면 D(R) = σ²·2^(−2R)이라 비트 하나마다 오차가 4분의 1로 준다.
  • 맥스웰의 악마와 란다우어 원리(Maxwell's demon and Landauer's principle)분자를 보고 문을 여닫는 악마가 열역학 제2법칙을 깨는 듯한 사고 실험. 측정 자체는 원리적으로 비용 없이 할 수 있지만, 악마의 기억을 지우는 데 무작위 비트 하나마다 kT ln 2 이상의 열이 들어서 법칙이 지켜진다.
  • 최소 기술 길이(Minimum description length)자료를 설명하는 가설 가운데, 가설을 적는 길이와 그 가설로 자료를 적는 길이의 합이 가장 짧은 것을 고르라는 원리. 부호 길이를 확률로 읽으면 사전확률 2^(−길이)를 두고 사후확률이 가장 큰 가설을 고르는 베이즈 추론과 같은 답을 내고, 복잡한 가설에 값을 치르게 하므로 과적합을 억누른다.

알고리즘(Algorithm)

  • 알고리즘(Algorithm)유한한 단계로 끝나는 명확한 계산 절차. 이름은 9세기 바그다드의 알콰리즈미에서 왔고, 유클리드 호제법이 가장 오래된 예로 꼽힌다.
  • 점근 표기법(Asymptotic notation)입력 크기 n이 커질 때 걸음 수가 어떤 속도로 자라는지를 상수배를 무시하고 적는 표기. O(n), O(n log n), O(n²), O(2ⁿ)의 차이는 n이 클수록 압도적이다.
  • 이진 탐색(Binary search)정렬된 목록에서 가운데를 보고 절반을 버리기를 되풀이해 찾는 방법. 백만 개 중 하나도 많아야 스무 번 비교하면 찾는다(log₂ n).
  • 재귀(Recursion)문제를 같은 모양의 더 작은 문제로 줄여 푸는 방법. 하노이의 탑처럼, 가장 작은 경우와 '한 단계 줄이기'만 정하면 된다.
  • 분할 정복(Divide and conquer)문제를 반으로 나눠 각각 풀고 답을 합치는 방법. 병합 정렬, 빠른 곱셈, 고속 푸리에 변환이 모두 이 틀이다.
  • 정렬 알고리즘(Sorting algorithm)삽입 정렬(최악 O(n²)), 병합 정렬과 힙 정렬(최악 O(n log n)), 퀵정렬(평균 O(n log n), 최악 O(n²)) 등 목록을 순서대로 늘어놓는 방법들과 그 비용.
  • 비교 정렬의 하한(Comparison sorting lower bound)두 개씩 비교만 하는 정렬은 최악의 경우 적어도 log₂ n! ≈ n log₂ n번 비교해야 한다. n!가지 순서를 예/아니오 질문으로 가려내야 하기 때문이다.
  • 동적 계획법(Dynamic programming)겹치는 작은 문제의 답을 표에 적어 두고 다시 쓰는 방법. 편집 거리, 최단 경로, 배낭 문제가 이 방법으로 풀린다.
  • 욕심쟁이 알고리즘(Greedy algorithm)매 순간 가장 좋아 보이는 선택을 하고 되돌아보지 않는 방법. 우리가 쓰는 동전의 거스름돈이나 최소 신장 트리처럼 정확한 경우도 있고, 크게 틀리는 경우도 있다.
  • 해시 테이블(Hash table)키를 해시 함수로 칸 번호로 바꿔 곧바로 찾아가는 자료 구조. 평균 O(1)에 찾지만, 충돌은 생일 문제처럼 생각보다 일찍 일어난다.
  • 힙과 우선순위 큐(Heap and priority queue)가장 작은(급한) 것을 늘 맨 위에 두는 이진 트리 구조. 넣고 꺼내는 데 O(log n)이 들고, 다익스트라 알고리즘과 힙 정렬의 엔진이다.
  • 무작위 알고리즘(Randomized algorithm)동전 던지기를 계산에 섞는 알고리즘. 무작위 피벗의 퀵정렬, 밀러–라빈 소수 판정처럼 평균이 빠르거나 틀릴 확률이 아주 작다.
  • 선형 계획법(Linear programming)일차식으로 된 목표를 일차 부등식 제약 아래에서 가장 크게(또는 작게) 하는 문제. 가능한 답들은 볼록 다각형(다면체)을 이루고, 가장 좋은 답이 있으면 그 가운데 적어도 하나는 꼭짓점이므로, 꼭짓점을 따라 오르는 단체법으로 푼다.
  • 반환(Semiring)두 연산 ⊕(모으기)와 ⊗(잇기)를 갖추고, ⊗가 ⊕에 분배되는 대수 구조. 빼기는 없어도 된다. (min, +)는 최단 거리, (+, ×)는 개수와 확률, (max, ×)는 가장 그럴듯한 길, (∨, ∧)는 도달 가능성에 답하며, '행렬의 k제곱이 변 k개짜리 길을 모은 값'이라는 정리와 그 위의 동적 계획법은 어느 반환에서나 그대로 성립한다.

조합론(Combinatorics)

  • 수학적 귀납법(Mathematical induction)첫 단계가 참이고, n에서 참이면 n+1에서도 참임을 보이면 모든 자연수에서 참이다. 한 줄로 세운 도미노가 모두 넘어지는 논리.
  • 순열(Permutation)서로 다른 n개를 한 줄로 늘어놓는 방법의 수 n!과, n개 중 k개를 골라 순서 있게 늘어놓는 방법의 수 n!/(n−k)!. 곱의 법칙의 첫 응용이다.
  • 점화식(Recurrence relation)수열의 다음 항을 앞 항들로 정하는 규칙(예: 피보나치). 작은 경우의 답으로 큰 경우의 답을 짓는, 세기와 알고리즘 분석의 기본 도구이다.
  • 생성함수(Generating function)수열 a₀, a₁, a₂, …를 거듭제곱급수 Σaₙxⁿ의 계수로 담아, 세기 문제를 다항식·급수의 곱셈으로 바꾸는 방법.
  • 카탈랑 수(Catalan number)1, 1, 2, 5, 14, 42, …. 괄호 짝 맞추기, 다각형의 삼각형 분할, 이진 트리의 모양 등 수많은 세기 문제의 답이 되는 수열.
  • 분할수(Partition number)자연수 n을 순서를 무시하고 자연수의 합으로 쓰는 방법의 수 p(n). 영 도형으로 그리고, 오일러의 생성함수로 다룬다.
  • 교란순열(Derangement)아무것도 제자리에 있지 않은 순열. 모자 n개를 무작위로 돌려주면 아무도 자기 모자를 못 받을 확률은 n이 커질수록 1/e ≈ 0.368에 다가간다.
  • 별과 막대(Stars and bars)똑같은 물건 n개를 k개 상자에 나눠 담는 방법의 수 C(n+k−1, k−1). 별 n개 사이에 칸막이 k−1개를 세우는 그림으로 센다.
  • 램지 이론(Ramsey theory)충분히 큰 구조는 유한 가지 색으로 어떻게 칠해도 한 색으로 된 규칙적인 부분이 반드시 생긴다는 이론. R(3,3) = 6: 여섯 명 중에는 서로 아는 셋이나 서로 모르는 셋이 있다.
  • 확률적 방법(Probabilistic method)무작위로 고른 대상이 원하는 성질을 가질 확률이 0보다 크면 그런 대상이 존재한다는 증명법. 에르되시가 램지 수의 하한을 이렇게 얻었다.
  • 반 데르 바르던 정리(Van der Waerden's theorem)자연수를 유한 가지 색으로 어떻게 칠하든, 길이를 얼마로 정하든 그 길이의 한 색 등차수열이 반드시 있다. 소수 속 등차수열(그린–타오 정리)로 이어진다.
  • 라틴 방진(Latin square)n × n 칸에 n가지 기호를 가로줄과 세로줄마다 한 번씩만 오도록 채운 표. 두 라틴 방진을 겹쳤을 때 모든 짝이 꼭 한 번씩 나오면 서로 직교한다고 하며, 2 × 2와 6 × 6에서는 그런 짝이 없다.
  • 애로의 불가능성 정리(Arrow's impossibility theorem)후보가 셋 이상이고 유권자가 유한히 많을(둘 이상일) 때 개인들의 순위를 모아 사회의 순위를 내는 규칙이 어떤 순위 조합에도 답하고, 만장일치를 존중하고, 두 후보의 사회적 순서를 그 두 후보에 대한 개인들의 순서만으로 정한다면, 그 규칙은 한 사람의 순위를 그대로 따르는 독재뿐이다(케네스 애로, 1951).
  • 님과 스프라그–그런디 정리(Nim and the Sprague–Grundy theorem)돌무더기에서 번갈아 돌을 가져가 마지막 돌을 가져가는 사람이 이기는 게임. 무더기 크기를 이진법으로 적어 자리마다 1의 개수가 짝수이면(님 합이 0이면) 차례인 사람이 지고, 두 사람이 같은 수를 쓸 수 있는 모든 게임의 국면은 님 더미 하나와 같다(스프라그–그런디 정리).

인물

  • 피타고라스(Pythagoras)기원전 6세기 남이탈리아 크로톤에 영혼과 수를 섬기는 공동체를 세운 사모스 출신의 사상가로, 스스로 쓴 글이 없어 그의 이름이 붙은 정리와 '만물은 수'라는 생각이 어디까지 그 자신의 것인지는 알 수 없다.
  • 엘레아의 제논(Zeno of Elea)남이탈리아 엘레아의 철학자로, '있는 것은 하나이고 움직이지 않는다'는 스승 파르메니데스를 변호하려고 아킬레우스와 거북, 날아가는 화살 같은 역설을 만들어 무한을 다루는 법을 2,000년 넘게 수학의 숙제로 남긴 사람.
