행렬(Matrix)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 기울기

  … m 인 직선 y = mx 는 "입력에 m 을 곱하는" 함수이기도 합니다. 가장 단순한 선형변환, 1×1행렬이 바로 기울기입니다. 그래서 국소 선형성은 "매끄러운 곡선도 확대하면 기울기 하나로 요약된다"는 말이 …

• 국소 선형성

  … 보내는 휘어진 변환도 미분 가능한 점을 확대하면 격자가 곧게 펴지고, 그 점 근처에서는 선형변환, 곧행렬하나처럼 움직입니다. 이 행렬이 편미분을 늘어놓은 야코비 행렬입니다. 1차원에서 기울기가 하던 일을 …

• 연쇄법칙

  … 한 점으로 눌립니다. 이 그림은 차원을 올려도 그대로입니다. 입력과 출력이 여러 개인 함수에서는 "배율"이행렬이 됩니다. 각 출력이 각 입력을 조금 바꿀 때 얼마나 변하는지(편미분)를 표로 늘어놓은 행렬로, 19세기 …

• 허수 단위 i

  … i에는 '평면을 90° 돌리기'라는 분명한 뜻이 있습니다. 행렬을 아는 독자를 위해 덧붙이면, 이 회전을행렬로 쓰면 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} 이고, 이 …

• 복소수 곱셈

  … 극형식으로 보면 당연합니다. 거리는 곱해지고 각도는 더해지니까요. 이 변환은 선형변환이기도 해서행렬로 쓸 수 있습니다. 1은 w 로, i는 iw 로 가니, 그 둘을 열로 세운 \begin{bmatrix} …

• 선형변환

  … 와 \hat\jmath 가 어디로 가는지만 알면 전부 결정됩니다. 그 두 도착점을 적어 둔 표가행렬입니다. 선형변환을 재는 말이 몇 가지 있습니다. 변환 뒤 넓이가 몇 배가 되는지가 행렬식이고(앞뒤가 …

• 행렬식

  … 겹치니 원래 점을 되찾을 수 없고, 변환을 되돌리는 행렬인 역행렬이 없습니다. 복소수 곱셈을 나타내는행렬\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} ( w = a + bi …

• 행렬의 곱

  먼저 를 하고, 이어서 를 해 봅시다. 둘을 합친 변환도 선형변환이니행렬하나로 적을 수 있고, 그것이 두 행렬의 곱입니다. 왼쪽은 "먼저 → 다음" 순서, 오른쪽은 반대 …

• 고유벡터와 고유값

  … 음수이면 A\vec v 는 같은 직선 위에서 반대쪽을 가리킵니다('한 축 뒤집기'에서 볼 수 있습니다).행렬은 입니다. 주황 점선이 고유벡터 방향입니다. v가 그 위에 오면 Av도 같은 직선 위에 옵니다. 고유벡터 …

• 회전 행렬

  … 순서를 바꿔도 결과가 같습니다(행렬의 곱). 90° 회전은 i를 곱하는 일입니다. 이 90° 회전행렬을 '속도 = 행렬 × 위치'라는 규칙으로 쓰면 원 운동이 나옵니다. 속도가 언제나 위치를 90° 돌린 …

• 정사영

  … u 이고 수선의 발은 (\vec p\cdot\hat u)\,\hat u 입니다. 정사영도 선형변환이라행렬P로 쓸 수 있습니다. 이미 직선 위에 있는 점은 그대로 있으니 두 번 해도 한 번 한 것과 같습니다( …

• 연립일차방정식과 역행렬

  … 있습니다. 왼쪽은 행 그림 입니다. 각 방정식이 직선이고 해는 교점입니다. 오른쪽은 열 그림 입니다.행렬의 두 열을 각각 x개, y개 이어 붙여 목표 \vec b 에 닿는 조합을 찾습니다. 오른쪽의 목표점 b를 …

