수학 개념 지도
복소수(Complex number)

망델브로 집합(Mandelbrot set)

z ↦ z² + c를 0부터 반복해도 무한대로 달아나지 않는 복소수⁠(complex number)⁠ c들의 집합⁠(set)⁠. 단순한 규칙에서 끝없이 복잡한 경계가 나온다.

M={ c∈C∣0↦c↦c2+c↦⋯ 이 유계 }M = \{\, c \in \mathbb{C} \mid 0 \mapsto c \mapsto c^2 + c \mapsto \cdots \text{ 이 유계} \,\}
먼저 보면 좋은 개념복소수 곱셈집합

복소수 cc 하나를 정하고 z↦z2+cz \mapsto z^2 + c를 0부터 되풀이합니다. 제곱은 각도를 두 배로, 크기를 제곱으로 만드는 곱셈이고, 그다음 cc만큼 밀어 줍니다. 이렇게 거쳐 가는 값들의 줄 0,c,c2+c,…0, c, c^2 + c, \dots을 궤도라 합니다. 제곱은 크기가 1보다 큰 수를 키우고 1보다 작은 수를 줄이니, 크기가 커진 궤도⁠(orbit)⁠는 점점 더 빨리 커지기 쉽습니다. 정확히는 ∣c∣≤2|c| \le 2일 때 궤도의 크기가 한 번이라도 2를 넘으면 그 뒤로는 반드시 무한대로 달아납니다(∣c∣>2|c| > 2이면 궤도는 처음부터 달아납니다). 달아나지 않는 cc를 모두 모은 집합이 망델브로 집합입니다. 1980년 무렵 컴퓨터 그림으로 이 집합을 널리 알린 폴란드 태생의 프랑스·미국 수학자 브누아 망델브로의 이름이 붙었습니다. 이처럼 같은 규칙을 되풀이할 때 점이 어디로 가는지 연구하는 분야가 동역학계⁠(dynamical system)⁠입니다.

흰검은 곳은 궤도가 달아나는 c, 색이 있는 곳은 60번 반복해도 달아나지 않은 c로, 집합을 근사한 그림입니다(색은 마지막 z의 각도). 노란 점 c를 끌면 그 궤도가 그려집니다. 점선은 가장 큰 심장 모양의 경계입니다.

지금 c=c = 이고, 궤도는 컴퓨터는 반복을 유한 번만 하므로, 경계 가까이에서는 더 오래 반복해야 달아나는 점이 집합 안으로 칠해질 수 있습니다. 가장 큰 몸통은 카디오이드(심장형)이고, 그 경계는 c=eit2−e2it4c = \tfrac{e^{it}}{2} - \tfrac{e^{2it}}{4}입니다. 원 위의 곱셈표⁠(times tables on a circle)⁠에서 2배 곱셈이 그리는 곡선과 같은 모양입니다(원 위의 곱셈표).

같은 반복에서 cc를 고정하고 출발점을 바꾸면 줄리아 집합⁠(Julia set)⁠이 나옵니다. 1918년 이 반복을 연구한 프랑스 수학자 가스통 줄리아의 이름을 땄습니다. 아래 그림은 달아나지 않는 출발점들을 칠한 것(꽉 찬 줄리아 집합)이고, 줄리아 집합은 그 경계입니다. 위의 cc를 옮기면 아래 그림이 바로 바뀝니다. cc가 망델브로 집합 안에 있으면 줄리아 집합은 한 덩어리로 이어져 있고, 밖에 있으면 칸토어 집합⁠(Cantor set)⁠과 위상적으로 같은 먼지로 흩어집니다.

픽셀마다 반복을 돌리는 계산은 GPU 셰이더가 합니다. 도메인 컬러링⁠(domain coloring)⁠과 같은 방식에 반복만 더했습니다. 반복이 어디로 끌려가는지로 평면을 칠하는 그림은 뉴턴 방법⁠(Newton's method)⁠에서도 나타납니다. 뉴턴 방법을 되풀이하면 출발점마다 어느 근으로 끌려가는지가 정해지는데, 같은 근으로 끌려가는 출발점들의 영역(끌림 영역⁠, basin of attraction⁠)들 사이의 경계도 이렇게 복잡합니다. 망델브로 집합의 경계는 어느 곳을 확대해도 새 무늬가 나오는 프랙털입니다.

실수축 위의 망델브로 집합은 로지스틱 사상⁠(logistic map)⁠과 같은 이야기입니다. c=r(2−r)/4c = r(2-r)/4로 두고 변수를 일차식으로 바꿔 적으면 z↦z2+cz \mapsto z^2 + c와 로지스틱 사상 x↦rx(1−x)x \mapsto rx(1-x)는 같은 반복이 되기 때문입니다. cc를 0에서 왼쪽으로 옮기면 궤도가 한 값(규칙을 적용해도 제자리인 고정점⁠(fixed point)⁠)으로 다가가다가, 두 값을 번갈아 돌고, 네 값, 여덟 값으로 주기⁠(period)⁠가 두 배씩 늘어납니다(주기 배가⁠, period doubling⁠). 몸통과 그 왼쪽에 차례로 붙은 둥근 봉오리들(첫째는 정확한 원판)이 이 주기 배가의 순서와 정확히 대응합니다(분기⁠(bifurcation)⁠).