  • 플라톤(Plato)소크라테스의 제자이자 아테네 아카데메이아의 설립자로, 스스로 증명한 정리는 전하지 않지만 수학을 교육의 중심에 놓고 '수학의 대상은 어디에 있는가'라는 물음을 누구보다 날카롭게 던진 철학자.
  • 파니니(Pāṇini)산스크리트를 약 4,000개의 짧은 규칙으로 적은 문법 『아슈타디야이』를 남긴 고대 인도의 문법학자로, 어근과 접사에 규칙을 차례로 적용해 올바른 말을 만들어 내는 그 체계는 오늘날 형식 문법의 선구로 꼽힌다.
  • 크니도스의 에우독소스(Eudoxus of Cnidus)기원전 4세기 소아시아 크니도스 출신의 수학자이자 천문학자로, 무리량까지 다룰 수 있는 비례론과 곡선 도형의 넓이를 다각형으로 가두는 실진법을 세워 『원론』 5권과 12권의 바탕을 놓고, 겹겹이 도는 천구로 행성의 움직임을 수학적 모형으로 설명한 가장 이른 사람으로 알려진 인물.
  • 아리스토텔레스(Aristotle)플라톤의 제자이자 알렉산드로스의 스승으로, 논증의 형식을 처음 체계로 세우고 무한을 '끝없이 계속할 수 있는 가능성'으로만 인정해 2,000년 동안 수학자들이 무한을 대하는 태도를 정한 철학자.
  • 유클리드(Euclid)기원전 300년 무렵 알렉산드리아에서 그리스의 기하학과 수론을 『원론』 13권으로 엮어, 정의와 공준에서 출발해 모든 것을 증명으로 쌓는 방식의 본보기를 남긴 수학자.
  • 아르키메데스(Archimedes)시칠리아 시라쿠사의 수학자이자 기술자로, 포물선 조각의 넓이와 구의 부피, 원주율의 범위를 도형을 잘게 나누는 논법으로 구해 적분의 먼 조상이 된 사람.
  • 에라토스테네스(Eratosthenes of Cyrene)알렉산드리아 도서관을 이끌며 막대의 그림자로 지구 둘레를 재고, 소수를 거르는 체와 기준선을 그은 세계 지도에 이름을 남긴 키레네 출신의 학자.
  • 페르가의 아폴로니오스(Apollonius of Perga)기원전 3세기 알렉산드리아에서 배운 기하학자로, 여덟 권의 『원뿔곡선론』에서 타원, 포물선, 쌍곡선을 하나의 원뿔에서 얻고 이름을 붙여, 1,800년 뒤 케플러의 행성 궤도와 데카르트의 해석기하가 딛고 설 땅을 만든 사람.
  • 히파르코스(Hipparchus)기원전 2세기 로도스섬에서 별의 위치를 재어 세차 운동을 처음 알아채고, 각을 길이로 바꾸는 현의 표를 처음 만든 것으로 알려진 그리스의 천문학자. 저작은 거의 사라져 주로 프톨레마이오스의 『알마게스트』를 통해 전한다.
  • 프톨레마이오스(Claudius Ptolemy)2세기 로마 지배 아래 알렉산드리아의 천문학자이자 수학자로, 『알마게스트』에서 반 도 간격의 현의 표와 주전원·이심원·동시심의 행성 모형을 세워 1,400년 동안 하늘을 계산하는 표준을 만들고, 『지리학』에서 경도와 위도로 세계를 그린 사람.
  • 유휘(Liu Hui)263년 위나라에서 중국 수학의 고전 『구장산술』에 주석을 달아 풀이마다 근거를 붙이고, 원에 내접한 정다각형의 변을 두 배씩 늘려 원주율에 다가가며, 갈 수 없는 바다 섬의 높이와 거리를 재는 측량 문제를 남긴 수학자.
  • 아리아바타(Āryabhaṭa)499년 운문 천문서 『아리아바티야』에 반지름 3438로 잰 반현(사인)의 표, 1차 부정방정식의 정수해를 찾는 쿠타카, 원주율의 근삿값 3.1416, 지구가 스스로 돈다는 생각을 담아 인도 수학과 천문학의 큰 이정표가 된 학자.
  • 브라마굽타(Brahmagupta)7세기 북서 인도 빌라말라의 천문학자로, 628년의 『브라마스푸타싯단타』에서 0과 음수의 셈법을 규칙으로 적은 알려진 가장 이른 기록을 남기고, 2차방정식의 근의 공식과 펠 방정식을 푸는 합성법을 남겨 그 책이 바그다드를 거쳐 이슬람 세계의 천문학과 대수학의 바탕이 된 사람.
  • 알콰리즈미(Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi)9세기 바그다드에서 칼리프 알마문을 섬긴 학자로, 방정식을 여섯 꼴로 나누어 각각의 풀이 절차와 그림 증명을 준 책으로 '대수학'(algebra)이라는 이름을, 인도 숫자로 셈하는 법을 다룬 책으로 '알고리즘'이라는 낱말을 남긴 사람.
  • 알킨디(Al-Kindī)9세기 바그다드에서 그리스 철학과 과학을 아랍어로 옮기고 해설한 철학자로, 글자의 빈도를 세어 암호를 푸는 방법을 알려진 가장 오래된 글로 남겼다.
  • 타비트 이븐 쿠라(Thābit ibn Qurra)9세기 바그다드에서 그리스 수학책을 아랍어로 옮기고 다듬으며, 친화수를 만드는 규칙과 폭이 서로 다른 조각으로 포물선 아래 넓이를 구하는 방법을 남기고, 실제로 무한한 모임끼리도 크기가 다를 수 있다고 논한 하란 출신의 수학자.
  • 알비루니(Al-Bīrūnī)가즈니 왕조의 궁정에서 도시들의 경도와 위도를 천문 관측으로 정하고 구면삼각법으로 메카의 방향을 계산했으며, 산꼭대기에서 지평선을 내려다본 각으로 지구의 반지름을 구하고 『인도지』로 인도의 학문을 소개한 호라즘 출신의 박식가.
  • 오마르 하이얌(Omar Khayyam)셀주크 시대 페르시아의 수학자이자 천문학자로, 3차방정식을 원뿔곡선의 교점으로 풀어 분류하고, 평행선 공준과 비의 이론을 비판적으로 따졌으며, 잘랄리력을 만든 사람. 서양에서는 그의 이름으로 전하는 4행시집으로 더 유명하다.
  • 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)북아프리카에서 배운 인도·아라비아 숫자와 셈법을 1202년 『산반서』로 유럽에 소개한 피사의 수학자로, 그 책의 토끼 문제 덕분에 피보나치 수열에 이름을 남겼다.
  • 니콜 오렘(Nicole Oresme)속도나 열처럼 세지고 약해지는 성질을 도형으로 그려 거리를 넓이로 읽고, 조화급수가 끝없이 커짐을 증명한 14세기 파리의 학자. 국왕 샤를 5세의 조언자로 화폐론을 쓰고 아리스토텔레스를 프랑스어로 옮겼으며, 리지외의 주교로 생을 마쳤다.
  • 상가마그라마의 마다바(Mādhava of Saṅgamagrāma)14세기 인도 케랄라의 천문학자로, 사인·코사인·아크탄젠트의 무한급수와 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯을 유럽보다 두 세기 반 앞서 얻어 케랄라 학파를 연 사람.
  • 잠시드 알카시(Jamshīd al-Kāshī)티무르 왕조의 사마르칸트에서 울루그 베그의 학교와 천문대를 위해 일하며, 1424년 원주율을 소수 16자리까지 구하고, 3차방정식을 되풀이 계산으로 풀어 1°의 사인값을 같은 정밀도로 얻었으며, 소수(小數)의 셈법을 정리한 페르시아의 수학자이자 천문학자.
  • 지롤라모 카르다노(Gerolamo Cardano)밀라노의 의사이자 점성가, 수학자로, 1545년 『아르스 마그나』에 3차·4차방정식의 풀이를 실으며 음수의 제곱근을 계산에 끌어들인 첫 사람들 가운데 하나가 되었고, 주사위의 경우를 세어 확률을 체계적으로 다룬 가장 이른 책으로 꼽히는 글을 남겼다.
  • 갈릴레오 갈릴레이(Galileo Galilei)떨어지는 물체와 던진 물체의 운동을 수로 적고 망원경으로 하늘을 관측해, 자연을 수학으로 읽는 근대 과학의 길을 연 이탈리아의 과학자.
  • 요하네스 케플러(Johannes Kepler)30년 전쟁 시대 신성 로마 제국의 황실 수학자로, 티코 브라헤의 관측에서 행성이 해를 한 초점에 둔 타원을 따라 돈다는 세 법칙을 찾아내 2,000년 동안의 원운동 천문학을 끝내고 뉴턴의 중력 이론이 설명할 과녁을 만든 천문학자이자 수학자.
  • 마랭 메르센(Marin Mersenne)파리 미니모회 수도원의 수도사로, 데카르트·페르마·갈릴레이 사이의 편지를 베껴 돌리며 17세기 유럽 과학의 우체국 노릇을 하고, 줄의 진동 법칙을 정리하고, 2ᵖ − 1 꼴의 소수에 이름을 남긴 사람.
  • 르네 데카르트(René Descartes)좌표로 곡선을 방정식으로 바꾸어 기하와 대수를 하나로 묶고, 모든 것을 의심하는 데서 출발해 근대 철학을 연 프랑스의 철학자이자 수학자.
