레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)

레오나르도는 1170년 무렵 이탈리아의 해상 공화국 피사에서 태어났습니다. 생몰 연도는 모두 어림이고, 1240년대 이후의 행적은 알 수 없습니다. 12세기 말의 피사는 제노바, 베네치아와 함께 지중해 교역을 다투던 도시였고, 유럽의 상인들은 아직 로마 숫자로 적고 계산판이나 손가락으로 셈했습니다. 그의 아버지 굴리엘모는 북아프리카의 항구 부지(오늘날 알제리의 베자이아)에서 피사 상인들을 위한 세관 관리로 일했고, 어린 레오나르도를 그곳으로 불러 셈을 배우게 했습니다. 그는 거기서 인도의 아홉 숫자로 셈하는 법을 배웠고, 그 뒤 이집트, 시리아, 그리스, 시칠리아, 프로방스를 다니며 여러 셈법을 익혔다고 『산반서』의 머리말에 스스로 적었습니다. 그는 책 첫머리에서 자신을 '보나치의 아들, 피사의 레오나르도'라고 적었습니다. 이것을 줄인 '피보나치'라는 이름은 그가 죽고 한참 뒤에 널리 쓰였습니다.

나이 세 ·

숫자는 이미 와 있었다. 인도·아라비아 숫자가 레오나르도와 함께 처음 유럽에 들어온 것은 아닙니다. 10세기 말, 뒷날 교황 실베스테르 2세가 되는 제르베르는 계산판의 알에 이 숫자 모양을 새겨 썼고, 12세기에는 바그다드의 알콰리즈미가 쓴 인도식 셈법 책이 라틴어로 옮겨져 '알고리스무스'라는 말을 남겼습니다. 그러나 이것들은 수도원과 학자들의 관심사에 머물렀습니다. 상인들은 여전히 계산판 위에서 셈하고 결과만 로마 숫자로 장부에 적었습니다. 레오나르도의 책이 달랐던 것은 종이 위에서 자릿값으로 셈하는 법을 상인의 실제 문제에 붙여 가르쳤다는 데 있습니다. 대수를 다룬 마지막 장은 알콰리즈미와 9–10세기 이집트의 아부 카밀에게서 많은 문제를 가져왔는데, 그 뿌리는 바그다드 지혜의 집의 시대에 닿습니다. 부지에서 배운 것은 결국 300년 동안 이슬람 세계가 쌓은 산술이었습니다.

1202년에 나온 『산반서』(Liber Abaci)는 제목과 달리 계산판이 아니라 종이 위에 펜으로 하는 셈의 책입니다. 첫머리에서 그는 1부터 9까지의 아홉 숫자와 0을 뜻하는 기호 하나만 있으면 어떤 수든 적을 수 있다고 소개하고, 자리마다 값이 달라지는 자릿값 표기로 더하고 빼고 곱하고 나누는 법을 차근차근 설명합니다. 수 자체는 그대로인데 적는 방식만 바꾸어 계산이 쉬워진 것이니, 표현 바꾸기의 대표적인 예입니다. 분수는 분자가 1인 단위분수⁠(unit fraction)⁠의 합으로 쓰는 옛 방식을 따랐는데, 그가 제시한 방법 가운데 하나는 매번 빼낼 수 있는 가장 큰 단위분수를 빼는 것입니다. $\tfrac{4}{13}$에서 $\tfrac14$을 빼면 $\tfrac{3}{52}$, 여기서 $\tfrac1{18}$을 빼면 $\tfrac1{468}$이 남아 끝납니다. 매 단계에서 앞일은 생각하지 않고 지금 당장 가장 크게 줄일 수 있는 선택을 하는 이 방식은, 지금 보면 욕심쟁이 알고리즘⁠(greedy algorithm)⁠의 이른 예입니다.

상인의 수학책. 『산반서』 15장 가운데 많은 쪽이 교역의 실제 문제에 바쳐졌습니다. 피사의 화폐를 다른 도시의 화폐로 바꾸는 법, 은의 순도가 다른 동전을 녹여 섞는 법, 동업자들이 넣은 돈과 기간에 따라 이익을 나누는 법, 이자 계산이 이어집니다. 13장은 아랍어에서 온 '엘카타임'이라는 이름으로, 두 번 틀린 값을 가정해 보고 그 틀린 정도로부터 참값을 찾는 방법(이중 가정법⁠, double false position⁠)을 설명합니다. 답을 x₁로 놓았더니 e₁만큼, x₂로 놓았더니 e₂만큼 틀렸다면, 가정값과 오차를 직선으로 이어 오차가 0이 되는 자리 $x = \frac{x_1 e_2 - x_2 e_1}{e_2 - e_1}$를 답으로 삼습니다. 오늘날의 직선 보간⁠(interpolation)⁠과 같은 계산이고, 문제가 일차식이면 답이 정확히 맞습니다. 로마로 가는 일곱 노파가 저마다 노새 일곱 마리를 끌고, 노새마다 자루 일곱 개를 싣고… 하는 식으로 7의 거듭제곱을 더하는 문제는 기원전 1550년 무렵 이집트 린드 파피루스의 집 일곱 채와 고양이와 쥐의 문제와 꼭 닮았습니다. 한 문제에서는 답이 음수로 나오자 그것을 '빚'으로 해석해 받아들이기도 했습니다.

