미적분(Calculus)

도함수(Derivative function)

각 점의 미분계수⁠(derivative)⁠를 모아 만든 새 함수⁠(function)⁠. 원래 함수가 가파른 곳에서 크고, 평평한 곳에서 0이다.

f' : x \longmapsto f'(x)

먼저 보면 좋은 개념미분계수

미분계수는 한 점의 기울기⁠(slope)⁠입니다. 점을 $x =$ 로 옮기면 기울기도 바뀝니다(지금 ). 이 값들을 모두 모아 그래프로 그리면 새 함수 $f'$ 가 나옵니다.

위: f와 접선⁠(tangent line)⁠. 아래: 지나간 점들의 기울기가 남긴 자취. 버튼으로 전체를 그려 보세요.

왼쪽 끝부터 쓸기

두 그래프를 위아래로 맞춰 보면 규칙이 보입니다. 이 그림에서 위 그래프가 오르는 곳에서 아래는 양수, 내리는 곳에서 음수이고, 꼭대기와 골짜기(평평한 곳)에서 0입니다. 도함수를 한 번 더 미분⁠(differentiation)⁠한 것(이계 도함수⁠, second derivative⁠)은 "기울기가 변하는 빠르기", 곧 휘어짐입니다. 이 값이 양수인 곳에서 곡선은 아래로 볼록(∪ 모양)하고, 음수인 곳에서는 위로 볼록(∩ 모양)합니다. 한 점에서 함숫값, 도함수 값, 이계 도함수 값, …을 끝없이 모으고 k번째 값을 $k!$ 로 나눠 계수로 쓰면 테일러 급수⁠(Taylor series)⁠가 됩니다.

눈여겨볼 짝이 몇 있습니다. eˣ의 도함수는 자기 자신이고, sin의 도함수는 cos입니다. 거꾸로 도함수에서 원래 함수로 돌아가는 길은 미적분의 기본정리⁠(fundamental theorem of calculus)⁠가 줍니다. 넓이⁠(area)⁠를 쌓으면 됩니다. 다만 상수를 더해도 도함수는 같으니( $x^2$ 과 $x^2 + 5$ ), 원래 함수를 되찾으려면 한 점의 값을 따로 알아야 합니다.

꼭대기와 골짜기에서는 도함수가 0이니, 도함수의 0점이 그 후보입니다. 최적화⁠(optimization)⁠가 도함수의 0점을 찾는 문제가 되는 까닭입니다. 하지만 후보일 뿐입니다. $x^3$ 은 $x = 0$ 에서 도함수가 0인데도 계속 오릅니다. 다만 구간 전체에서 이계 도함수가 0 이상인 함수(아래로 볼록한 함수)라면, 도함수가 0인 점에서 함수는 그 구간의 최솟값을 가집니다. 이 성질이 볼록 최적화의 출발점입니다. 삼각함수⁠(trigonometric function)⁠에서는 탄젠트⁠(tangent)⁠의 도함수가 1 + tan²θ라는 깔끔한 모양을 가집니다.

관련 인물아이작 뉴턴 조제프루이 라그랑주 카를 바이어슈트라스

관련된 시대와 장소편지 공화국 혁명기 파리와 에콜 폴리테크니크

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이 개념이 나오는 긴 글

미분에서 회전까지 · 1편 · 미분 순간의 속도 속도계는 '지금 이 순간'의 속도를 보여 준다. 순간에는 시간이 흐르지 않는데, 무엇을 재는 걸까? 미분에서 회전까지 · 2편 · 적분 거리를 되찾기 속도계 기록만 남았다. 차가 어디까지 갔는지 되찾을 수 있을까? 미분에서 회전까지 · 3편 · 테일러 급수 한 점에서 전부를 한 점에서의 값과 기울기, 휘는 정도만으로 함수 전체를 다시 그릴 수 있을까? 삼각함수 원에서 파동으로 별의 위치를 재던 현의 표가 사인이 되고, 열의 흐름을 풀던 푸리에가 모든 파동을 사인으로 쪼갰다. 혼돈 나비의 날갯짓 방정식이 정해져 있으면 미래도 정해질까? 소수점 아래 몇 자리를 버린 계산이 날씨 예보의 한계를 드러냈다.