  • 피에르 드 페르마(Pierre de Fermat)툴루즈의 법관으로 일하며 여가에 수학을 해, 정수론과 해석기하, 극값 구하기, 확률에서 앞선 결과를 편지와 책 여백에 남긴 프랑스의 수학자.
  • 블레즈 파스칼(Blaise Pascal)17세기 프랑스의 수학자·물리학자·사상가. 페르마와의 편지로 확률론을 열었고, 파스칼의 삼각형과 수학적 귀납법을 정리했다.
  • 크리스티안 하위헌스(Christiaan Huygens)네덜란드 황금시대의 수학자이자 물리학자로, 처음 인쇄된 확률 책에서 기댓값을 계산의 중심에 세우고, 진자시계를 발명해 사이클로이드가 정확한 등시곡선임을 증명했으며, 원심력의 크기와 빛의 파동 이론을 세워 뉴턴과 라이프니츠 사이의 세대를 잇고 파리 과학 아카데미의 기둥이 된 사람.
  • 세키 다카카즈(Seki Takakazu)에도 시대 일본에서 중국 송·원의 산학서를 바탕으로 '와산'을 크게 일으키고, 1683년 연립방정식에서 미지수를 없애는 계산 속에 오늘날의 행렬식을 적었으며, 거듭제곱의 합에 나오는 베르누이 수를 따로 찾은 수학자.
  • 아이작 뉴턴(Isaac Newton)영국의 수학자·물리학자. 유율법(미분)과 일반화된 이항급수를 만들고, 『프린키피아』에서 운동 법칙과 만유인력으로 행성의 궤도를 설명했다.
  • 고트프리트 라이프니츠(Gottfried Wilhelm Leibniz)독일의 철학자·수학자·외교관. 뉴턴과 따로 미적분을 만들고 dx와 ∫ 기호를 지었으며, 이진법과 계산하는 기계, 추론을 계산으로 바꾸는 꿈을 남겼다.
  • 최석정(Choi Seok-jeong)조선 숙종 때 여러 차례 영의정을 지낸 문신이자 산학자. 『구수략』에 가로·세로줄마다 1–9가 한 번씩 나오는 두 표를 겹쳐 81가지 짝이 모두 한 번씩 나오게 한 9차 직교 라틴 방진을 실어, 오일러보다 반세기 넘게 앞선 예를 남겼다.
  • 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)바젤의 수학자. 라이프니츠의 미적분을 가장 먼저 익혀 넓혔고, 『추측술』에서 큰 수의 법칙을 처음 증명해 확률을 경험의 비율과 이었다.
  • 아브라암 드무아브르(Abraham de Moivre)프랑스에서 태어나 런던에서 산 위그노 수학자. 이항분포가 종 모양 곡선으로 다가가며 그 폭이 √n에 비례함을 처음 보였고, 『우연의 교리』로 확률 계산을 넓혔다.
  • 조반니 지롤라모 사케리(Giovanni Girolamo Saccheri)평행선 공준을 증명하려고 그 반대 가정에서 모순을 찾다가, 모순 대신 쌍곡기하의 정리들을 수십 개 끌어낸 이탈리아의 예수회 수학자이자 논리학자.
  • 홍정하(Hong Jeong-ha)조선 후기 호조의 중인 산원. 산학서 『구일집』에서 천원술로 고차방정식을 세워 푸는 전통을 집대성했고, 1713년 청의 천문관 하국주와 문제를 주고받은 기록을 남겼다.
  • 조지 버클리(George Berkeley)아일랜드의 철학자이자 국교회 주교. 존재하는 것은 지각되는 것이라는 관념론을 세웠고, 『분석가』에서 미적분의 무한소를 '사라진 양들의 유령'이라 비판해 해석학의 기초를 다시 묻게 했다.
  • 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)버클리의 비판에 맞서 뉴턴의 유율법을 기하학의 논증 위에 다시 세운 『유율론』(1742)을 쓰고, 0에서의 급수 전개에 이름을 남긴 스코틀랜드의 수학자. 열아홉 살에 교수가 되었고, 목사 미망인을 위한 연금 기금을 계산했으며, 1745년 에든버러의 성벽 방어를 맡았다.
  • 토머스 베이즈(Thomas Bayes)잉글랜드의 비국교도 목사이자 수학자. 관찰한 결과에서 그 결과를 낳은 확률을 거꾸로 추론하는 문제를 정량적으로 푼 원고를 남겨, 오늘날 베이즈 정리와 베이즈 통계라는 이름을 남겼다.
  • 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)18세기 스위스의 수학자. 페테르부르크와 베를린의 학술원에서 해석학, 정수론, 그래프 이론, 역학을 넓혔고, e·i·π·f(x) 같은 기호를 오늘날의 뜻으로 굳혔다.
  • 뷔퐁 백작(Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon)프랑스의 박물학자. 36권의 『박물지』로 계몽 시대의 자연관을 바꾸었고, 바늘을 던져 π를 재는 '뷔퐁의 바늘'로 기하학적 확률의 문을 열었다.
  • 데이비드 흄(David Hume)'지금까지 그랬으니 앞으로도 그러리라'는 귀납에는 이성의 근거가 없고, 원인과 결과 사이의 필연적 연결은 보이지 않으며 늘 뒤따름만 보인다고 논해, 확률과 통계와 기계 학습이 지금도 마주하는 물음을 남긴 스코틀랜드의 철학자.
  • 장 르 롱 달랑베르(Jean le Rond d'Alembert)프랑스의 수학자·물리학자·계몽사상가. 떨리는 줄의 파동방정식을 처음 세우고 풀었으며, 동역학을 정역학으로 바꾸는 원리를 내놓고, 디드로와 함께 『백과전서』를 엮었다.
  • 이마누엘 칸트(Immanuel Kant)쾨니히스베르크의 철학자. 수학을 경험에 앞서면서도 새 지식을 주는 '선험적 종합 판단'의 본보기로 보고, 공간과 시간을 우리 직관의 형식으로 설명해 19–20세기 수학 기초론의 출발점이 되었다.
  • 조제프루이 라그랑주(Joseph-Louis Lagrange)토리노에서 태어나 베를린과 파리에서 일한 수학자. 곡선 전체를 바꿔 가며 최적을 찾는 변분법과, 에너지 함수 하나로 운동을 적는 해석역학을 세웠고, 조건 아래 최댓값을 찾는 라그랑주 승수, 삼체 문제의 특수해, 도함수 기호 f′을 남겼다.
  • 카스파르 베셀(Caspar Wessel)덴마크의 지도 측량을 맡은 노르웨이 출신 측량사. 1797년 덴마크 왕립 학술원에 낸 논문에서 방향이 있는 선분을 더하고 곱하는 규칙을 세워 복소수를 평면의 화살표로 처음 해석했지만, 덴마크어 논문은 100년 가까이 잊혔다.
  • 가스파르 몽주(Gaspard Monge)프랑스의 기하학자. 입체를 두 장의 투영도로 옮기는 화법기하학을 만들고, 흙을 옮기는 최소 비용 문제로 최적 수송 이론을 열었으며, 에콜 폴리테크니크를 세워 한 세대의 기하학자를 길렀다.
  • 피에르시몽 라플라스(Pierre-Simon Laplace)프랑스의 수학자·천문학자. 『천체역학』으로 뉴턴의 체계를 완성하고, 『확률의 해석적 이론』에서 결과로 원인의 확률을 거꾸로 따지는 역확률과, 작은 요인들의 합이 종 모양이 된다는 중심극한정리를 세웠다. 모든 것을 아는 지성, '라플라스의 악마'를 상상했다.
  • 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)프랑스의 수학자. 최소제곱법을 처음 출판했고, 소수의 개수를 어림하는 공식과 이차 상호 법칙의 이름을 내놓았으며, 한 세기 동안 쓰인 기하학 교과서를 썼다.
  • 조제프 푸리에(Joseph Fourier)프랑스의 수학자·물리학자·행정가. 열방정식을 세우고, 온도 분포를 사인과 코사인의 합으로 쪼개는 푸리에 급수로 풀었다. 어떤 함수까지 그렇게 쓸 수 있는지는 뒤의 해석학이 가렸다.
  • 소피 제르맹(Sophie Germain)여성이 대학에 들어갈 수 없던 시대에 독학으로 수학을 익혀, 휘는 판의 진동 방정식으로 파리 학사원의 상을 받고 페르마의 마지막 정리에 대한 첫 일반적 결과를 남긴 프랑스의 수학자.
  • 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)독일의 수학자·천문학자·물리학자. 『산술 연구』로 정수론을 세우고, 사라진 소행성 세레스의 궤도를 계산해 되찾게 했으며, 최소제곱법을 오차의 법칙으로 정당화하고, 곡면의 곡률과 비유클리드 기하, 전자기학까지 넓혔다.
  • 시메옹 드니 푸아송(Siméon Denis Poisson)프랑스의 수학자·물리학자. 전기와 중력의 퍼텐셜이 따르는 푸아송 방정식, 드문 사건의 횟수를 세는 푸아송 분포를 남기고, '큰 수의 법칙'이라는 이름을 붙였다.
  • 야코프 그림(Jacob Grimm)게르만어의 자음이 다른 인도유럽어와 규칙적으로 어긋난다는 '그림의 법칙'을 정리해 언어의 변화에도 법칙이 있다는 생각을 열고, 동생 빌헬름과 민담을 모은 독일의 언어학자.
  • 오귀스탱루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)극한을 미적분의 토대로 삼아 해석학을 엄밀하게 다시 세우고, 복소평면 위의 적분으로 복소함수론을 연 프랑스의 수학자.
  • 새뮤얼 모스(Samuel Morse)초상화가에서 발명가로 돌아서 미국의 전자석 전신을 실용화했고, 흔한 글자에 짧은 부호를 주는 점과 선의 부호에 이름을 남긴 사람.
