집합(Set)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 함수

  … 복소수로 보내는 함수는 그래프를 그릴 공간이 모자라 색으로 칠해서 봅니다. 함수를 정확히 말하는 언어는집합입니다. 입력이 올 수 있는 집합과 출력이 놓일 집합을 정해 두고, 입력 하나마다 출력 하나를 짝지어 주는 …

• 확률

  확률의 무대는 표본공간 \Omega , 곧 일어날 수 있는 모든 결과의집합입니다. 사건은 그 부분집합이고, 확률은 사건이 표본공간에서 차지하는 몫 입니다. 주사위를 한 번 …

• 집합의 연산

  집합두 개가 있으면 논리 연산으로 새 집합을 만들 수 있습니다. "A 또는 B"는 합집합, "A 그리고 …

• 동치관계와 분할

  … ), 같음이 이어집니다(추이성, a \sim b 이고 b \sim c 이면 a \sim c ). 동치관계는집합을 서로 겹치지 않는 덩어리들로 나눕니다 . 원소 a 와 같은 것들을 모은 덩어리(동치류)를 [a] 라 …

• 망델브로 집합

  … 무한대로 달아납니다( |c| > 2 이면 궤도는 처음부터 달아납니다). 달아나지 않는 c 를 모두 모은집합이 망델브로 집합입니다. 1980년 무렵 컴퓨터 그림으로 이 집합을 널리 알린 폴란드 태생의 프랑스·미국 …

• 소인수분해

  … = 2·3·5처럼 제곱 인수가 없는 수)라면 약수 하나는 "어떤 소수를 고를까"라는 선택, 곧 소인수집합의 부분집합 하나입니다. 그래서 약수의 개수는 멱집합의 크기 2^k 이 됩니다. 30의 약수는 2^3 …

• 울람 나선

  … n 근처에서 소수가 차지하는 비율은 소수 정리가 말하는 약 1/\ln n 입니다. 소수라는집합을 그림으로 보는 가장 단순하면서도, 위의 추측 때문에 아직 설명이 다 끝나지 않은 방법입니다. 나선에서 …

• 이항계수

  … 그래서 길의 수는 n개 중 k개를 고르는 방법의 수, 곧 이항계수 \binom nk 입니다. 고른 자리들의집합만 중요하고 고른 순서는 상관없으니, n개를 한 줄로 세우는 n! 가지 순열을 고른 쪽 안의 순서 k! …

• 연속체 가설

  … 2^{\aleph_0} 입니다. 그렇다면 둘 사이에 다른 크기가 있을까요? 자연수보다 크고 실수보다 작은집합이 있을까요? 칸토어는 1878년 무렵 없다고 추측했습니다. 이것이 연속체 가설 입니다. 실수 직선을 …

• 측도 0

  점 하나의 길이는 0입니다. 그렇다면 점이 무한히 많으면 어떨까요?집합A 가 측도 0 이라는 것은, 아무리 작은 양수 \varepsilon (엡실론)을 주어도 길이의 합이 …

• 심슨의 역설

  … 화살표가 길고 B는 가파른 작은 결석 화살표가 길어서 합 화살표는 A 쪽이 더 완만해질 수 있습니다. 전체집합을 어떻게 분할하느냐에 따라 결론이 달라지는 셈입니다. 흔히 인용되는 또 하나의 예는 1973년 미국 …

• 무작위 대조 시험

  … 결핵 시험이 흔히 최초의 현대적 무작위 대조 시험으로 꼽힙니다. 이어지는 곳. 무작위 배정은 환자집합을 동전으로 둘로 나누는 일이라, 사람마다 동전을 던지면 치료군의 크기는 이항분포를 따릅니다. …

• 그래프

  그래프는 꼭짓점들의집합V 와, 꼭짓점 두 개를 잇는 변들의 집합 E 로 이루어집니다. 점을 어디에 찍든, 선을 곧게 긋든 휘게 …

• 최단 경로

  … 지금 가장 작은 잠정 거리는 다른 길로 돌아가도 더 줄어들 수 없으니, 확정해도 안전합니다. 확정된 점들의집합이 출발점에서 물결처럼 퍼져 나갑니다. 지금 가장 좋아 보이는 점을 골라 되돌아보지 않으니, ⟦욕심쟁이 …