책의 12장에는 오늘날 그의 이름을 알린 문제가 있습니다. 다 자란 토끼 한 쌍이 달마다 새끼 한 쌍을 낳고, 새로 태어난 쌍은 태어난 지 두 달째부터 낳는다면, 처음 한 쌍에서 한 해가 지나면 몇 쌍이 될까? 이번 달의 토끼는 지난달의 토끼에, 두 달 전부터 있던 토끼가 이번 달 낳은 새끼를 더한 것입니다. 그래서 앞의 두 항을 더해 다음 항을 얻는 점화식⁠(recurrence relation)⁠이 나오고, 달마다 2, 3, 5, 8, …쌍으로 늘어 열두 달 뒤에는 377쌍이 됩니다. 처음 쌍이 첫 달부터 새끼를 낳는다고 놓은 것이 레오나르도의 설정이고, 갓 태어난 쌍에서 시작하면 답이 달라집니다. 그에게는 여러 연습 문제 가운데 하나였을 뿐이고, 같은 수열은 그보다 앞서 인도의 운율학자들이 음절의 무늬를 세다가 얻었습니다. 1870년대 프랑스의 수학자 에두아르 뤼카가 이 수열에 피보나치 수열이라는 이름을 붙였고, 이웃한 두 항의 비가 황금비⁠(golden ratio)⁠로 다가간다는 사실과 함께 널리 알려졌습니다.

황제의 궁정. 신성 로마 황제 프리드리히 2세는 시칠리아와 남이탈리아를 다스리며 팔레르모 궁정에 그리스어, 아랍어, 라틴어를 쓰는 학자들을 모은 군주였습니다. 1228년의 『산반서』 개정판은 그 궁정의 학자이자 번역가 마이클 스콧에게 바쳐졌고, 레오나르도는 궁정 철학자 테오도루스에게도 수학 문제를 풀어 보낸 편지를 남겼습니다. 1225년 무렵 황제가 피사에 들렀을 때 궁정 학자 팔레르모의 요하네스가 문제를 냈고, 레오나르도는 그 답을 『꽃』과 『제곱수⁠(perfect square)⁠의 책』에 적었습니다. 하나는 $x^2 + 5$와 $x^2 - 5$가 모두 제곱수가 되는 유리수⁠(rational number)⁠ $x$를 찾는 문제였고, 그는 $x = \tfrac{41}{12}$를 찾았습니다. $(41/12)^2 + 5 = (49/12)^2$, $(41/12)^2 - 5 = (31/12)^2$입니다. 곧 세 제곱수가 5씩 차이 나며 나란히 서도록 한 것입니다. 제곱수가 1, 3, 5, 7, …처럼 연속한 홀수의 합이라는 사실($1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^2$, 수학적 귀납법⁠(mathematical induction)⁠으로 증명)이 그의 도구였습니다. 이 문제는 직각삼각형⁠(right triangle)⁠과 짝을 이룹니다. 두 변이 3/2과 20/3인 직각삼각형은 넓이⁠(area)⁠가 5이고 빗변⁠(hypotenuse)⁠이 41/6인데, 그 빗변의 절반이 바로 41/12입니다. 그래서 이 문제는 세 변이 정수(또는 분수)인 직각삼각형, 곧 피타고라스 세 쌍⁠(Pythagorean triples)⁠을 찾는 문제와 이어져 있습니다. 또 하나는 3차방정식⁠(cubic equation)⁠ $x^3 + 2x^2 + 10x = 20$이었습니다. 그는 해가 정수⁠(integer)⁠도 분수도 아니고 유클리드 『원론』 10권의 어떤 무리량⁠(irrational magnitude)⁠으로도 쓸 수 없음을 보인 뒤, 60진법⁠(sexagesimal)⁠으로 소수점 아래 여러 자리까지 맞는 근삿값을 내놓았습니다(무리수⁠(irrational number)⁠).

그의 말년에 대해 남은 기록은 하나뿐입니다. 1241년 무렵 피사 공화국은 도시와 시민에게 셈과 회계로 봉사한 '학식 있는 레오나르도 선생'에게 해마다 봉급을 주기⁠(period)⁠로 정했습니다. 그 뒤 소식은 없고, 언제 죽었는지도 모릅니다.