  • 찰스 배비지(Charles Babbage)사람이 만든 수표의 오류를 없애려고 덧셈만으로 표를 계산하는 차분기관을, 이어 명령 카드를 바꿔 끼워 무엇이든 계산하는 해석기관을 설계해 컴퓨터의 구조를 한 세기 앞서 그린 영국의 수학자.
  • 니콜라이 로바쳅스키(Nikolai Lobachevsky)평행선 공준을 부정해도 모순 없는 기하가 생긴다는 생각을 가장 먼저 인쇄해 발표한 사람으로 꼽히는, 카잔 대학의 러시아 수학자.
  • 오귀스트 콩트(Auguste Comte)현상이 '왜' 일어나는지 대신 '어떻게' 일어나는지의 법칙만 찾자는 실증주의를 세우고, 그 본보기로 푸리에의 열 이론을 꼽아 『실증 철학 강의』를 푸리에에게 바친 프랑스의 철학자. '사회학'이라는 말을 만들었다.
  • 닐스 헨리크 아벨(Niels Henrik Abel)노르웨이의 수학자. 일반적인 5차 방정식에는 근의 공식이 없음을 증명하고, 타원 적분을 뒤집어 타원함수의 이론을 열었으며, 급수를 엄밀하게 다루는 길을 닦았다. 스물여섯에 결핵으로 죽었다.
  • 야노시 보여이(János Bolyai)평행선 공준 없이 성립하는 기하와 그 반대를 가정한 쌍곡기하를 로바쳅스키와 따로 세워 1832년 아버지의 교과서 부록으로 발표한 트란실바니아의 헝가리계 수학자이자 합스부르크 군대의 공병 장교.
  • 카를 구스타프 야코프 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi)독일의 수학자. 아벨과 함께 타원함수의 이론을 세우고, 행렬식과 야코비 행렬, 해밀턴–야코비 역학, 고유값을 구하는 회전법을 남겼으며, 쾨니히스베르크의 세미나로 독일 연구 대학의 교육을 바꾸었다.
  • 페터 구스타프 르죈 디리클레(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)푸리에 급수의 수렴을 처음 엄밀하게 증명하고, 해석학의 도구로 등차수열 속 소수의 무한함을 보여 해석적 정수론을 연 독일의 수학자.
  • 윌리엄 로언 해밀턴(William Rowan Hamilton)복소수를 실수의 순서쌍으로 정의하고, 곱셈의 교환법칙을 버린 사원수로 공간의 회전을 적었으며, 역학을 에너지 함수 하나로 다시 쓴 아일랜드의 수학자.
  • 에른스트 쿰머(Ernst Eduard Kummer)원분 정수에서 소인수분해가 한 가지로 정해지지 않음을 알아차리고 '이상 복소수'로 되살려, 페르마의 마지막 정리를 정규 소수 지수에 대해 증명하고 대수적 정수론의 길을 연 독일의 수학자.
  • 에바리스트 갈루아(Évariste Galois)프랑스의 수학자. 방정식의 근들을 뒤바꾸는 대칭의 구조, 곧 군으로 방정식이 거듭제곱근으로 풀리는지를 판정하는 이론을 세우고 유한체를 발견했다. 혁명기의 공화파 투사로 살다 스무 살에 결투로 죽었다.
  • 존 스노(John Snow)1854년 런던 콜레라를 지도와 비교로 추적해 병이 물로 옮는다는 증거를 쌓은 영국의 의사로, 역학(疫學)과 자연 실험의 선구자.
  • 조지 불(George Boole)참과 거짓을 1과 0으로 적고 추론을 방정식처럼 계산하는 논리의 대수를 만든, 독학한 영국의 수학자.
  • 카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)코시의 극한을 ε과 δ의 부등식으로 다듬고 균등 수렴, 어디서도 미분할 수 없는 연속 함수, 다항식 근사 정리로 현대 해석학의 엄밀함을 세운 독일의 수학자.
  • 에이다 러브레이스(Ada Lovelace)배비지의 해석기관을 해설한 1843년의 주석에서 베르누이 수를 계산하는 절차를 한 단계씩 짜고, 기계가 수 밖의 기호도 다룰 수 있다고 내다본 영국의 수학자.
  • 파프누티 체비쇼프(Pafnuty Chebyshev)소수의 개수를 처음으로 단단한 부등식 사이에 가두고, 가장 큰 오차를 가장 작게 하는 근사와 확률의 부등식으로 페테르부르크 학파를 세운 러시아의 수학자.
  • 아서 케일리(Arthur Cayley)행렬을 하나의 대상으로 더하고 곱하는 대수를 세우고, 군을 처음 추상적으로 정의하고, 트리의 개수를 센 영국의 수학자.
  • 프랜시스 골턴(Francis Galton)부모와 자녀의 키에서 평균으로의 회귀를 발견하고 상관의 개념을 만든 영국의 과학자로, 동시에 우생학을 주창해 깊은 해를 남긴 사람.
  • 레오폴트 크로네커(Leopold Kronecker)베를린에서 대수적 수와 방정식의 이론을 이끌며, 자연수에서 유한한 단계로 만들 수 있는 대상만 수학이 인정해야 한다고 보아 칸토어의 무한 집합론과 데데킨트의 아이디얼에 맞선 독일의 수학자.
  • 윌리엄 톰슨(William Thomson, Lord Kelvin)푸리에의 열방정식으로 해저 전신과 지구의 나이를 계산하고, 절대 온도와 열역학 제2법칙을 세운 영국의 물리학자(켈빈 경).
  • 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)적분을 막대 합의 극한으로 정의하고, 휘어진 공간의 기하를 세웠으며, 소수의 분포를 제타 함수의 영점과 이은 독일의 수학자.
  • 제임스 클러크 맥스웰(James Clerk Maxwell)전기와 자기와 빛을 방정식 몇 개로 묶고, 기체 분자의 속도에 확률 분포를 처음 들여온 스코틀랜드의 물리학자.
  • 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)실수를 유리수의 절단으로 정의하고, 자연수를 집합과 사상으로 세우고, 아이디얼로 정수론을 다시 쓴 독일의 수학자.
  • 조사이아 윌러드 깁스(Josiah Willard Gibbs)열역학을 곡면의 기하와 화학 평형의 언어로 다시 쓰고, 벡터 해석과 통계역학의 앙상블을 세운 미국 예일 대학의 물리학자.
  • 게오르크 칸토어(Georg Cantor)일대일 대응으로 무한의 크기를 비교해 무한에도 여러 크기가 있음을 보이고 집합론을 세운 독일의 수학자.
  • 고틀로프 프레게(Gottlob Frege)'모든'과 '어떤'을 변수와 함께 다루는 최초의 형식 언어를 만들고, 산술 전체를 논리에서 이끌어 내려다 러셀의 역설에 부딪힌 독일의 논리학자이자 철학자.
  • 펠릭스 클라인(Felix Klein)기하학을 변환의 군과 그 아래에서 변하지 않는 성질로 분류한 에를랑겐 강령을 내놓고, 괴팅겐을 세계 수학의 중심으로 조직한 독일의 수학자.
  • 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)삼체 문제에서 혼돈을 처음 보고, 쌍곡기하의 원판 모형과 위상수학의 기초를 남긴 프랑스의 수학자이자 과학철학자.
  • 안드레이 마르코프(Andrey Markov)다음 상태의 확률이 지금 상태에만 달린 확률 과정, 곧 마르코프 연쇄를 연구해 의존하는 사건들에도 큰 수의 법칙이 성립함을 보인 러시아의 수학자.
  • 칼 피어슨(Karl Pearson)상관계수, 카이제곱 검정, 주성분 분석을 만들어 통계학을 대학의 학문으로 세운 영국의 통계학자. 우생학의 주창자이기도 했다.
  • 주세페 페아노(Giuseppe Peano)자연수를 몇 개의 공리로 적고, 정사각형을 빈틈없이 메우는 연속 곡선과 ∈ 같은 논리 기호를 내놓아 수학 전체를 정확한 기호 언어로 다시 쓰려 한 이탈리아의 수학자.
  • 다비트 힐베르트(David Hilbert)기하학을 공리로 다시 세우고 1900년의 23개 문제로 20세기 수학의 방향을 정했으며, 수학 전체의 무모순성을 증명하려 한 괴팅겐의 수학자.
  • 찰스 스피어먼(Charles Spearman)순위로 계산하는 상관계수와, 잡음 섞인 검사가 상관을 줄이는 만큼을 되돌리는 희석 보정을 내놓고, 모든 검사 점수에 공통으로 실린 '일반 요인' g를 제안해 요인 분석의 출발점을 만든 영국의 심리학자.
  • 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)격자점과 볼록한 도형으로 정수론을 푸는 수의 기하학을 세우고, 특수 상대성 이론을 시간과 공간이 하나로 묶인 4차원 시공간의 기하로 다시 쓴 독일의 수학자.
  • 폴 자카드(Paul Jaccard)알프스와 쥐라 산지의 식물 목록을 비교하며, 두 집합의 교집합 크기를 합집합 크기로 나눈 '공동체 계수'(오늘날의 자카드 지수)를 내놓은 스위스의 식물학자.
  • 드미트리 예고로프(Dmitri Egorov)점마다 따로 수렴하는 함수열이 원하는 만큼 작은 예외만 빼면 한꺼번에 수렴한다는 예고로프 정리를 증명하고, 제자 루진과 함께 모스크바에 실함수론 학파를 연 러시아의 수학자. 신앙 때문에 체포되어 유배지에서 세상을 떠났다.
