가우스 곡률(Gaussian curvature)

곡면의 한 점에서, 그 점의 곡면에 수직인 직선(법선)을 품은 평면으로 곡면을 자르면 단면에 곡선이 생깁니다. 곡선이 얼마나 휘었는지(곡률⁠, curvature⁠)는 그 점에서 곡선에 가장 잘 맞는 원의 반지름의 역수⁠(inverse)⁠로 잽니다. 반지름 2인 원에 맞으면 곡률은 1/2입니다. 반지름의 역수는 늘 양수이므로, 곡면에서는 어느 쪽으로 휘었는지를 부호로 구분합니다. 법선의 한쪽을 '위'로 정해 두고, 맞는 원의 중심이 위쪽에 있으면(단면이 위로 오목하면) +, 아래쪽에 있으면 −를 붙입니다. 자르는 방향을 돌려 가며 보면 가장 많이 휜 방향과 가장 적게 휜 방향이 있고, 이 두 방향의 부호 붙은 곡률 $\kappa_1, \kappa_2$(카파 1, 카파 2)를 주곡률⁠(principal curvature)⁠이라 합니다.

두 주곡률을 곱한 것이 가우스 곡률 $K$입니다. 두 단면이 같은 쪽으로 휘면 두 주곡률의 부호가 같아 곱이 양수이고, 반대쪽으로 휘면 곱이 음수입니다. '위'를 반대로 정하면 두 부호가 함께 바뀌므로 곱 K는 그대로입니다. 구는 두 방향이 같은 쪽으로 휘어 $K > 0$, 말안장은 서로 반대쪽으로 휘어 $K < 0$, 원기둥은 한 방향이 곧아서 $K = 0$입니다. 흔히 휘어 보이면 곡률이 있다고 생각하지만, 원기둥은 휘어 보여도 가우스 곡률이 0입니다. 평평한 종이를 구기거나 늘이지 않고 말기만 해서 만들 수 있기 때문입니다.

아래 그림의 안장면 $z = \tfrac12(x^2 - y^2)$로 원점의 K를 직접 구해 봅시다. 원점에서 이 곡면은 수평입니다. 다시 말해 원점에서 곡면에 닿는 평면(접평면⁠, tangent plane⁠)이 xy평면과 나란해 기울기⁠(slope)⁠가 0입니다. 이렇게 수평인 점에서는 단면 곡선의 곡률이 그 곡선을 두 번 미분⁠(differentiation)⁠한 값과 같습니다. x축 방향 단면은 $z = \tfrac12 x^2$이고, 두 번 미분하면 1입니다(위로 오목). y축 방향 단면은 $z = -\tfrac12 y^2$이고, 두 번 미분하면 −1입니다(아래로 오목). 두 방향이 주곡률의 방향이므로 $K = 1 \times (-1) = -1$입니다.

일반적으로, 곡면이 $z = f(x, y)$로 주어지고 한 점에서 수평이라면 그 점의 가우스 곡률은 $K = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$입니다. 여기서 $f_{xx}$('에프 엑스엑스')는 x로 두 번, $f_{yy}$는 y로 두 번, $f_{xy}$는 x와 y로 한 번씩 미분한 값입니다. 마지막 항은 주곡률의 방향이 x축, y축과 어긋나 있을 때를 바로잡습니다. 안장면에서는 $f_{xx} = 1$, $f_{yy} = -1$, $f_{xy} = 0$이므로 앞의 계산과 같은 $K = -1$이 나옵니다.

행렬⁠(matrix)⁠을 아는 독자를 위해 덧붙이면, 이 세 값을 모은 2×2 행렬의 행렬식⁠(determinant)⁠이 K이고, $\kappa_1, \kappa_2$는 그 행렬의 고유값⁠(eigenvalue)⁠입니다. 같은 식이 최적화⁠(optimization)⁠에서 기울기가 0인 점이 극대·극소인지 안장점⁠(saddle point)⁠인지 가려내는 판별식⁠(discriminant)⁠으로도 쓰입니다. 양수면 극대나 극소, 음수면 안장점이고, 0이면 이것만으로는 알 수 없습니다.

이제 곡면 위에 삼각형을 그려 봅시다. 면을 으로 바꾸고, 크기를 $m =$ 로 조절해 보세요. 세 변은 모두 그 면의 측지선⁠(geodesic)⁠입니다. 측지선은 곡면을 벗어나지 않고 갈 수 있는 가장 곧은 길로, 가까운 두 점 사이에서는 가장 짧은 길입니다. 꼭짓점⁠(vertex)⁠ O의 각은 늘 90°이고, 나머지 두 각은 각각 , 합은 (180°와의 차이 )입니다.

