정수론(Number theory)

황금비(Golden ratio)

φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618. φ² = φ + 1을 만족하고, 연분수⁠(continued fraction)⁠가 [1; 1, 1, …]이라 분수로 가장 근사하기 어려운 무리수⁠(irrational number)⁠이다.

\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}, \qquad \varphi^2 = \varphi + 1

먼저 보면 좋은 개념피보나치 수열 연분수

황금비 $\varphi$ 의 연분수는 계수가 전부 1입니다. 계수가 크면 수렴분수가 급히 좋아지는데, 전부 1이면 가장 느리게 좋아집니다. 그래서 $\varphi$ 는 분수로 흉내 내기 가장 어려운, 가장 무리수다운 무리수입니다. 수렴분수의 분자와 분모는 피보나치 수입니다.

이 성질로 해바라기 씨앗의 배열을 설명하는 모형이 있습니다(1979년 헬무트 포겔이 제안). 씨앗을 하나 놓을 때마다 원을 $t =$ 바퀴씩 돌리며 조금씩 바깥에 놓아 봅시다. 미리 정해 둔 값: .

k번째 씨앗을 각도 2π·k·t, 반지름 √k에 놓았습니다. 색은 놓인 순서입니다.

$t$ 가 기약분수⁠(irreducible fraction)⁠ $p/q$ 이면 씨앗은 $q$ 개마다(그동안 $p$ 바퀴를 돌고) 같은 방향으로 돌아와 $q$ 개의 바큇살이 생기고 틈이 남습니다. 3/8과 2/5를 골라 보세요. 분수에 가까운 무리수라도 한동안은 바큇살처럼 보입니다. 지금 $t$ 의 연분수는 입니다. 틈 없이 고르게 채우려면 어떤 분수와도 멀리 떨어진 수가 필요하고, 그것이 $t = 1/\varphi^2 \approx 0.382$ (황금각⁠(golden angle)⁠ 약 137.5°)입니다. 이 모형은 실제 해바라기에서 나선 개수가 흔히 이웃한 피보나치 수(21, 34, 55…)로 세어지는 까닭도 설명합니다.

원 위를 한 바퀴의 무리수배만큼씩 계속 도는 점은 같은 자리에 두 번 오지 않고, 원 위의 어떤 짧은 호에도 결국 들어갑니다. 오래 돌리면 각 호에 떨어지는 점의 비율이 그 호가 둘레에서 차지하는 비율에 다가가서 원을 고르게 덮습니다. 이것이 균등분포 정리⁠(equidistribution theorem)⁠이고, 1909–1910년 무렵 보울, 시에르핀스키, 헤르만 바일이 따로 증명했습니다. 두 원 운동의 주파수비가 무리수인 리사주 곡선⁠(Lissajous curve)⁠이 사각형을 빽빽이 메우는 것과 같은 이야기입니다.

그런데 점을 $n+1$ 개 찍으면 비둘기집 원리⁠(pigeonhole principle)⁠에 따라 어떤 두 점은 둘레의 $1/n$ 보다 가깝게 붙습니다. 가장 가까운 두 점이 이보다 얼마나 더 붙느냐는 각도의 연분수가 정하고, 계수가 모두 1인 황금비에서 가장 덜 붙습니다. 정확한 말로는 독일 수학자 아돌프 후르비츠의 정리(1891)가 있습니다. 모든 무리수 $\alpha$ 에 대해 $|\alpha - p/q| \lt 1/(\sqrt5\, q^2)$ 인 분수 $p/q$ 가 무한히 많은데, 여기의 $\sqrt5$ 를 조금이라도 키우면 이 말을 깨뜨리는 수가 바로 황금비(그리고 연분수의 꼬리가 황금비와 같은 수들)입니다.

관련된 시대와 장소르네상스 이탈리아의 대수학 경연

이 개념이 나오는 큰 생각대칭과 불변량 근사와 오차 표현 바꾸기

이 개념이 나오는 긴 글

미분에서 회전까지 · 5편 · 복소수와 행렬 곱셈은 회전이다 복소수를 곱하는 일과 행렬로 평면을 돌리는 일은 같은 일이다. 정수론과 암호 나머지로 지키는 비밀 한 번도 만난 적 없는 두 사람이 모두가 엿듣는 통신망에서 비밀 열쇠를 맞출 수 있을까? 답은 시계의 산수와 1640년 페르마의 정리에 있다. 집합론 무한에도 크기가 있다 자연수와 짝수는 어느 쪽이 많을까? 칸토어는 무한을 세는 법을 찾았고, 무한이 하나가 아님을 보였다. 조합론 세지 않고 세기 시의 운율을 세던 인도의 운율학자부터 오일러의 생성함수까지. 하나하나 늘어놓지 않고 경우의 수를 세는 법은 어떻게 자라났을까?