• 쇠렌센–다이스 계수

  … 48×32 픽셀짜리 영상입니다. 의사가 표시한 정답 영역 A와 모델이 예측한 영역 B(분홍 원)를 픽셀의집합으로 봅니다. 원의 중심을 끌고, 반지름 r = 을 바꿔 보세요. 표적은 입니다. 둘 다 표시한 …

• 거리 함수

  … 두 도시 사이의 측지선 길이도 모두 '거리'라고 부릅니다. 수학은 이것들의 공통점만 뽑아 정의합니다.집합X 의 두 원소에 수 하나를 주는 함수 d 가 다음 세 규칙을 지키면 거리 함수이고, (X, d) 를 …

• 불 대수

  … 읽으면 \land 는 교집합, \lor 는 합집합, \lnot 은 여집합이 됩니다(집합의 연산). 한집합의 모든 부분집합, 곧 멱집합이 불 대수를 이루는 까닭이고, 확률에서 사건을 …

• 러셀의 역설

  대부분의집합은 자기 자신을 원소로 갖지 않습니다. {1, 2}의 원소는 1과 2뿐이고, 자연수 전체의 집합 ℕ은 …

• 유한 오토마톤

  … 방법으로 어떤 수 k의 배수든 상태 k개로 가려낼 수 있습니다. 이런 기계가 받아들이는 문자열을 모두 모은집합을 정규 언어라고 합니다. 1951년 미국 논리학자 스티븐 클리니는 유한 오토마톤이 인식하는 언어가 …

• 촘스키 위계

  언어를 수학의 대상으로 다루는 형식 언어 이론에서 언어 란 어떤 글자들(알파벳 Σ)로 만든 문자열들의집합입니다. '짝수 개의 a', 'a 몇 개 다음에 같은 수의 b', '멈추는 프로그램의 소스 코드' 모두 …

• 문맥 자유 문법

  … 출발해 단말 기호만 남을 때까지 규칙을 적용하는 과정을 유도라 하고, 이 문법이 유도할 수 있는 문자열들의집합이 문법의 언어입니다. 촘스키 위계의 둘째 층(유형 2)입니다. 보기: 파란 글자는 비단말 기호, 노란 …

• 정규 표현식

  … 따 클리니 스타라 부릅니다)는 r에 맞는 조각을 0번 이상 잇습니다. 식 하나가 뜻하는 것은 문자열들의집합, 곧 언어이고, 선택은 합집합입니다. 예를 들어 (a|b)*abb는 'a와 b로 된 아무 문자열 뒤에 …

• 비교 언어학

  … C. 더글러스 존슨 1972, 로널드 캐플런과 마틴 케이 1994). 대응을 찾는 일은 한 언어의 소리집합에서 다른 언어의 소리 집합으로 가는 짝짓기를 찾는 일입니다. 또 앞에서 본 생일 문제처럼 우연한 …

• 수학적 귀납법

  … 아무 보장이 없습니다. 귀납법이 옳은 까닭은 자연수의 성질에 있습니다. 거짓인 n이 있다면 그런 n들의집합에 가장 작은 원소 m이 있을 것입니다. m은 1이 아닙니다(기초 단계). 그러면 m−1도 자연수이고 …

• 순열

  … . 늘어놓기 하나는 n개의 자리에서 n개의 물건으로 가는 일대일대응 하나이므로, n!은 원소가 n개인집합에서 자기 자신으로 가는 전단사 함수의 개수이기도 합니다. 아무것도 늘어놓지 않는 방법도 한 가지로 쳐서 …

• 분할수

  … 가지입니다. 원소 n개의 순열을 순환들로 쪼개면 순환의 길이들이 n의 분할을 이룹니다. 수 대신집합을 겹치지 않는 조각들로 나누는 일은 동치관계를 정하는 일과 같고(같은 조각에 든 것끼리를 '같다'고 …