• 대각화와 행렬 거듭제곱

  한 벡터에 같은행렬을 거듭 곱하면 어떻게 될까요? 노란 출발점에서 \vec v, A\vec v, A^2\vec v, …

• 선형 미분방정식

  … 거꾸로, 속도를 정하는 규칙 이 주어지면 운동을 찾을 수 있을까요? 가장 단순한 규칙은 "속도 = 위치에행렬을 곱한 것"입니다. 평면의 모든 점에 속도 화살표가 하나씩 붙고, 점은 그 화살표를 따라 흘러갑니다. …

• 삼각함수의 덧셈정리

  … R_\beta\hat\jmath "로 쪼개 옮깁니다. 그 합을 성분으로 적으면 그대로 덧셈정리입니다.행렬로 쓰면 회전 행렬 두 개의 곱입니다. 복소수 곱셈으로 보면 더 짧습니다. …

• 조건부 확률

  … 마르코프 연쇄입니다. 이런 조건부 확률들을 '지금 상태'를 행, '다음 상태'를 열로 하는 표로 모으면행렬이 되고, 여러 날 뒤의 확률은 그 행렬을 거듭 곱해 얻습니다. 문장도 조건부 확률의 곱으로 쪼개집니다. …

• 마르코프 연쇄

  … 비 온 날 계속 비 올 확률 , 개일 확률 (나머지는 흐림). 이 조건부 확률들을 모은 표가 전이행렬P 입니다. 오늘이 이라면 k = 일 뒤의 날씨 확률은? 오늘의 확률 분포(행벡터)에 P 를 한 번 곱할 …

• 주성분 분석

  … 그 고유벡터들을 새 좌표축으로 삼도록 좌표를 회전하면 공분산 행렬의 대각선 밖 칸이 모두 0인 대각행렬이 됩니다(대각화). 대각선 밖 칸이 공분산이었으니, 새 좌표에서는 두 값 사이의 상관이 사라집니다. …

• 단사·전사·전단사

  … 되는 수(역원)가 존재합니다. 이것이 RSA 암호 같은 암호의 바탕입니다. 선형대수에서도 똑같습니다.행렬이 나타내는 변환이 전단사이려면 행렬이 정사각이어야 하고(입력과 출력의 차원이 같아야 하고), …

• 피보나치 수열

  … = \gcd(2, 1) = 1 로 내려가니, 이웃한 두 항은 항상 서로소입니다. 이 점화식은행렬곱셈 하나로 쓸 수 있습니다: . 그러니 F_n 을 구하는 일은 같은 행렬을 거듭 곱하는 일(⟦행렬의 …

• 열방정식

  … 합 \sum b_k \sin kx 로 쓸 수 있고, 방정식이 선형이라 각 성분이 서로 상관없이 줄어듭니다.행렬을 고유벡터 좌표로 바꾸면 행렬이 각 좌표를 따로 몇 배씩 하는 일로 단순해지는데(대각화), 여기서는 …

• 가우스 소거법

  연립일차방정식을 푸는 가장 기본적인 방법입니다. 식에서 계수만 떼어행렬모양의 표(첨가행렬)로 적고, 세 가지 행 연산 만 씁니다. 한 행의 몇 배를 다른 행에서 빼기, 두 행 …

• 열공간

  행렬A 에 벡터 \vec x 를 곱하면 A\vec x = x_1\vec a_1 + x_2\vec a_2 , …

• 로렌츠 끌개

  … u , 곧 선형 미분방정식이 됩니다. J는 속도의 각 성분을 각 변수로 편미분한 값을 늘어놓은행렬로, 야코비 행렬이라 부릅니다. 흐름의 모양은 J의 고유값이 정합니다. 원점은 안장입니다. 고유값 …

• 가우스 곡률

  … 앞의 계산과 같은 K = -1 이 나옵니다. 행렬을 아는 독자를 위해 덧붙이면, 이 세 값을 모은 2×2행렬의 행렬식이 K이고, \kappa_1, \kappa_2 는 그 행렬의 고유값입니다. 같은 식이 …

