도메인 컬러링(Domain coloring)
복소함수(complex function)를 보는 방법. 각 점 z를 f(z)의 각도(색)와 크기(밝기 띠)로 칠한다. 계산은 GPU가 픽셀마다 한다.
복소함수(function)
이렇게 보면 실수(real number)만 봐서는 안 보이던 것이 드러납니다.
색칠하기 전에 식을 여러 번 반복해 적용하면, 식에 따라 어디를 확대해도 복잡한 무늬가 계속 나타나는 프랙털(fractal)이 보입니다(칸토어 집합(Cantor set)이 단순한 프랙털의 예입니다). 뉴턴 방법(Newton's method)의 수렴 영역과 망델브로 집합(Mandelbrot set)이 이렇게 그려집니다.
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- 함수
… 점으로 보내는 함수가 선형변환이고, 복소수를 복소수로 보내는 함수는 그래프를 그릴 공간이 모자라색으로 칠해서봅니다. 함수를 정확히 말하는 언어는 집합입니다. 입력이 올 수 있는 집합과 출력이 놓일 집합을 정해 …
- 뉴턴 방법
… 단순한 예입니다. 단순한 반복 규칙에서 프랙털이 나오는 또 다른 예가 망델브로 집합입니다. 이런 그림은도메인 컬러링에 반복을 더해 그립니다. 최솟값을 찾을 때는 도함수의 0점에 뉴턴 방법을 쓰면 됩니다. 그러려면 …
- 수렴반경
… 바뀌어 수렴 구간의 폭도 바뀝니다. 실수 함수의 행동을 복소수가 설명하는 대표적인 예입니다. 극의 모양은도메인 컬러링으로 보면 선명합니다. 수렴반경의 원형은 등비급수입니다. 1/(1−x) = 1 + x + x² + ⋯는 …
- 복소수
… 입력과 출력으로 삼는 함수는 입력 2차원, 출력 2차원이라 그래프를 그리려면 4차원이 필요합니다. 대신도메인 컬러링으로 봅니다. 복소수의 크기 |a + bi|는 피타고라스 정리로 잽니다. zⁿ = 1의 해 n개는 …
- 영점과 극
흰 점 a (영점)와 흰 고리 b (극)를 끌어 f(z) = \dfrac{z-a}{z-b} 의도메인 컬러링을 바꿔 보세요. 영점은 어두운 중심, 극은 밝은 중심입니다. 두 점 둘레로 색이 서로 반대 방향으로 …
- 망델브로 집합
… 집합⟧과 위상적으로 같은 먼지로 흩어집니다. 픽셀마다 반복을 돌리는 계산은 GPU 셰이더가 합니다.도메인 컬러링과 같은 방식에 반복만 더했습니다. 반복이 어디로 끌려가는지로 평면을 칠하는 그림은 뉴턴 방법에서도 …
- 1의 거듭제곱근
… 제곱 z \mapsto z^2 의 그림이기도 합니다. zⁿ − 1의 영점이 바로 1의 거듭제곱근입니다.도메인 컬러링으로 보면 원 위에 색의 소용돌이가 n개 늘어섭니다.
- 리만 제타 함수
… 비켜 갑니다. 이 영점들은 영점과 극에서 본 대로 둘레를 한 바퀴 돌면 색도 한 바퀴 도는 점이고,도메인 컬러링으로 그리면 한 세로선 위에 줄지어 있습니다. 리만 가설 은 자명하지 않은 영점이 모두 세로선 \sigma …