• 반 데르 바르던 정리

  … 더 강한 것을 증명했습니다. 색칠이 아니라 '밀도'만 있으면 충분합니다. 1부터 N까지 가운데 그집합에 드는 수의 비율이 N이 아무리 커져도 0으로 줄어들지 않으면(정확히는 위 밀도가 양수이면), 그 집합은 …

• 해시 테이블

  … 함수에 무작위 값을 섞습니다(무작위 알고리즘). 이어지는 곳. 해시 테이블은 프로그래밍 언어가 제공하는집합과 사전 자료 구조의 바탕입니다. 해시 함수만 따로 쓰기도 합니다. 파일을 짧은 수 하나로 요약해 …

• 최대 흐름 최소 절단 정리

  … 왜 최소 절단이 나타날까요? 더는 증가 경로가 없을 때, 잔여 네트워크에서 s에서 갈 수 있는 점들의집합을 S라 합시다. S에서 T로 가는 관은 모두 꽉 차 있고(아니면 더 갈 수 있으니까요), T에서 S로 …

• 수 체계: 자연수에서 실수까지

  … 자연수를 '다음 수'와 수학적 귀납법에 관한 몇 개의 공리로 정했고, 20세기에는 자연수마저집합으로 지었습니다(0 = ∅, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, …). 독일 수학자 ⟦레오폴트 …

• 수학 기초론 논쟁

  … 실수를 유리수로, 유리수를 정수로 짓는 방법을 보였습니다(수 체계). 그러면 남는 것은 자연수와집합뿐이었고, 칸토어의 집합론은 무한의 크기까지 다룰 수 있게 해 주었습니다(집합의 크기). 그런데 바로 …

• 기술 집합론

  칸토어의집합론에 따르면 실수의 부분집합은 멱집합의 크기만큼, 곧 실수보다도 많습니다. 그런데 유한한 글자로 적을 …

• 타입 이론

  … A의 원소다'라는 판단 a : A 를 정해진 규칙으로만 이끌어 내는 체계들을 연구합니다. a : A 는집합론의 a \in A 와 닮았지만 성격이 다릅니다. 집합론에서 3 \in \mathbb N 은 이미 있는 …

• 호모토피 타입 이론

  … 그러면 같음의 증명도 모두 같아져(UIP) 일가성과 함께 둘 수 없습니다. 대부분의 수학자는 여전히집합론을 기초로 여깁니다. 공간을 타입으로 짓기. HoTT에서는 점뿐 아니라 경로까지 생성자로 주는 타입(고차 …

• 증명 보조기

  … 처치의 단순 타입 이론에서 나온 고차 논리를, 폴란드의 Mizar(1973년 시작)는집합론을 씁니다. 어느 쪽이든 원리는 같습니다. 증명은 공리에서 출발해 추론 규칙을 한 번씩 적용해 가는 …

• 범주론

  … 위의 가환 그림이 뜻을 가지려면 이 두 가지면 충분합니다. 함수의 합성은 이 두 법칙을 늘 만족하므로집합과 함수는 범주를 이룹니다. 이 범주를 보통 Set 이라 부릅니다. 새로운 점은 화살표가 꼭 함수일 필요가 …

• 보편 성질: 곱, 쌍대곱, 극한

  … 순서 일반에서 곱은 '가장 큰 아래 경계'(하한, meet)이고, 부분집합의 포함 순서에서는 교집합입니다.집합의 범주에서 곱은 순서쌍의 집합 A × B이고, u는 x\mapsto(f(x), g(x)) 입니다. u의 …

• 요네다 보조정리

  … g 로 보냅니다. 화살표의 방향이 뒤집히는 함자입니다. 이것은 'X의 눈으로 본 A'들의 모음입니다.집합의 범주에서 원소 하나짜리 집합 1의 눈으로 보면 Hom(1, A)는 A의 원소들이고, 원소 두 개짜리 …

• 토포스: 집합을 닮은 우주

  … ¬¬로 거른 층의 토포스로 읽을 수 있습니다. 이어지는 곳. 부분집합과 참·거짓 함수의 대응은 멱집합과집합에서 출발하고, 진릿값이 늘어난 논리는 직관주의 논리의 헤이팅 대수이며, 진릿값이 둘인 특별한 경우가 …

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