쌍곡기하(Hyperbolic geometry)

평행선 공준⁠(parallel postulate)⁠을 뒤집어 봅시다. 직선 밖의 한 점을 지나 그 직선과 만나지 않는 직선이 둘 이상 있다. 이것을 공리⁠(axiom)⁠로 받아들여도 (유클리드 기하에 모순이 없는 한) 모순이 생기지 않고, 그렇게 얻은 기하가 쌍곡기하입니다. 어디서나 같은 음수 가우스 곡률⁠(Gaussian curvature)⁠을 가진 면, 곧 모든 점이 말안장처럼 휜 면의 기하이기도 합니다. 1901년 힐베르트가 증명했듯 그런 면은 우리 3차원 공간 안에 길이를 그대로 지키며 매끄럽게 통째로 만들 수 없습니다. 그래서 보통은 쌍곡평면⁠(hyperbolic plane)⁠의 점과 직선을 익숙한 평면 도형으로 옮겨 그린 지도(모형)로 봅니다. 대표가 푸앵카레 원판⁠(Poincaré disk)⁠입니다. 원판 안이 쌍곡평면 전체이고, 직선은 경계 원과 직각으로 만나는 원호입니다. 거리는 보이는 것과 다르게, 경계에 가까울수록 길게 잽니다.

P를 끌어 보세요. P를 지나는 직선 24개 중 가 ℓ과 만나지 않습니다. 사실 두 노란 직선 사이의 모든 방향이 그렇습니다. 두 노란 직선은 만나지 않는 직선 가운데 가장 ℓ 쪽으로 기운 두 직선입니다. ℓ과 만나지는 않지만 한쪽 끝에서 ℓ에 끝없이 가까워지고, 이런 직선을 극한 평행선이라 부릅니다. 그 사이의 방향은 한 구간 전체이니, 만나지 않는 직선은 실수⁠(real number)⁠만큼 많습니다(집합의 크기⁠(cardinality)⁠).

P에서 ℓ까지의 거리가 $d =$ 일 때, 극한 평행선이 P에서 ℓ로 내린 수선⁠(perpendicular)⁠과 이루는 각을 평행각이라 합니다. 지금 $\Pi(d) =$ 이고, 로바쳅스키가 찾은 식 $\tan\frac{\Pi}{2} = e^{-d}$를 따릅니다. P를 ℓ에 가까이 가져가면(d → 0) 평행각⁠(angle of parallelism)⁠은 90°에 다가가고, 평행선들은 거의 하나로 모입니다. 유클리드 기하에서 평행각은 언제나 90°이니, 작은 영역에서 쌍곡기하는 유클리드 기하와 거의 구별되지 않습니다.

삼각형은 늘 여위어 있습니다. 내각의 합이 180°보다 작고, 곡률⁠(curvature)⁠이 −1이면 모자란 양(결손)이 곧 넓이입니다. $S = \pi - (\alpha+\beta+\gamma)$입니다. 아래 정삼각형의 크기를 $\rho =$ (중심에서 꼭짓점⁠(vertex)⁠까지의 쌍곡 거리)로 바꿔 보세요. 한 각은 , 합은 , 넓이⁠(area)⁠는 입니다.

그래서 쌍곡기하에는 크기만 다르고 모양이 같은 삼각형(닮음)이 없습니다. 세 각이 같으면 넓이도 같고, 실제로 두 삼각형은 합동입니다. 예를 들어 세 각이 모두 30°인 정삼각형은 넓이가 $\pi - \pi/2 = \pi/2$로 정해져 있어 크기를 마음대로 바꿀 수 없습니다. 그런 삼각형의 한 변 길이를 길이의 기준으로 삼을 수 있으니, 길이의 단위가 기하 안에 들어 있는 셈입니다.

삼각형의 변과 각 사이의 식에는 쌍곡코사인⁠(hyperbolic cosine)⁠ $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$와 쌍곡사인⁠(hyperbolic sine)⁠ $\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$이 들어갑니다. 곡률이 −1일 때 피타고라스 정리⁠(Pythagorean theorem)⁠는 $\cosh c = \cosh a\cosh b$로, 코사인 법칙⁠(law of cosines)⁠은 $\cosh c = \cosh a\cosh b - \sinh a\sinh b\cos C$로 바뀝니다. x가 작으면 $\cosh x \approx 1 + x^2/2$, $\sinh x \approx x$이니, 작은 삼각형에서는 근사적으로 원래 식($c^2 \approx a^2 + b^2$ 등)으로 돌아옵니다.

반지름 $r$인 원의 둘레는 $2\pi\sinh r$로, r이 커지면 지수함수⁠(exponential function)⁠처럼 불어납니다. 평면이라면 $2\pi r$로 r에 비례할 뿐입니다. 가장자리가 쭈글쭈글한 상추 잎⁠(leaf)⁠이나 산호가 좁은 곳에 긴 둘레를 담는 방식이 이것과 닮았습니다.

1830년 무렵 볼리아이와 로바쳅스키가 따로 발표했고, 가우스는 편지로 보아 먼저 같은 결론에 이르렀지만 발표하지 않았습니다. 이 기하가 유클리드 기하만큼 무모순⁠(consistent)⁠이라는 것은 1868년 이탈리아 수학자 에우제니오 벨트라미 등이 모형으로 보였습니다. 유클리드 평면 안에 쌍곡평면의 모형을 그릴 수 있으니, 쌍곡기하에서 모순이 나온다면 그것을 모형으로 옮겨 유클리드 기하의 모순을 얻게 됩니다. 곧 유클리드 기하에 모순이 없는 한 쌍곡기하에도 모순이 없습니다.

이어지는 곳.

• 곡률의 부호를 양수로 바꾸면 구면기하⁠(spherical geometry)⁠가 됩니다. 평행선이 하나도 없고 삼각형 내각의 합이 180°보다 큰, 모든 것이 반대인 기하입니다.
• 쌍곡평면의 '직선'도 가장 짧은 길, 곧 측지선⁠(geodesic)⁠입니다.
• 원의 둘레와 넓이가 지수적으로 커지는 성질은 가지가 갈라지는 나무 모양과 잘 맞습니다. 나무도 단계마다 가지 수가 곱절로 늘어 지수적으로 커지기 때문입니다. 그래서 거대한 그래프(인터넷, 사회 연결망)를 쌍곡평면에 그려, 몇 단계만 거치면 누구에게나 닿는 좁은 세상⁠(small world)⁠의 구조를 설명하려는 연구도 있습니다.