  • 에른스트 체르멜로(Ernst Zermelo)선택공리로 모든 집합을 줄 세울 수 있음을 증명하고, 역설을 피하도록 집합을 만드는 규칙을 처음 공리로 적어 오늘날 ZFC 집합론의 뼈대를 놓은 독일의 수학자.
  • 우드니 율(George Udny Yule)다중 회귀를 처음으로 사회 문제에 쓰고, 부분과 전체의 연관이 어긋나는 현상과 시계열의 '말도 안 되는 상관'을 경고했으며, 자기회귀 모형과 거듭제곱 꼬리를 낳는 성장 과정을 만든 영국의 통계학자.
  • 버트런드 러셀(Bertrand Russell)집합론의 역설을 찾아내고 화이트헤드와 『수학 원리』를 써서 수학을 논리 위에 세우려 한 영국의 논리학자이자 철학자. 평화 운동가이자 노벨 문학상 수상자.
  • 앙리 르베그(Henri Lebesgue)길이를 셀 수 있는 무한 개의 구간으로 재는 측도를 세우고, 가로축 대신 함숫값을 잘게 잘라 더하는 새 적분을 만들어 20세기 해석학과 확률론의 바탕을 놓은 프랑스의 수학자.
  • G. H. 하디(G. H. Hardy)대륙의 엄밀한 해석학을 영국에 들여오고, 리틀우드와 라마누잔과 함께 소수와 분할수를 복소해석으로 다루는 해석적 정수론을 이끌었으며, 『어느 수학자의 변명』으로 순수 수학의 아름다움을 옹호한 영국의 수학자.
  • 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)1906년 박사 논문에서 점이든 함수든 몇 가지 규칙을 지키는 '거리'만 있으면 극한과 연속을 논할 수 있다는 생각, 곧 거리 공간을 처음 세우고 뒤에 확률론과 통계학으로 옮겨 간 프랑스의 수학자.
  • 알베르트 아인슈타인(Albert Einstein)빛의 속도가 누구에게나 같다는 원리에서 시간과 공간의 상대성을 끌어내고, 중력을 휘어진 시공간의 기하로 설명한 일반 상대성 이론으로 리만 기하학을 물리학의 언어로 만든 물리학자.
  • L. E. J. 브라우어르(L. E. J. Brouwer)연속 함수는 원판의 한 점을 반드시 제자리에 둔다는 고정점 정리와 차원 불변성으로 위상수학의 기초를 놓고, 무한에 배중률을 쓰지 말자는 직관주의로 힐베르트와 수학의 토대를 다툰 네덜란드의 수학자.
  • 에미 뇌터(Emmy Noether)작용 원리로 적히는 물리 법칙에서는 연속적인 대칭마다 보존되는 양이 있다는 뇌터 정리로 물리학의 보존 법칙을 대칭에서 끌어내고, 환과 아이디얼의 추상 대수학을 세워 20세기 대수학의 언어를 바꾼 독일의 수학자.
  • 니콜라이 루진(Nikolai Luzin)측도를 잴 수 있는 함수는 작은 예외만 빼면 연속이라는 루진 정리와 삼각급수·해석적 집합의 연구로 기술 집합론을 열고, 세미나 '루시타니아'에서 소련 수학의 첫 세대를 길러 냈으나 1936년 '루진 사건'으로 공개 규탄을 받은 러시아의 수학자.
  • 존 메이너드 케인스(John Maynard Keynes)확률을 증거와 결론 사이의 논리적 관계로 본 『확률론』을 쓰고 젊은 램지의 비판자이자 후원자가 되었으며, 뒤에 『일반 이론』으로 20세기 거시 경제학을 연 케임브리지의 경제학자.
  • 쾨니그 데네시(Dénes Kőnig)이분 그래프의 매칭과 덮개가 같다는 정리, 무한한 나무에는 끝없는 길이 있다는 보조정리를 남기고, 1936년 그래프 이론의 첫 교과서를 써서 놀이 문제의 모음이던 그래프를 수학의 한 분야로 세운 부다페스트의 수학자.
  • J. E. 리틀우드(J. E. Littlewood)하디와 35년간 백 편 가까운 논문을 함께 쓰며 급수와 소수 분포를 다듬고, 소수의 개수가 로그 적분을 앞뒤로 무한히 넘나든다는 정리와 카트라이트와의 비선형 진동 연구로 이름을 남긴 영국의 수학자.
  • 헤르만 바일(Hermann Weyl)괴팅겐에서 힐베르트에게 배워 북의 고유값에서 넓이를 읽는 바일 법칙, 게이지 이론의 첫 형태, 군으로 본 양자역학을 남기고, 1921년 수학 기초의 '새로운 위기'를 선언하며 한동안 브라우어르의 직관주의 편에 선 독일의 수학자.
  • 스리니바사 라마누잔(Srinivasa Ramanujan)대학을 마치지 못한 채 거의 혼자 힘으로 수천 개의 공식을 찾아낸 인도의 수학자. 하디와 함께 분할수와 소인수에 대한 깊은 결과를 남겼다.
  • 요한 라돈(Johann Radon)직선마다의 적분값으로 평면 위의 함수를 되찾는 공식(라돈 변환, 1917)을 세워 반세기 뒤 CT의 수학이 되었고, 측도와 적분의 이론에도 이름을 남긴 오스트리아의 수학자.
  • 후고 슈타인하우스(Hugo Steinhaus)르부프에서 바나흐를 발견해 함께 함수해석학의 르부프 학파를 세우고, 전쟁 뒤 브로츠와프에서 폴란드 수학을 다시 일으켰으며, 공정한 나누기, 최소 비교 정렬, 무한 게임의 결정성 공리 같은 문제를 던진 폴란드의 수학자.
  • 랠프 하틀리(Ralph Hartley)진공관 발진기를 발명하고, 1928년 정보의 양을 가능한 메시지 수의 로그로 재자고 제안해 섀넌의 정보 이론에 출발점을 준 벨 연구소의 전자 공학자.
  • 해리 나이퀴스트(Harry Nyquist)대역폭 B인 통로로 1초에 펄스 2B개를 보낼 수 있음을 보이고, 열잡음의 이론과 되먹임 증폭기의 안정 판정법을 남긴 스웨덴 태생의 미국 공학자.
  • 루트비히 비트겐슈타인(Ludwig Wittgenstein)논리의 참이 세상에 대해 아무것도 말하지 않는 동어반복임을 보이고 진리표를 논리학의 표준 도구로 만든 뒤, 말년에는 낱말의 뜻을 그 쓰임에서 찾고 규칙을 따른다는 것이 무엇인지 물은 오스트리아 태생의 케임브리지 철학자.
  • 수얼 라이트(Sewall Wright)요인들 사이의 영향을 화살표로 그리고 화살표마다 계수를 붙여 관찰된 상관을 풀어내는 경로 분석을 만들어 인과 그래프의 조상이 되었고, 피셔, 홀데인과 함께 집단유전학을 세운 미국의 유전학자.
  • 로널드 피셔(Ronald Fisher)무작위 배정, 분산분석, 최대가능도법으로 현대 통계학과 실험 설계를 세우고 집단유전학의 기초를 놓은 영국의 통계학자. 평생 우생학을 옹호했다.
  • 루돌프 카르나프(Rudolf Carnap)빈 학파의 중심에서 과학의 언어를 논리로 다시 짜려 했고, 『언어의 논리적 구문』에서 범주론이 빌려 간 낱말 '함자'를 썼으며, 문장에 확률을 매기는 귀납 논리와 바르힐렐과 함께한 의미 정보 이론을 세운 독일 출신의 철학자.
  • 프라산타 찬드라 마할라노비스(Prasanta Chandra Mahalanobis)퍼짐과 상관을 고려한 마할라노비스 거리를 만들고, 인도 통계 연구소와 전국 표본 조사를 세워 표본으로 나라를 재는 방법을 개척한 인도의 통계학자.
  • 노버트 위너(Norbert Wiener)브라운 운동을 수학적으로 엄밀한 무작위 경로로 만들고, 전쟁 중 대공포 조준 문제에서 잡음 속의 신호를 예측·여과하는 이론을 세웠으며, 『사이버네틱스』로 기계와 생물을 되먹임과 정보로 함께 설명하자고 한 MIT의 수학자.
  • 오스틴 브래드퍼드 힐(Austin Bradford Hill)무작위 대조 임상시험을 의학에 들여오고 리처드 돌과 함께 흡연이 폐암의 원인임을 밝혔으며, 관찰 자료로 인과를 판단할 관점들을 정리한 영국의 의학통계학자.
  • 워런 맥컬러(Warren McCulloch)뇌를 논리 기계로 보고 피츠와 함께 1943년 논리 뉴런 모형을 세웠으며, 사이버네틱스를 일군 메이시 회의의 의장을 맡고, 개구리의 눈이 이미 가공된 특징을 뇌로 보낸다는 것을 밝힌 미국의 신경생리학자.
  • 해스켈 커리(Haskell Curry)변수 없이 두 가지 기본 조합자 S와 K만으로 모든 함수를 짜는 조합 논리를 발전시키고, 조합자의 타입이 논리의 공리와 똑같은 모양이라는 것을 알아차려 커리–하워드 대응의 절반을 연 미국 논리학자.
  • 아서 새뮤얼(Arthur Samuel)스스로 둔 대국에서 배워 자신을 이기게 된 체커 프로그램을 만들고, 1959년 논문 제목으로 '기계 학습'이라는 말을 널리 알린 미국의 공학자이자 컴퓨터 과학자.
  • 프랭크 램지(Frank Ramsey)스물여섯 해의 짧은 삶 동안 논리학, 확률의 철학, 경제학에 저마다 오래 남는 논문을 쓰고, 램지 이론에 이름을 남긴 케임브리지의 수학자이자 철학자.
