피타고라스 세 쌍(Pythagorean triples)

피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠를 자연수로 만족하는 삼각형(3-4-5, 5-12-13, …)은 어떻게 전부 찾을까요? 복소수⁠(complex number)⁠가 답을 줍니다. 실수부⁠(real part)⁠와 허수부⁠(imaginary part)⁠가 모두 정수⁠(integer)⁠인 복소수 $z = m + ni$를 가우스의 이름을 따 가우스 정수라 합니다. 복소평면⁠(complex plane)⁠에서는 격자점입니다. 격자점⁠(lattice point)⁠ $z$(파란 화살표)를 끌어 보세요. 그 제곱 $z^2$(빨간 화살표)의 두 좌표가 직각삼각형⁠(right triangle)⁠의 두 변입니다(좌표가 음수이면 그 절댓값⁠(absolute value)⁠이 변의 길이입니다).

왜 그럴까요? 복소수를 곱하면 길이는 곱해지고 각도는 더해집니다(극형식⁠, polar form⁠). 그래서 $|z^2| = |z|^2 = m^2 + n^2$은 정수이고, $z^2$의 좌표도 정수이니 빗변까지 모두 정수인 직각삼각형이 나옵니다($z$가 축이나 대각선 위에 있으면 한 변이 0이 됩니다). 제곱은 각도를 두 배로 만드니 빨간 화살표가 가로축과 이루는 각은 파란 화살표의 두 배입니다. $m \gt n \gt 0$이고, $m, n$이 서로소⁠(coprime)⁠이며(최대공약수⁠(greatest common divisor)⁠ 1, 유클리드 호제법⁠(Euclidean algorithm)⁠) 한쪽만 짝수이면 공약수 없는 원시 세 쌍이 됩니다. 거꾸로 원시 세 쌍은 홀수 변을 $a$로 놓으면 모두 이렇게 정확히 한 번씩 나옵니다. 이 "거꾸로"가 성립하는 이유는 아래 단위원 그림이 보여 줍니다.

세 쌍을 빗변으로 나누면 $(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1$, 곧 단위원 위의 좌표가 모두 유리수인 점이 됩니다. 거꾸로 점 $(-1, 0)$을 지나는 직선의 기울기를 유리수 $t =$ / 로 잡으면, 직선은 원과 에서 다시 만납니다. 분모를 걷어내면 입니다. 직선의 식을 원의 식에 넣으면 계수가 유리수인 2차방정식이 되는데, 한 근 $-1$이 유리수이니 두 근의 합에서 다른 근도 유리수로 나옵니다. 거꾸로 원 위의 유리점과 $(-1, 0)$을 잇는 직선의 기울기도 유리수이니, $(-1, 0)$ 자신을 빼면 둘은 빠짐없이 짝지어집니다. $0 \lt t \lt 1$인 유리수 기울기마다 다른 세 쌍이 나오니 세 쌍은 무한히 많고, 원 위에 빽빽하게 퍼져 있습니다.