이 개념 위에 세워진 것

미적분의 기본정리 최적화 테일러 급수 지수함수 eˣ

이 개념을 언급하는 페이지

함수
… 그래프는 함수를 "한눈에 보는" 방법입니다. 이 생각은 계속 쓰입니다. 모든 점에서 기울기를 모으면도함수, 모든 끝점까지의 넓이를 모으면 넓이 함수가 됩니다. 입력과 출력이 꼭 수 하나일 필요는 없습니다. …
미분계수
… 지금의 방식은 19세기에 코시와 바이어슈트라스가 다듬은 것입니다. 점을 옮기며 미분계수를 모으면도함수라는 새 함수가 됩니다. 미분 가능한 점에서 곡선을 확대하면 접선과 구별되지 않는데, 이 사실이 ⟦국소 …
정적분
… 구하는 건 고됩니다. 끝점 b 를 움직이며 넓이의 변화를 보면 미적분의 기본정리가 나오고, 적분을도함수의 역연산으로 계산할 수 있게 됩니다. 넓이가 몇 배로 바뀌는지는 선형대수에서도 중요합니다. 평면을 …
미적분의 기본정리
… - F(a) 입니다(그런 F끼리는 상수만큼만 달라서, 어느 것을 골라도 빼기에서 상수가 지워집니다).도함수공식이 곧 적분 공식이 되는 셈입니다. eˣ처럼 미분해도 그대로인 함수는 적분해도 상수 차이를 빼면 …
뉴턴 방법
… 망델브로 집합입니다. 이런 그림은 도메인 컬러링에 반복을 더해 그립니다. 최솟값을 찾을 때는도함수의 0점에 뉴턴 방법을 쓰면 됩니다. 그러려면 도함수를 한 번 더 미분한 이계 도함수, 곧 곡선이 휘는 …
최적화
… 가장 큰 부피는 언제일까요? 꼭대기에서는 곡선이 잠깐 평평해집니다. 올라가다가 내려가기 시작하는 순간이니도함수가 0입니다. V'(x) = (10-2x)(10-6x) = 0 의 해는 x = 5/3 과 x = 5 …
가우스 적분
e^{-x^2} 아래 넓이는 기본정리만으로는 구할 수 없습니다. 기본정리를 쓰려면 미분해서(도함수를 구해서) 이 함수가 되는 함수를 식으로 적어야 합니다. 그런데 다항식·지수·로그·삼각함수를 …
지수함수 eˣ
… 물었습니다. 답이 e = 2.71828\ldots 이고, e라는 이름은 뒤에 오일러가 붙였습니다. 모든도함수가 자기 자신이니 모든 미분값이 x=0 에서 1입니다. 그래서 테일러 급수의 계수가 모두 1/k! …
허수 단위 i
… 돌린 방향, 다시 말해 원의 접선 방향입니다. 그래서 sin과 cos은 (부호 하나를 빼면) 서로의도함수(순간 변화율)가 됩니다. 단위원 위에서 각도 θ만큼 돌아간 점을 e^{i\theta} 로 쓰면, 이 점은 …
탄젠트
… 합친 결과입니다. 거꾸로, 기울기에서 각도를 꺼내는 함수, 곧 tan의 역함수가 \arctan 입니다. 그도함수\frac{1}{1+x^2} 은 |x| \lt 1 에서 등비급수 1 - x^2 + x^4 - …
점별 수렴과 균등 수렴
… ε을 주면 n \gt 1/\varepsilon 인 모든 n에서 그래프 전체가 띠 안에 있습니다. 그런데도함수2\pi\cos(2\pi n x) 는 전혀 수렴하지 않습니다. 균등 수렴은 값을 붙잡아 주지만 기울기까지 …

이 페이지가 가리키는 개념

기울기 함수 테일러 급수 지수함수 eˣ 사인과 코사인 미적분의 기본정리 최적화 볼록 함수와 볼록 최적화 탄젠트