  • 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)확률론을 측도의 언어로 공리화하고, 난류, 동역학계, 정보와 알고리즘의 복잡도까지 넓게 연구한 소련의 수학자.
  • 존 폰 노이만(John von Neumann)집합론, 양자역학, 게임 이론, 컴퓨터 구조, 몬테카를로 방법까지 20세기 수학과 과학의 거의 모든 곳에 흔적을 남긴 헝가리 태생의 미국 수학자.
  • 알론조 처치(Alonzo Church)함수를 만들고 적용하는 두 규칙만으로 계산을 적는 람다 계산을 세우고, 1936년 힐베르트의 결정 문제가 풀릴 수 없음을 처음 증명했으며, 튜링을 비롯한 한 세대의 논리학자를 길러 낸 프린스턴의 논리학자.
  • 필립 홀(Philip Hall)유한군의 구조 이론을 일군 케임브리지의 대수학자. 곁가지로 증명한 홀의 정리(결혼 정리)로 조합론과 그래프 이론에 이름을 남겼다.
  • 마리안 레예프스키(Marian Rejewski)치환의 순환 구조에 관한 정리로 독일군 암호기 에니그마의 회전자 배선을 재구성하고, 해독 기계 봄바를 설계해 그 성과를 전쟁 직전 영국과 프랑스에 넘긴 폴란드의 수학자.
  • 쿠르트 괴델(Kurt Gödel)산술을 담는 무모순 체계에는 증명할 수 없는 참인 문장이 있음을 보인 불완전성 정리로, 수학의 확실성에 대한 20세기의 생각을 바꾼 오스트리아 태생의 논리학자.
  • 안드레이 티호노프(Andrey Nikolayevich Tikhonov)콤팩트 공간의 곱에 관한 '티호노프 정리'로 위상수학에 이름을 남긴 뒤, 땅속을 전기와 자기로 탐사하는 지구물리학의 문제에서 불안정한 역문제를 푸는 방법인 정규화를 세운 소련의 수학자.
  • 손더스 매클레인(Saunders Mac Lane)새뮤얼 에일렌베르크와 함께 범주론을 세우고, 교과서 『일하는 수학자를 위한 범주』로 그것을 수학의 공용어로 만들었으며, 결합 법칙이 등식이 아니라 자연스러운 동형으로만 성립하는 구조를 다루는 정합성 정리를 증명한 미국 수학자.
  • 게르하르트 겐첸(Gerhard Gentzen)사람이 실제로 추론하는 방식을 본뜬 증명 체계인 자연 연역과 시퀀트 계산을 만들고, 증명에서 돌아가기를 모두 없앨 수 있다는 절단 제거 정리와 자연수 산술의 무모순성 증명을 남긴 독일의 논리학자.
  • 스티븐 클리니(Stephen Cole Kleene)처치의 제자로 재귀 함수 이론을 세우고, 신경망 모형을 분석하다 정규 표현식과 반복을 나타내는 별표(*)를 만든 미국의 논리학자.
  • 앨런 튜링(Alan Turing)'기계적으로 계산할 수 있다'는 말을 튜링 기계로 정의해 결정 문제에 '아니오'라고 답하고, 전쟁 중에는 에니그마 해독을 이끌었으며, 기계가 생각할 수 있느냐는 물음을 모방 게임이라는 시험의 꼴로 바꾸어 던진 영국 수학자.
  • 레오니트 칸토로비치(Leonid Kantorovich)1939년 합판 공장의 기계 배정 문제에서 선형 계획법의 뼈대와 자원의 '가격'이라는 생각을 세우고, 1942년 몽주의 흙 옮기기 문제를 최적 수송 이론으로 바꾼 소련의 수학자이자 경제학자.
  • 리처드 돌(Richard Doll)오스틴 브래드퍼드 힐과 함께 환자–대조 연구와 50년에 걸친 영국 의사 코호트 연구로 흡연이 폐암의 원인임을 밝히고, 석면과 방사선과 피임약의 위험을 재며 현대 역학의 방법을 세운 영국의 의사.
  • 에르되시 팔(Paul Erdős)여행 가방 하나로 세계를 떠돌며 500명이 넘는 공동 저자와 1,500편 가까운 논문을 쓴 헝가리 수학자로, 무작위로 고른 대상으로 존재를 증명하는 확률적 방법을 널리 퍼뜨리고 레니와 함께 무작위 그래프 이론을 열었다.
  • 새뮤얼 에일렌베르크(Samuel Eilenberg)손더스 매클레인과 함께 범주, 함자, 자연 변환을 정의해 범주론을 세우고, 호몰로지를 공리로 규정했으며, 말년에는 오토마타와 유한 모노이드를 잇는 이론을 세운 폴란드 태생의 미국 수학자.
  • 조지 댄치그(George Dantzig)미 공군의 계획 문제를 일차 부등식으로 적는 선형 계획법을 세우고, 그 답을 꼭짓점에서 꼭짓점으로 걸어가며 찾는 단체법을 1947년에 만들어 20세기 경영과 공학의 최적화를 연 미국의 수학자.
  • 리처드 해밍(Richard Hamming)벨 연구소에서 검사 비트 몇 개로 오류를 스스로 찾아 고치는 해밍 부호와, 부호어 사이의 해밍 거리를 내놓은 미국 수학자.
  • 존 튜키(John Tukey)고속 푸리에 변환을 쿨리와 함께 발표하고, 상자 그림과 탐색적 자료 분석으로 자료를 먼저 들여다보는 통계학을 세웠으며, '비트'라는 낱말을 지은 프린스턴과 벨 연구소의 통계학자.
  • 클로드 섀넌(Claude Shannon)스위치 회로를 불 대수로 설계하는 법을 보이고, 정보를 비트로 재는 엔트로피와 통로 용량으로 정보 이론을 한 번에 세운 미국 수학자이자 공학자.
  • 에드워드 로렌츠(Edward Lorenz)날씨 모형의 반올림 실험에서 초기 조건에 대한 민감성을 발견하고, 세 변수 대류 방정식의 기이한 끌개로 혼돈 이론의 문을 연 미국 기상학자.
  • 리처드 벨먼(Richard Bellman)냉전기 RAND 연구소에서 여러 단계에 걸친 결정 문제를 풀려고 동적 계획법과 최적성의 원리를 세우고, '차원의 저주'라는 말을 만든 미국의 응용수학자.
  • 데이비드 게일(David Gale)선형 계획의 쌍대성과 게임 이론을 잇고, 무한히 이어지는 게임이 언제 결정되는지를 묻는 연구를 열었으며, 섀플리와 함께 안정 매칭 알고리즘을 내놓고, 헥스와 촘프 같은 놀이 속에서 깊은 정리를 찾아낸 미국의 수리경제학자.
  • 케네스 애로(Kenneth Arrow)사람들의 순위를 모아 사회의 순위를 내는 규칙 가운데 몇 가지 당연한 조건을 모두 지키는 것은 독재뿐임을 증명하고, 시장의 일반 균형이 존재함을 보여 1972년 노벨 경제학상을 받은 미국의 경제학자.
  • 요아힘 람베크(Joachim Lambek)낱말에 타입을 주어 문장의 문법을 계산하는 범주 문법(람베크 계산)을 만들고, 논리의 증명과 타입 붙은 람다 계산과 데카르트 닫힌 범주가 서로 대응한다는 것을 보인 캐나다의 수학자.
  • 월터 피츠(Walter Pitts)정규 교육 없이 논리학을 익혀 열아홉 살에 맥컬러와 함께 신경세포를 켜짐·꺼짐의 논리 소자로 본 1943년 논문을 쓰고, 신경망과 오토마톤 이론의 출발점을 놓은 미국의 논리학자.
  • 로이드 섀플리(Lloyd Shapley)함께 번 것을 공정하게 나누는 섀플리 값, 여러 판이 이어지는 확률 게임, 게일과 함께 만든 안정 매칭 알고리즘으로 협력과 배분의 게임 이론을 세우고 2012년 노벨 경제학상을 받은 미국 수학자.
  • 데이비드 허프만(David A. Huffman)가장 드문 두 기호부터 묶어 올라가는 방법으로 평균 길이가 가장 짧은 접두 부호를 찾아내고, 순차 스위칭 회로와 곡선 종이접기의 수학에도 발자국을 남긴 미국 컴퓨터 과학자.
  • 해럴드 쿤(Harold W. Kuhn)배정 문제를 푸는 헝가리안 방법, 부등식 제약이 있는 최적화의 쿤–터커 조건, 정보가 가려진 게임을 나무로 적는 확장형 게임의 이론을 남기고, 잊힌 선구자들을 찾아내 세상에 알린 미국 수학자.
  • 윌리엄 하워드(William Alvin Howard)증명을 간단히 하는 과정이 람다 계산의 계산과 한 걸음씩 맞아떨어진다는 것을 1969년 원고에서 보여 커리–하워드 대응을 완성하고, 바흐만–하워드 서수에 이름을 남긴 캐나다 태생의 미국 증명 이론가.
  • 레이 솔로모노프(Ray Solomonoff)자료를 출력하는 모든 프로그램에 짧을수록 큰 믿음을 주는 '보편 예측'으로 귀납 추론을 계산의 말로 적고, 콜모고로프·차이틴과 따로 알고리즘적 정보 이론의 문을 연 미국의 연구자.
  • 마빈 민스키(Marvin Minsky)뉴런을 흉내 낸 초기의 학습 기계 SNARC를 짓고, MIT 인공지능 연구소를 세워 '생각을 기계로 옮기는' 연구를 이끌었으며, 『퍼셉트론』으로 한 층짜리 신경망이 무엇을 못 하는지 증명한 미국의 수학자이자 인공지능 연구자.
