요네다 노부오(Nobuo Yoneda)

요네다 노부오는 1930년 일본에서 태어나 1952년 도쿄 대학 수학과를 졸업했습니다. 이야나가 쇼키치의 제자였던 그는 20대 초반에 호몰로지 대수, 곧 에일렌베르크와 매클레인, 카르탕이 막 세우고 있던 분야에서 연구를 시작했습니다. 그의 이름은 오늘날 범주론⁠(category theory)⁠에서 가장 자주 불리는 정리에 붙어 있는데, 그 이름을 붙인 사람은 매클레인입니다.

나이 세 ·

사연은 요네다의 동료 기노시타 요시키가 요네다에게서 들은 이야기로 전합니다. 요네다는 풀브라이트 장학생으로 미국 프린스턴에 가서 에일렌베르크에게 배웠고, 그 뒤 프랑스로 건너갔습니다. 마침 범주론 연구자들을 찾아다니던 매클레인이 그를 만나고자 했는데, 두 사람의 대화는 파리 북역의 카페에서 시작해 끝없이 이어지다가 요네다가 탄 기차 안에서 기차가 떠날 때까지 계속되었다고 합니다. 그때 요네다가 설명한 정리를 매클레인은 뒤에 '요네다 보조정리'라 불렀고, 1971년 교과서 『일하는 수학자를 위한 범주⁠(category)⁠』로 널리 알렸습니다.

정리의 내용은 이렇습니다. 범주 안의 대상 $A$를, 다른 모든 대상 $X$에 대해 '$A$에서 $X$로 가는 사상들의 모임' $\mathrm{Hom}(A, X)$를 주는 함자⁠(functor)⁠로 바꾸어 봅니다. 그러면 이 함자에서 다른 함자 $F$로 가는 자연 변환⁠(natural transformation)⁠들은 $F(A)$의 원소⁠(element)⁠들과 정확히 일대일로 대응합니다(위의 식). 증명의 요점은 한 줄입니다. 자연 변환 $\alpha$가 주어지면 항등 사상 $\mathrm{id}_A$를 어디로 보내는지 봅니다. 그 원소 $u = \alpha_A(\mathrm{id}_A) \in F(A)$를 알면, 자연성⁠(naturality)⁠의 사각형 때문에 아무 사상 $h : A \to X$의 행선지도 $\alpha_X(h) = F(h)(u)$로 강제됩니다. 모든 사상은 항등 사상을 $h$로 옮긴 것이니까요. 자연 변환 전체가 원소 하나에 담겨 있는 셈입니다.

이 정리가 말하는 것을 쉬운 예로 보겠습니다. 양의 정수⁠(integer)⁠들을 '나누어떨어진다'는 관계로 이은 범주를 생각하면, $x$에서 $a$로 가는 사상은 $x$가 $a$를 나눌 때 하나만 있고 아니면 없습니다. 요네다 보조정리를 여기에 적용하면(위의 식과 화살표 방향을 뒤집은 판, 곧 각 대상 $X$에서 $a$로 오는 사상들을 보는 판을 씁니다), '$a$가 $b$를 나눈다'는 것과 '$a$의 약수⁠(divisor)⁠는 모두 $b$의 약수다'는 것이 동치라는, 당연해 보이는 사실이 됩니다. 증명도 똑같습니다. $a$ 자신이 $a$의 약수라는 것(항등 사상)을 넣어 보면 됩니다. 6이라는 수는 약수의 모임 $\{1, 2, 3, 6\}$으로, 곧 다른 수들과 맺는 관계로 완전히 정해집니다. 대상이 하나이고 모든 사상을 되돌릴 수 있는 범주, 곧 군에 적용하면 모든 군은 어떤 집합⁠(set)⁠의 치환들의 군 안에 들어간다는 1854년 케일리의 정리가 나옵니다. 군의 원소 $g$를 '왼쪽에 $g$를 곱하는 치환'으로 보내면 되고, 요네다 보조정리는 이 대응이 아무것도 잃지 않는다는 것을 보장합니다.