셈법 학교의 시대. 그의 책을 따라 이탈리아 상업 도시들에는 셈법을 가르치는 '아바코 학교'가 생겼습니다. 상인의 아들들은 열 살 무렵부터 몇 해 동안 이곳에서 자릿값 셈과 환전, 이자, 비례 문제를 배웠고, 교사들은 라틴어가 아니라 이탈리아어로 된 셈법 책을 수백 권 남겼습니다. 14세기 피렌체의 연대기 작가 조반니 빌라니는 1330년대 도시에서 1,000–1,200명의 아이가 여섯 학교에서 셈법을 배운다고 적었습니다. 저항도 있었습니다. 1299년 피렌체 환전상 조합은 장부에 새 숫자를 쓰지 말고 로마 숫자나 글로 적으라고 정했는데, 0을 6이나 9로 고치는 식의 위조가 쉽다는 걱정 때문이었다고 봅니다. 1494년 베네치아에서 인쇄된 수도사 수학자 루카 파촐리의 『산술 대전』은 레오나르도의 책에서 많은 것을 옮겨 오며 그를 출처로 밝혔고, 복식부기⁠(double-entry bookkeeping)⁠를 처음으로 인쇄된 책에서 설명했습니다. 복식부기는 거래 하나를 '들어온 쪽'과 '나간 쪽' 두 계정에 같은 금액으로 한 번씩 적어, 장부 양쪽의 합이 늘 같도록 하는 장부법입니다. 셈법 교사들의 공개 문제 대결은 16세기 3차방정식 풀이를 둘러싼 카르다노와 베네치아의 셈법 교사 타르탈리아의 다툼, 곧 르네상스 이탈리아의 대수학 경연으로 이어졌습니다. 인쇄된 산술책이 퍼지면서 인도·아라비아 숫자는 15–16세기에 걸쳐 유럽의 표준이 되었습니다.

다시 찾은 이름. 인쇄술이 퍼진 뒤에도 그의 책들은 인쇄되지 않았고, 셈법 책들 속에 녹아 이름 없이 쓰였습니다. 그의 저작이 한데 모여 인쇄된 것은 1857–62년 로마의 발다사레 본콤파니가 펴낸 판에서였고, 피사의 캄포산토에는 19세기에 그의 조각상이 세워졌습니다. 뤼카가 그의 이름을 수열에 붙인 것도 이 무렵입니다. 1963년에는 이 수열과 그 친척들만 다루는 학술지 『피보나치 쿼털리』가 창간되었지만, 『산반서』 전체의 영어 번역은 2002년에야 나왔습니다. 오늘날 그를 가장 유명하게 만든 토끼 문제가 그의 시대에는 사소한 연습 문제였고, 그의 시대에 가장 중요했던 상업 산술은 이제 거의 잊혔습니다.

이어지는 곳. 토끼 문제의 수열은 피보나치 수열에서 자세히 볼 수 있습니다. n번째 항을 앞의 항들 없이 바로 구하는 공식은 두 가지 길로 얻습니다. 한 걸음을 행렬⁠(matrix)⁠ 곱셈 한 번으로 보고 그 행렬을 거듭제곱하기 쉬운 꼴로 바꾸는 대각화⁠(diagonalization)⁠, 그리고 수열 전체를 하나의 식으로 묶어 다루는 생성함수⁠(generating function)⁠입니다. 이웃한 두 피보나치 수(예를 들어 89와 55)는 나눌 때마다 몫이 1이라 한 칸씩밖에 줄지 않아서, 유클리드 호제법⁠(Euclidean algorithm)⁠이 가장 오래 걸리는 입력이기도 합니다. 그가 들여온 숫자 체계는 자릿값 표기에서, 그가 배운 산술의 뿌리인 바그다드의 학자로는 알콰리즈미와 알킨디가 있습니다.

관계.

• 영향을 줌 지롤라모 카르다노 — 카르다노는 『아르스 마그나』 첫 장에서 대수가 알콰리즈미에게서 시작되었다고 쓰며 피사의 레오나르도를 그 믿을 만한 전거로 들었습니다.

연표.

• 1192년 세관 관리인 아버지를 따라 북아프리카의 부지로 가서 인도 숫자를 배우다(무렵)
• 1202년 『산반서』를 펴내다
• 1220년 『실용 기하⁠(geometry)⁠』를 쓰다
• 1225년 『제곱수의 책』을 써서 황제 프리드리히 2세에게 바치다
• 1228년 『산반서』 개정판을 내어 마이클 스콧에게 바치다
• 1241년 피사 공화국이 그에게 해마다 봉급을 주기로 하다