  • 존 매카시(John McCarthy)'인공지능'이라는 이름을 붙인 1955년 제안서를 쓰고, 프로그램과 자료를 같은 목록으로 적는 언어 리스프(LISP)를 만들었으며, 상식을 논리로 적는 연구를 이끈 미국의 컴퓨터 과학자.
  • 프랭크 로젠블랫(Frank Rosenblatt)예를 보며 틀릴 때마다 스스로 가중치를 고치는 학습 기계 퍼셉트론을 만들어 오늘날 신경망의 출발점이 된 미국 심리학자.
  • 노엄 촘스키(Noam Chomsky)문법을 유한한 규칙의 되풀이로 보고 형식 문법을 네 층의 위계로 정리해, 언어학과 컴퓨터 과학 모두의 틀을 바꾼 미국 언어학자.
  • 알렉산더 그로텐디크(Alexander Grothendieck)방정식의 해를 수 체계마다 모으는 함자로 도형을 다시 정의한 스킴 이론과, 공간의 개념을 넓힌 토포스로 대수 기하학을 새로 세우고, 1970년 연구 기관을 떠난 뒤 말년에 은둔한, 독일에서 태어나 프랑스에서 활동한 수학자.
  • 존 내시(John Forbes Nash Jr.)유한한 게임에는 누구도 혼자 전략을 바꾸어 이득을 볼 수 없는 균형이 늘 있다는 것을 고정점 정리로 증명하고, 보드게임 헥스를 따로 발명했으며, 기하학과 편미분방정식에도 깊은 정리를 남긴 미국의 수학자.
  • 에츠허르 데이크스트라(Edsger W. Dijkstra)가까운 곳부터 거리를 확정해 나가는 최단 경로 알고리즘을 만들고, 프로그램을 수학처럼 증명하며 짜자는 구조적 프로그래밍을 이끈 네덜란드 컴퓨터 과학자.
  • 요네다 노부오(Nobuo Yoneda)대상이 다른 모든 대상과 맺는 관계가 그 대상을 완전히 결정한다는 요네다 보조정리와, 완전열로 Ext를 정의하는 요네다 곱을 남기고, 뒤에는 컴퓨터 과학으로 옮겨 ALGOL 언어의 국제 작업반에서 일본을 대표한 일본 수학자이자 컴퓨터 과학자.
  • 야코브 지브(Jacob Ziv)확률을 전혀 모르고도 엔트로피의 한계까지 줄이는 보편 압축을 렘펠과 함께 만들어 zip, PNG, GIF의 바탕을 놓고, 곁정보가 있을 때의 부호화와 추정 오차의 한계에도 이름을 남긴 이스라엘의 정보 이론가.
  • 토니 호어(Tony Hoare)퀵정렬을 고안하고, 프로그램이 옳다는 것을 논리로 증명하는 호어 논리와 병행 프로세스의 수학을 세운 영국 컴퓨터 과학자.
  • 로빈 밀너(Robin Milner)증명 보조기의 설계 원리가 된 LCF, 타입을 적지 않아도 가장 일반적인 타입을 찾아 주는 언어 ML, 동시에 돌아가는 프로세스들의 대수 CCS와 π 계산을 만든 영국 컴퓨터 과학자.
  • 앤드루 비터비(Andrew Viterbi)잡음 섞인 합성곱 부호를 가장 그럴듯하게 푸는 비터비 알고리즘(1967)을 내놓고, 링커빗과 퀄컴을 함께 세워 디지털 이동 통신 CDMA를 이끈 이탈리아 태생의 미국 공학자.
  • 주디아 펄(Judea Pearl)확률 추론을 그래프 위의 계산으로 바꾼 베이즈 네트워크와, 관찰과 개입을 구별하는 인과 그래프와 do 연산을 세운 컴퓨터 과학자.
  • 로버트 메이(Robert May)개체 수를 셈하는 2차식 하나가 평형과 주기와 혼돈을 모두 낳는다는 것을 널리 알리고, 복잡한 생태계일수록 안정하다는 통념을 무작위 행렬로 뒤집었으며, 감염병과 금융 위기까지 같은 수학으로 읽은 오스트레일리아 태생의 이론물리학자이자 생태학자.
  • 아브라함 렘펠(Abraham Lempel)문자열을 '앞에서 베낄 수 없는 가장 짧은 조각'으로 잘라 복잡도를 재는 방법에서 출발해 지브와 함께 렘펠–지브 압축을 만들고, 시프트 레지스터 수열과 평면 그래프 판정에도 이름을 남긴 이스라엘의 컴퓨터 과학자.
  • 블라디미르 바프니크(Vladimir Vapnik)유한한 표본으로 배운 규칙이 새 자료에서도 통할 조건을 VC 차원으로 정확히 적은 통계적 학습 이론을 알렉세이 체르보넨키스와 세우고, 여백을 가장 넓히는 분류기 서포트 벡터 머신을 만든 소련 출신의 수학자.
  • 윌리엄 로베어(F. William Lawvere)대수 구조를 범주와 함자로 다루는 함자 의미론, 집합론을 사상의 공리로 다시 쓴 ETCS, 칸토어·러셀·괴델·튜링의 대각선 논법을 한 정리로 묶은 고정점 정리, 논리의 모형이 되는 기본 토포스를 내놓아 범주론적 논리를 연 미국 수학자.
  • 도널드 크누스(Donald Knuth)알고리즘이 몇 걸음 만에 끝나는지를 정확히 세는 '알고리즘 분석'을 세우고, 필생의 연작 『컴퓨터 프로그래밍의 기술』을 쓰고 있으며, 수식을 아름답게 짜는 조판 프로그램 TeX을 만든 미국 컴퓨터 과학자.
  • 페르 마르틴뢰프(Per Martin-Löf)무작위 수열을 계산 가능한 모든 통계적 검정을 통과하는 수열로 정의해 오늘날의 표준 정의를 놓고, 명제와 타입, 증명과 프로그램을 하나로 다루는 직관주의 타입 이론을 세워 오늘날 증명 보조기들의 바탕을 놓은 스웨덴 논리학자.
  • 제프리 힌턴(Geoffrey Hinton)통계 물리학의 볼츠만 분포로 배우는 신경망인 볼츠만 머신을 만들고, 역전파가 숨은 층에 쓸모 있는 표현을 배우게 한다는 것을 보였으며, 2012년 알렉스넷으로 딥러닝의 시대를 연 영국 태생의 캐나다 컴퓨터 과학자.
  • 장이브 지라르(Jean-Yves Girard)타입을 인자로 받는 다형 람다 계산인 시스템 F를 만들어 그 모든 프로그램이 멈춘다는 것을 증명하고, '모든 타입의 타입'이 모순임을 보였으며, 가정을 자원처럼 한 번씩만 쓰는 선형 논리를 만든 프랑스 논리학자.
  • 리처드 서튼(Richard S. Sutton)지금의 예측을 조금 뒤의 예측 쪽으로 고치는 시간차 학습을 정식화하고, 스승 앤드루 바토와 함께 강화 학습의 개념과 알고리즘의 기초를 놓아 2024년도 튜링상을 받은 미국 태생의 캐나다 컴퓨터 과학자.
  • 얀 르쿤(Yann LeCun)같은 작은 필터를 그림 전체에 밀며 쓰는 합성곱 신경망을 역전파로 학습시켜 손글씨 우편번호와 수표를 읽게 하고, 손글씨 숫자 자료 MNIST를 함께 만든 프랑스 태생의 컴퓨터 과학자.
  • 요슈아 벤지오(Yoshua Bengio)순환 신경망에서 기울기가 사라지는 까닭을 밝히고, 낱말을 벡터로 바꾸어 다음 낱말을 맞히는 신경망 언어 모형과 기계 번역의 어텐션을 제자들과 내놓은 프랑스 태생의 캐나다 컴퓨터 과학자.
  • 블라디미르 보예보츠키(Vladimir Voevodsky)대수 방정식의 해집합에 위상수학의 호모토피 이론을 옮겨 심은 모티브 코호몰로지로 필즈상을 받고, 같음을 공간의 경로로 보는 일가성 공리로 수학의 새 기초인 일가 기초론을 제안한 러시아 수학자.
  • 페이페이 리(Fei-Fei Li)사진 1,400만 장 남짓에 2만 가지가 넘는 범주의 이름표를 붙인 자료 이미지넷을 만들고 그 경연 대회를 열어, 컴퓨터 시각이 딥러닝으로 넘어가는 계기를 마련한 중국 태생의 미국 컴퓨터 과학자.

시대와 장소(Times and places)

  • 알렉산드리아 무세이온(Mouseion of Alexandria)기원전 300년 무렵 프톨레마이오스 왕조가 알렉산드리아 궁정 안에 세운 학자들의 공동체와 도서관. 유클리드와 에라토스테네스에서 프톨레마이오스, 테온과 히파티아까지 700년 동안 그리스 수학의 중심이었고, 한 번의 불이 아니라 긴 쇠퇴 끝에 사라졌다.
  • 바그다드 지혜의 집(House of Wisdom (Bayt al-Ḥikma))8세기 중엽부터 두 세기 반 동안 아바스 왕조의 바그다드에서 그리스·인도·페르시아의 과학이 아랍어로 옮겨지고 하나로 엮인 번역 운동과 그 상징인 칼리프의 서고. 알콰리즈미의 대수학과 인도식 자릿값 숫자가 여기서 나와 라틴 유럽으로 건너갔다.