일반적인 결론은 이렇습니다. 대상 $A$를 함자 $\mathrm{Hom}(A, -)$로 보내는 대응(요네다 매장⁠, Yoneda embedding⁠)은 범주를 함자들의 범주 안에 아무것도 잃지 않고 집어넣습니다. 두 대상이 다른 모든 대상과 똑같은 방식으로 관계 맺는다면(두 Hom 함자 사이에 자연 동형⁠(natural isomorphism)⁠이 있다면) 두 대상은 동형입니다. 그래서 범주론에서는 대상을 속을 들여다보지 않고, 다른 것들과의 관계로 정의할 수 있습니다. 보편 성질⁠(universal property)⁠로 곱이나 극한⁠(limit)⁠을 정의하는 일, 그로텐디크가 방정식이 정하는 도형을 그 해들의 함자로 정의한 일이 모두 이 정리에 기대고 있습니다. 함수형 프로그래밍에서도 같은 정리가 나타납니다. 하스켈에서 함자 f에 대해 forall b. (a -> b) -> f b 타입⁠(type)⁠의 값은 f a 타입의 값과 일대일로 대응하는데, 이것이 요네다 보조정리의 한 모습이고 프로그램을 최적화⁠(optimization)⁠하는 기법으로 쓰입니다(요네다 보조정리).

그의 본래 연구에서 남은 것이 요네다 곱입니다. 호몰로지 대수의 핵심 대상 $\mathrm{Ext}^n(A, B)$는 보통 복잡한 분해를 거쳐 계산합니다. 요네다는 1954년과 1960년 논문에서 이것을 $B$에서 시작해 $A$로 끝나는 길이 $n$의 완전열들을 알맞게 묶은 것으로 직접 정의했습니다. 예를 들어 $\mathrm{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$의 원소는 $\mathbb{Z}/2$를 부분으로, $\mathbb{Z}/2$를 몫으로 갖는 군들로 짜 맞추는 방법이고, 그런 방법은 두 가지입니다. 곧이곧대로 붙인 $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2$와, 꼬아 붙인 $\mathbb{Z}/4$입니다. 이 정의에서는 두 완전열을 이어 붙이는 것이 곧 곱이 되는데, 이것이 요네다 곱입니다. 에일렌베르크와 매클레인이 처음 만난 계기였던 '군의 확대'의 계산이, 요네다의 손에서 가장 직접적인 모습을 얻은 셈입니다.

1960년대부터 그의 관심은 컴퓨터 과학으로 넓어졌습니다. 그는 프로그래밍 언어 ALGOL 60과 ALGOL 68을 정하고 관리한 국제 정보 처리 연맹(IFIP)의 작업반 2.1에서 일본을 대표했습니다. 1962년부터 가쿠슈인 대학에서 수학을 가르친 그는 1970년대에 도쿄 대학에 새로 생긴 정보 과학과로 옮겨 1990년 은퇴할 때까지 많은 대학원생을 길렀고, 그 뒤 도쿄 덴키 대학에서 가르쳤습니다. 그는 1996년 세상을 떠났고, 매클레인은 1998년 그를 기리는 글 「요네다 보조정리」를 일본의 학술지에 실었습니다.

이어지는 곳. 정리의 정확한 진술과 그림은 요네다 보조정리에서, 그 재료인 함자와 자연 변환은 함자와 자연 변환에서 볼 수 있습니다. 관계로 대상을 정의하는 방식은 보편 성질과 범주론으로, 군을 치환으로 보는 케일리의 정리는 군과 케일리로 이어집니다. 도형을 해의 함자로 본 쪽은 그로텐디크에, 이름을 붙인 쪽은 매클레인에 있고, 약수의 예는 소인수분해⁠(prime factorization)⁠와 함께 보면 더 분명해집니다.

관계.

• 영향을 받음 새뮤얼 에일렌베르크 — 기노시타 요시키의 회고에 따르면 풀브라이트 장학생으로 미국 프린스턴에 가서 에일렌베르크에게 배웠고, 호몰로지 대수로 연구를 시작했습니다.
• 영향을 줌 손더스 매클레인 — 파리 북역에서 매클레인과 나눈 대화에서 설명한 정리를, 매클레인이 '요네다 보조정리'라 이름 붙이고 교과서로 널리 알렸습니다.

연표.

• 1952년 도쿄 대학 수학과를 졸업하고 조수가 되다
• 1954년 「가군의 호몰로지 이론에 관하여」를 발표하다
• 1960년 「Ext와 완전열에 관하여」를 발표하다
• 1961년 도쿄 대학에서 이학 박사 학위를 받다
• 1962년 가쿠슈인 대학 부교수가 되다
• 1966년 가쿠슈인 대학 교수가 되다
• 1990년 도쿄 덴키 대학으로 옮기다