안장면에서는 변들이 서로 벌어져 각이 여위고, 구면에서는 변들이 서로 모여 각이 뚱뚱해집니다. 그 차이를 정확히 재는 것이 가우스와 프랑스 수학자 피에르 보네(1848년)의 이름을 딴 가우스–보네 정리⁠(Gauss–Bonnet theorem)⁠입니다. 각을 라디안(180° = π)으로 잴 때, 측지선 삼각형의 각의 합에서 π를 뺀 값은 다음과 같이 구합니다. 삼각형을 작은 조각으로 나누어 조각마다 (곡률 × 넓이⁠(area)⁠)를 구해 모두 더합니다. 이렇게 곡률을 삼각형 위에서 적분⁠(integral)⁠한 값이 위 식의 $\iint_T K\,dA$('삼각형 T 위에서 K를 넓이에 대해 적분한 값')입니다. 곡률이 일정하면 이 값은 곡률 × 넓이입니다. 그래서 $K = 1/R^2$이면 구면기하⁠(spherical geometry)⁠의 넓이 공식이, $K = -1$이면 쌍곡기하⁠(hyperbolic geometry)⁠의 결손 공식(각의 합이 180°에 모자라는 양인 결손이 넓이와 같다)이, $K = 0$이면 평행선 공준⁠(parallel postulate)⁠과 동치인 "합은 180°"가 나옵니다.

가우스는 1820년대에 하노버 왕국의 측지 측량을 이끌었습니다. 멀리 떨어진 지점들을 큰 삼각형으로 이어 각과 거리를 재는 일이었고, 그 삼각형들은 둥근 지구 표면 위에 놓여 있었습니다. 곡면 위에서 재는 일을 오래 생각한 끝에 그가 1827년에 발표한 '빼어난 정리'(Theorema Egregium)는 $K$가 곡면 밖으로 나가지 않고 길이만 재어도 알 수 있는 양이라는 것입니다. 곡면에 사는 개미도 삼각형의 각이나 원의 둘레를 재어 곡률을 알 수 있습니다. 주곡률 하나하나는 곡면이 공간에 어떻게 놓였는지에 따라 달라집니다. 평평한 종이를 원기둥으로 말면 한 주곡률이 0에서 양수로 바뀝니다. 그런데도 둘의 곱은 0으로 그대로라는 점이 이 정리가 '빼어난' 까닭입니다.

개미가 원의 둘레로 곡률을 재는 방법을 봅시다. 곡면 위의 한 점에서 곡면을 따라 잰 거리가 $\rho$(로)인 점들이 이루는 원을 생각합니다. 반지름 $\rho =$ 인 원의 둘레를 평면에서의 둘레 $2\pi\rho$로 나눈 값은 $K = 1$에서 ($\sin\rho/\rho$), $K = -1$에서 ($\sinh\rho/\rho$)입니다.

여기 나온 둘은 사인 $\sin\rho$와, 지수함수⁠(exponential function)⁠로 만든 쌍곡사인⁠(hyperbolic sine)⁠ $\sinh\rho = \tfrac12(e^\rho - e^{-\rho})$입니다. 함수⁠(function)⁠를 $\rho, \rho^2, \rho^3, \dots$의 합으로 근사하는 테일러 급수⁠(Taylor series)⁠를 쓰면, $\rho$가 작을 때 두 함수는 다음과 같습니다.

$\sin\rho \approx \rho - \rho^3/6, \qquad \sinh\rho \approx \rho + \rho^3/6$

그래서 둘레는 $K = 1$이면 $2\pi\sin\rho \approx 2\pi\rho\,(1 - \rho^2/6)$, $K = -1$이면 $2\pi\sinh\rho \approx 2\pi\rho\,(1 + \rho^2/6)$입니다. 두 경우를 한 식으로 쓰면 $2\pi\rho\,(1 - K\rho^2/6)$입니다. 예를 들어 $\rho = 0.5$, $K = 1$이면 $1 - 0.25/6 \approx 0.958$이고, 실제 값 $\sin 0.5 / 0.5 \approx 0.959$와 거의 같습니다. 평면의 $2\pi\rho$에서 얼마나 모자라거나 넘치는지를 보면 곡률을 거꾸로 읽을 수 있습니다.

이 정리의 결과는 일상에도 있습니다. 종이($K = 0$)로는 공을 구김 없이 감쌀 수 없고, 지구($K > 0$)를 거리까지 정확한 평면 지도로 옮길 수도 없습니다. 피자 조각을 옆으로 살짝 접어 들면 끝이 처지지 않는 것도 같은 이유입니다. 피자는 늘어나지 않으니 곡률 0을 지켜야 하고, 한 방향으로 휘게 만들면 다른 방향은 곧게 펴질 수밖에 없습니다.

이어지는 곳.

• 리만은 1854년 이 생각을 3차원 이상으로 넓혔습니다. 공간 바깥에서 보지 않고 공간 안에서 길이를 재는 규칙만으로 휘어짐을 정의한 것입니다.
• 그 덕분에 아인슈타인의 일반 상대성 이론⁠(general relativity)⁠은 중력을 힘이 아니라 시공간⁠(spacetime)⁠의 휘어짐으로 설명할 수 있었습니다. 우리는 시공간 바깥으로 나갈 수 없으니, 안에서 잴 수 있는 곡률이 꼭 필요했습니다.
• 곡률이 휘게 만든 '직선'이 측지선이고, 곡률이 어디서나 −1인 평면을 원판 안에 그린 모형이 푸앵카레 원판⁠(Poincaré disk)⁠입니다.