측도 0(Measure zero)

점 하나의 길이는 0입니다. 그렇다면 점이 무한히 많으면 어떨까요? 집합 $A$가 측도 0이라는 것은, 아무리 작은 양수 $\varepsilon$(엡실론)을 주어도 길이의 합이 $\varepsilon$ 이하인 구간들로 $A$를 모두 덮을 수 있다는 뜻입니다. 구간은 무한히 많이 써도 되지만, 첫째, 둘째, …로 번호를 붙일 수 있을 만큼(셀 수 있는 개수)이어야 합니다. '길이가 0'을 정확히 말하는 방법입니다.

0과 1 사이의 유리수⁠(rational number)⁠를 덮어 봅시다. 유리수는 가산이라 0, 1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, …처럼 번호를 붙일 수 있습니다. $i$번째 수를 길이 $\varepsilon/2^i$인 구간으로 덮습니다. $\varepsilon =$ 로 두고 앞에서부터 개를 덮었습니다.

덮개 길이의 합은 등비급수⁠(geometric series)⁠ $\varepsilon(\tfrac12 + \tfrac14 + \cdots)$의 앞부분 이고, 겹치거나 구간 밖으로 삐져나온 부분을 빼면 실제로 덮인 길이는 입니다. 끝까지 덮어도 합은 $\varepsilon$을 넘지 않습니다. 유리수는 어느 두 무리수⁠(irrational number)⁠ 사이에나 있을 만큼 빽빽한데도 말입니다. 덮개가 이렇게 빨리 줄어야 한다는 점이 중요합니다. $i$번째 덮개를 $\varepsilon/i$로 잡으면 합이 조화급수⁠(harmonic series)⁠가 되어 끝없이 커집니다.

다트를 던져 봅시다. 다트 300개 던지기 덮개에 맞은 다트는 로, 비율은 덮인 길이와 비슷합니다. $\varepsilon$을 줄이면 맞는 다트도 줄어듭니다. 0과 1 사이에서 고르게 고른 수가 유리수일 확률⁠(probability)⁠은 어떤 $\varepsilon$보다도 작으니 0입니다. 그래도 유리수가 뽑히는 일이 불가능한 것은 아닙니다. 확률 0과 불가능은 다른 말입니다. 무작위 점으로 길이와 넓이⁠(area)⁠를 재는 이 셈법이 몬테카를로 방법⁠(Monte Carlo method)⁠입니다.

거꾸로, 측도 0이면 셀 수 있을까요? 아닙니다. 그림을 로 바꿔 보세요. 칸토어 집합은 깊이 $d =$ 에서 길이 $3^{-d}$인 구간 $2^d$개로 덮이고, 그 합은 , 곧 $(2/3)^d \to 0$입니다. 그런데 칸토어 집합은 셀 수 없습니다. 측도⁠(measure)⁠는 크기와 다른 잣대입니다. 이 집합 위에서만 오르는 칸토어 함수⁠(Cantor function)⁠는 측도 0인 집합이 얼마나 이상한 일을 할 수 있는지 보여 줍니다.

이어지는 곳. 측도 0인 집합을 무시해도 되는 곳에서 '거의 모든'이라는 말을 씁니다. "거의 모든 점⁠(almost everywhere)⁠에서 성립한다"는 "성립하지 않는 점들이 측도 0"이라는 뜻입니다. 20세기 초 프랑스의 르베그는 길이의 개념을 이런 복잡한 집합까지 넓힌 측도를 세우고, 그 위에서 적분⁠(integral)⁠을 다시 정의했습니다(르베그 적분⁠, Lebesgue integral⁠). 이 적분에서는 측도 0인 집합에서 함수값을 바꿔도 적분이 변하지 않습니다. 유리수에서 1, 무리수에서 0인 함수⁠(function)⁠를 생각해 봅시다. 어느 작은 구간에도 유리수와 무리수가 모두 있어서, 막대 높이를 어디서 재느냐에 따라 리만 합⁠(Riemann sum)⁠이 1도 되고 0도 됩니다. 그래서 리만 합은 한 값으로 모이지 않습니다. 하지만 값이 1인 곳(유리수)은 측도 0이니, 르베그 적분으로는 0입니다.

대수적 수⁠(algebraic number)⁠도 셀 수 있으니 측도 0이고, 그래서 거의 모든 실수⁠(real number)⁠는 초월수입니다. 1909년 프랑스의 에밀 보렐은 거의 모든 실수의 십진 전개에서 0부터 9까지가 모두 10분의 1씩 같은 비율로 나온다는 것을 증명했습니다. 이것도 '예외는 측도 0'이라는 말입니다. 자릿수 하나하나를 공정한 10면 주사위를 던진 결과로 보면, 오래 던질수록 각 눈의 비율이 1/10에 다가간다는 큰 수의 법칙⁠(law of large numbers)⁠의 한 모습입니다.