관련 인물아이작 뉴턴에드워드 로렌츠

이 개념이 나오는 긴 글

미분에서 회전까지 · 1편 · 미분 순간의 속도 속도계는 '지금 이 순간'의 속도를 보여 준다. 순간에는 시간이 흐르지 않는데, 무엇을 재는 걸까? 집합론 무한에도 크기가 있다 자연수와 짝수는 어느 쪽이 많을까? 칸토어는 무한을 세는 법을 찾았고, 무한이 하나가 아님을 보였다. 혼돈 나비의 날갯짓 방정식이 정해져 있으면 미래도 정해질까? 소수점 아래 몇 자리를 버린 계산이 날씨 예보의 한계를 드러냈다. 측정의 수학 재는 순간 바뀐다 해안선의 길이는 자에 따라, 평균은 누구에게 묻느냐에 따라, 지표는 목표가 되는 순간 달라진다. 리처드슨의 국경과 프랙털 차원, 스티븐스의 척도, 버스 정류장과 타율의 역설, 스피어먼의 요인, 굿하트의 법칙과 보상 해킹을 한 줄로 꿴다.

이 개념을 언급하는 페이지

  • 뉴턴 방법

    … 프랙털이라 하고, 칸토어 집합이 단순한 예입니다. 단순한 반복 규칙에서 프랙털이 나오는 또 다른 예가망델브로 집합입니다. 이런 그림은 도메인 컬러링에 반복을 더해 그립니다. 최솟값을 찾을 때는 도함수의 0점에 …

  • 복소수

    … 시작해 "z를 z² + c로 바꾸기"를 끝없이 되풀이해도 크기가 한없이 커지지 않는 복소수 c들을 모으면망델브로 집합이 됩니다. 복소수는 16세기 이탈리아에서 삼차방정식의 근의 공식을 쓰다가, 계산 중간에 음수의 제곱근이 …

  • 도메인 컬러링

    … 계속 나타나는 프랙털이 보입니다(칸토어 집합이 단순한 프랙털의 예입니다). 뉴턴 방법의 수렴 영역과망델브로 집합이 이렇게 그려집니다.

  • 영점과 극

    … 돌리면 각 영점으로 끌려가는 영역들의 경계가 어디를 확대해도 끝없이 복잡한 프랙털이 됩니다.망델브로 집합도 반복에서 나오는 프랙털입니다.

  • 칸토어 집합

    … 되풀이되는 도형을 흔히 프랙털이라 부릅니다(합의된 엄밀한 정의가 하나 있지는 않습니다). 복소평면의망델브로 집합과, 같은 반복 규칙에서 나오는 줄리아 집합에서도 비슷한 성질이 나타납니다. 다만 망델브로 집합의 작은 …

  • 원 위의 곱셈표

    … 두 원운동을 더한 것이라 푸리에 급수의 항 두 개로 쓸 수 있습니다. 카디오이드는망델브로 집합에도 있습니다. 가장 큰 몸통의 경계가 정확히 카디오이드입니다(크기와 위치만 다른 닮은꼴). m 이 정수가 …

  • 칸토어 함수

    … 어느 계단을 확대해도 전체와 같은 모양이 보입니다. 작은 부분에 전체의 모양이 되풀이되는 프랙털의 성질로,망델브로 집합에서도 비슷한 모습을 볼 수 있습니다. 마지막으로, 적분을 새로 세운 르베그 적분에서도 기본정리 …

  • 로지스틱 사상

    … θ를 0과 1 사이에서 고르게 무작위로 골랐다고 합시다. 궤도가 매번 왼쪽 반( x 이어지는 곳.망델브로 집합과 같은 사상입니다. 망델브로 집합은 z \mapsto z^2 + c 를 0에서 시작해 되풀이했을 때 …

  • 분기

    … 더 일반적인 형태로 먼저 증명해 두었지만, 서방에는 한동안 알려지지 않았습니다. 이어지는 곳. 이 도표는망델브로 집합의 실수축과 짝지어집니다. 로지스틱 사상은 좌표를 바꾸면 c = r/2 - r^2/4 인 z \mapsto …

  • 혼돈

    … 집합이라 하는데, 사상은 이 경계 위에서 혼돈입니다. 줄리아 집합이 한 덩어리로 이어지는 c들을 모은 것이망델브로 집합입니다.

  • 재귀

    … 집합⟧은 '가운데 1/3을 지우고, 남은 두 조각에 같은 일을 한다'는 재귀로 정의되는 프랙털입니다.망델브로 집합은 재귀라기보다 같은 식 z \mapsto z^2 + c 를 되풀이하는 반복으로 그리지만, 경계 곳곳에 …

  • 콜모고로프 복잡도

    … 개뿐이어서, 대부분의 실수는 어떤 프로그램으로도 적을 수 없습니다. 이어지는 곳. π의 이진 전개나망델브로 집합은 복잡해 보이지만 짧은 프로그램이 만들어 내니 K는 작습니다. 위의 'π의 이진 전개'는 장난감 언어로는 …

  • 고정점

    … 기울기가 0인 곳을 고정점으로 삼는 되풀이입니다. 복소평면에서 되풀이의 고정점과 주기점을 따라가면망델브로 집합이 나오고, 자기 자신을 가리키는 구조로서의 고정점은 자기 참조와 대각선에서 이어집니다. 거리 대신 …

  • 동역학계

    … 복소평면의 반복 z \mapsto z^2 + c 가 c마다 어떤 궤도를 낳는지 한 장에 모은 것이망델브로 집합입니다. 이어지는 곳. 가장 단순한 연속계가 선형 미분방정식이고, 비선형계의 고정점 근처는 그것으로 …

  • 프랙털 차원

    … 차원이 1보다 작으면 길이는 반드시 0이지만, 거꾸로 길이가 0이라고 차원이 1보다 작지는 않습니다.망델브로 집합과 로지스틱 사상의 분기 도표에서는 확대할 때마다 비슷한 모양이 되풀이되고, 로렌츠 끌개 같은 …

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복소수극형식동역학계원 위의 곱셈표칸토어 집합도메인 컬러링뉴턴 방법로지스틱 사상고정점분기