  • 르네상스 이탈리아의 대수학 경연(Algebra contests of Renaissance Italy)피보나치 이후 이탈리아 상업 도시의 셈법 학교에서 자란 상인의 대수학이, 비밀과 공개 대결의 문화 속에서 16세기에 3차·4차방정식의 풀이와 허수의 계산에 이른 이야기.
  • 케랄라 학파(Kerala school of astronomy and mathematics)14세기 말부터 17세기 초까지 인도 남서쪽 말라바르 해안의 브라만 가문들 안에서 이어진 천문학자 계보. 마다바에서 닐라칸타와 제스타데바까지, 사인·코사인·아크탄젠트의 무한급수와 그 오차를 줄이는 보정항을 유럽보다 두 세기 앞서 얻었다.
  • 조선의 산학(Mathematics in Joseon Korea)조선 500년 동안 호조의 산원이 취재로 뽑혀 『산학계몽』 같은 송·원의 산학서와 산가지로 나라의 셈을 맡고, 최석정 같은 양반 학자가 수의 이치를 탐구했으며, 17세기부터 청을 거쳐 서양 수학이 들어와 만난 이야기.
  • 편지 공화국(Republic of Letters)학술지가 없던 17세기 유럽에서 수학자들이 라틴어 편지로 결과를 나누던 국경 없는 연결망. 파리의 수도사 메르센이 그 우체국이었고, 1665년 학술지가 나오면서 편지는 인쇄된 지면에 자리를 내주었다.
  • 왕립학회와 과학 아카데미(The Royal Society and the Scientific Academies)17–18세기 유럽의 왕과 귀족이 세운 과학 단체들. 런던 왕립학회, 파리 과학 아카데미, 베를린과 페테르부르크의 아카데미가 학술지와 현상 공모와 봉급으로 학자들을 먹여 살렸고, 오일러와 라그랑주는 이 궁정들 사이를 오가며 해석학을 넓혔다.
  • 혁명기 파리와 에콜 폴리테크니크(Revolutionary Paris and the École Polytechnique)프랑스 혁명과 나폴레옹 시대의 파리. 전쟁과 공공사업에 필요한 기술자를 기르려고 1794년 세운 에콜 폴리테크니크에서 라그랑주, 라플라스, 몽주, 푸리에, 코시가 가르치고 배웠고, 미터법과 해석학의 엄밀화와 열의 수학이 여기서 나왔다.
  • 괴팅겐(Göttingen)독일 중부의 대학 도시. 가우스가 천문대장으로 온 1807년부터 디리클레, 리만, 클라인, 힐베르트, 뇌터로 이어지며 한 세기 넘게 수학의 중심이었고, 1933년 나치 정권의 추방으로 몇 달 만에 무너졌다.
  • 전신과 해저 케이블의 시대(The Age of the Telegraph and the Submarine Cable)전선이 철도를 따라, 이어서 바다 밑으로 대륙을 이은 19세기. 낱말마다 요금을 매긴 전신 사업과 부호집, 대서양 케이블의 실패와 성공, 톰슨의 제곱 법칙이 메시지를 짧게, 빨리, 틀림없이 보내는 셈을 낳았고, 그 셈이 20세기의 정보 이론이 되었다.
  • 골턴 연구소와 로담스테드: 통계학의 탄생(The Galton Laboratory and Rothamsted: The Birth of Statistics)1880년대부터 반세기 동안 런던과 그 근교에서 현대 통계학이 태어났다. 골턴의 측정 실험실, 피어슨의 생물측정 연구실과 『바이오메트리카』, 피셔의 로담스테드 농업 시험장이 상관, 회귀, 검정, 실험 설계를 만들었고, 같은 연구실들이 우생학의 본거지였다.
  • 부다페스트의 수학자들(The Budapest school)1894년 한 고등학교 교사의 문제 잡지와 경시대회에서 시작해, 20세기의 조합론과 그래프 이론, 컴퓨터와 원자폭탄에까지 이름을 남긴 수학자와 과학자들을 길러 낸 부다페스트의 반세기.
  • 20세기 초 케임브리지(Cambridge in the Early Twentieth Century)1900년부터 2차 세계대전까지의 케임브리지 대학. 러셀과 화이트헤드의 『수학 원리』, 하디와 리틀우드와 라마누잔의 정수론, 케인스와 램지의 확률, 필립 홀의 군론, 학생 튜링의 계산 기계가 몇 개의 칼리지 안에서 나왔다.
  • 모스크바 수학 학파(The Moscow school of mathematics)1910년대 니콜라이 루진의 세미나에서 시작해 실함수론, 위상수학, 확률론, 동역학계를 이끌었고, 혁명과 숙청과 냉전 속에서도 세미나와 올림피아드와 영재 학교로 세대를 이어 간 20세기 모스크바의 수학 공동체.
  • 벨 연구소(Bell Labs)AT&T의 규제된 독점이 벌어들인 돈으로 전화를 더 잘 걸기 위한 물음을 끝까지 파고들어 정보 이론, 오류 정정 부호, 트랜지스터, 유닉스를 낳은 미국의 산업 연구소.
  • 프린스턴 고등연구소와 로스앨러모스(The Institute for Advanced Study and Los Alamos)백화점 재벌의 기부로 1930년에 세워져 나치에게 쫓겨난 유럽 수학자들의 피난처가 되었고, 그 수학자들이 로스앨러모스의 폭탄 계산을 거쳐 전자식 컴퓨터와 수치 일기 예보를 만들어 낸 프린스턴의 연구소.
  • 블레츨리 파크(Bletchley Park)2차 세계대전 동안 영국의 암호 해독 본부로, 폴란드가 먼저 연 에니그마 해독을 수학자와 기계와 수천 명의 여성 운영자로 산업 규모로 키웠고, 그 과정에서 전자식 계산기와 통계적 추론의 새 방법을 낳았지만 수십 년 동안 비밀로 묻혀 있던 곳.

큰 생각(Big ideas)

  • 대칭과 불변량(Symmetry and invariants)무엇을 바꿔도 변하지 않는 것을 찾으면 문제의 대부분이 풀린다. 도미노와 체스판의 색, 다리 수의 홀짝, 다면체의 V − E + F, 1의 거듭제곱근의 합, 고유벡터, 사인파, 보존 법칙, 부호의 신드롬이 모두 같은 수법이다.
  • 근사와 오차(Approximation and error)정확한 답 대신 가까운 수를 내놓고, 그 거리가 품을 들일수록 어떤 속도로 줄어드는지를 따진다. 아르키메데스의 다각형, 테일러 급수, 리만 합, 뉴턴 방법, 몬테카를로, 최소제곱, JPEG이 모두 '오차가 몇 제곱으로 줄어드는가'라는 한 질문으로 비교된다.
  • 무작위성(Randomness)하나하나는 알 수 없는데 모으면 법칙이 된다. 같은 동전 던지기가 도박꾼의 파산, 열의 확산, 몬테카를로 계산이 되고, 무작위로 고르는 일이 존재를 증명하고 실험의 편향을 끊으며, 끝내 '무작위란 무엇인가'라는 질문까지 수학이 된다.
  • 무한을 다루는 법(Taming infinity)끝이 없는 과정이나 모임을 유한한 규칙 하나로 바꿔 말하는 것이 무한을 다루는 수학의 공통된 수법이다. 극한은 '어떤 오차를 요구해도 그 뒤로는 그 안'이라는 약속으로, 일대일 대응은 짝짓는 규칙으로, 귀납법은 한 걸음의 규칙으로 무한을 붙잡는다.
  • 쌍대성(Duality)한 세계의 대상과 관계를 다른 세계의 대상과 관계로 뒤집어 옮겨도 참이 참으로 남는 짝. 점과 직선, 지도의 나라와 꼭짓점, 보로노이와 들로네, 흐름과 절단, 행과 열, 시간과 진동수, AND와 OR, 압축과 오류 정정이 모두 이런 짝이다.
  • 선형화: 휘어진 것을 곧게 보기휘어진 것도 충분히 가까이 보면 곧다. 곡선을 접선으로, 휘어진 변환을 행렬로, 비선형 운동을 선형 미분방정식으로 바꿔 풀고, 그 근사가 어디까지 믿을 만한지를 따지는 생각.
  • 가장 좋은 것 고르기가장 좋은 자리에서는 조금 움직여도 더 나아지지 않는다. 상자의 부피, 빛의 길, 최소제곱 직선, 최단 경로, 통로 용량, 신경망 학습이 모두 이 한 가지 조건으로 최적을 알아보고 찾아간다.
  • 자기 참조와 대각선목록이 자기 자신에 대해 말하게 하면 그 목록에 들어갈 수 없는 것이 생긴다. 칸토어의 대각선, 러셀의 역설, 괴델의 문장, 튜링의 정지 문제, 콜모고로프 복잡도가 모두 표 한 장의 대각선을 뒤집는 같은 논증이고, 자기 자신을 출력하는 프로그램은 그 반대편의 얼굴이다.
  • 표현 바꾸기같은 대상도 어떻게 적느냐에 따라 어려운 문제가 쉬운 문제로 바뀐다. 자릿값 표기, 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 로그, 좌표와 고유벡터, 사인파의 합, 생성함수, 지도를 지운 그래프, 식을 수로 바꾼 괴델 수까지, 문제를 푸는 대신 문제를 옮겨 적는 생각.
  • 국소에서 전체로한 점 근처에서만 볼 수 있는 것(기울기, 곡률, 이웃과의 연결)을 모아 전체에 대한 사실(거리, 모양, 순위)을 얻는 생각. 미적분의 기본정리, 테일러 급수, 가우스–보네 정리와 다면체 공식, 오일러 회로, 페이지랭크가 이 다리를 놓고, 셀메르의 방정식과 혼돈은 다리가 끊기는 곳을 보여 준다.