이 개념을 언급하는 페이지

고유벡터와 고유값
… \\ 1 & 0 \end{bmatrix} 을 곱할 때마다 한 칸씩 나아갑니다. 이 행렬의 가장 큰 고유값이황금비φ ≈ 1.618이라서, 이웃한 두 항의 비는 φ에 다가갑니다. 상태가 유한 개인 마르코프 연쇄를 오래 …
대각화와 행렬 거듭제곱
… 입니다. 이 행렬의 고유값은황금비φ ≈ 1.618과 −1/φ ≈ −0.618이고, 앞의 것이 압도하니 이웃한 두 항의 비 …
리사주 곡선
… 거의 닫힌 것처럼 보이다가 천천히 어긋납니다. 연분수가 [1; 1, 1, 1, …]처럼 1로만 이어지는황금비는 분수로 가장 근사하기 어려운 수라서, 거의 닫힌 것처럼 보이는 순간이 가장 드뭅니다. 전압의 변화를 …
연분수
… 폭 1/Q 인 칸 Q 개에 넣으면 두 개가 한 칸에 들어간다는 것이 핵심입니다. 반대로 계수가 모두 1인황금비는 근사가 가장 느리게 좋아지는, "가장 무리수다운" 수입니다. 그 수렴분수의 분자와 분모는 ⟦피보나치 …
무리수
… 실수에서 빼도, 남는 무리수는 여전히 셀 수 없습니다. 무리수마다 분수로 흉내 내기 쉬운 정도가 다릅니다.황금비는 분수로 흉내 내기 가장 어려운 무리수에 속합니다. 연분수가 [1; 1, 1, 1, …]로 가장 작은 수 …
피보나치 수열
… 가로세로 비 F_{n+1}/F_n 은 위아래로 번갈아 흔들리며 \varphi = 1.6180\ldots ,황금비로 모입니다. 이 비들이 곧 \varphi = [1; 1, 1, \dots] 의 연분수 수렴분수입니다. …
대수적 수와 초월수
무리수 \sqrt2 는 x^2 - 2 = 0 의 근이고,황금비\varphi 는 x^2 - x - 1 = 0 의 근, 허수 단위 i 는 x^2 + 1 = 0 의 …
점화식
… 두 근이 같으면(중근 r) a_n = (A + Bn)\,r^n 입니다. 피보나치 수열에서는 두 근이황금비\varphi 와 -1/\varphi 여서 비네 공식 F_n = \bigl(\varphi^n - …
생성함수
… 입니다. 분모를 인수분해해 부분분수로 나누면 등비급수 두 개의 합이 되고, 거기서황금비가 들어간 일반항이 바로 나옵니다. 이제 x를 실제 수로 보면, 이 급수의 수렴반경은 원점에서 가장 …
수 체계: 자연수에서 실수까지
… 본 말입니다. 이어지는 곳. 실수를 유리수로 다가가는 방법으로는 진법의 소수 전개와 연분수가 있고,황금비는 연분수의 항이 모두 1이어서 분수로 가장 다가가기 어려운 수입니다. 실수의 극한으로 무한한 합에 …
고정점
… 2/3로 줄며 나선을 그리고, 오른쪽 그림의 점들이 점선을 따라 곧게 내려갑니다. 1 + 1/x의 고정점은황금비φ이고 f'(\varphi) = -1/\varphi^2 \approx -0.382 입니다. 1에서 출발하면 …
정수론
… 소수⟧, 소수 판정으로 이어집니다. 정수 해의 길에는 피타고라스 세 쌍, 피보나치 수열,황금비가 있고, 정수와 실수의 경계에는 무리수와 대수적 수와 초월수가 있습니다. 세는 문제와 만나는 곳이 …
특잇값 분해
… + 1)/2 \approx 1.618 과 (\sqrt5 - 1)/2 \approx 0.618 , 곧황금비와 그 역수입니다. 특잇값과 고유값이 같아지는 것은 대칭이면서 고유값이 모두 0 이상인 행렬(공분산 행렬이 …
작도 가능한 수
… 모두 작도됩니다. \sqrt{2 + \sqrt{3}} 이나 \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} (황금비, 정오각형의 대각선) 같은 수가 그렇습니다. 거꾸로도 성립합니다. 작도에서 새 점은 두 직선, 직선과 …

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무리수 헤르만 바일 단위원과 라디안 리사주 곡선 비둘기집 원리