• 그래프

  … 꼭짓점들이 서로 겹치지 않는 연결 성분 으로 나뉩니다. 지금은 개입니다. 그래프를 표로 적은 것이 인접행렬A 입니다. i와 j가 이어져 있으면 (i, j) 성분이 1입니다. 를 눌러 보세요. 행렬을 거듭 곱한 …

• 마할라노비스 거리

  … 좌표를 \Sigma 의 고유벡터 축으로 돌리고, 축마다 고유값의 제곱근으로 나눈 뒤, 다시 돌려놓는행렬입니다(대각화). 그 축은 주성분 분석의 축과 같습니다. 특별한 경우를 보면 익숙합니다. …

• 해밍 거리

  … 고르는 21가지에서 나오는 약 21q^2 입니다. q = 0.001이면 약 0.002%입니다. 검사를행렬로 적으면 신드롬은 받은 벡터에 검사 행렬을 곱한 값(2로 나눈 나머지)입니다. 이어지는 곳. 오늘날 …

• 단어 임베딩

  … 먼저 나온 같은 계열의 방법입니다. 낱말마다 각 문서에 몇 번 나오는지를 적은 낱말–문서행렬을 만들고, 특잇값 분해(행렬을 '회전, 축마다 늘이기, 회전'의 곱으로 쪼개어 늘이는 정도가 큰 …

• 신경망

  … 내려가거나 더 줄지 않으면 스스로 멈춥니다. 왜 tanh 같은 비선형 함수가 꼭 필요할까요? 층 하나는행렬W를 곱하고 벡터 b를 더하는 일입니다. 구부리는 함수 없이 층을 쌓으면 행렬의 곱은 다시 행렬 …

• 역전파

  … 생각입니다. 층 단위로 보면 각 층의 국소 미분은 층의 출력 하나하나를 입력 하나하나로 미분한 값을 모은행렬(독일 수학자 야코비의 이름을 딴 야코비 행렬)이고 연쇄법칙은 그 행렬들의 곱입니다. 손실은 수 …

• 점화식

  … 를 넣어 특성방정식을 얻는 것과 똑같은 구조입니다. 행렬로 쓰면 (a_n, a_{n-1}) 에 같은 2×2행렬\begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 을 거듭 곱하는 것이고(c …

• 홀의 정리

  … 얻는 매칭을 완전 매칭이라 합니다. 사람 i가 일 j를 원하면 (i, j) 성분을 1, 아니면 0으로 적은행렬을 만들면, 완전 매칭의 개수는 이 행렬의 퍼머넌트입니다. 퍼머넌트는 행렬식을 전개한 식에서 모든 항의 …

• 오류 정정 부호

  … 더해도 다시 부호어가 된다는 뜻입니다. 비트를 2로 나눈 나머지의 수로 보면 데이터 벡터에 생성행렬을 곱한 것이 부호어이니, 부호어들은 생성 행렬의 열공간입니다. 받은 비트열에 검사 행렬을 …

• 이산 코사인 변환

  … k번째 코사인의 내적 하나로 바로 구해지고(위 식), 거꾸로 되돌리기도 쉽습니다. 크기를 맞추면 변환행렬은 직교 행렬, 곧 길이와 각을 바꾸지 않는 변환(N차원 공간의 회전이나 뒤집기)이라서 벡터의 …

• 통로 부호화 정리

  … 자리마다 XOR로 더해도 다시 부호어가 됩니다. 직접 해 봅시다. 메시지 k비트에 무작위로 뽑은행렬을 곱해 n비트 부호어를 만들고(k는 nR을 반올림한 값), 받은 비트열은 해밍 거리로 가장 가까운 …

• 다항식

  … 검증⟧으로 고릅니다. 어느 경우든 계수를 구하는 일은 연립일차방정식을 푸는 일입니다. 이어지는 곳.행렬A의 고유값은 특성다항식 det(A − λI)의 근이고(행렬식), 선형 미분방정식의 해도 …

• 사영기하

  … y : 0)이 방향 (x, y)의 무한원점입니다(동차 좌표). 그러면 평면의 사영 변환은 세 수에 3×3행렬을 곱하는 선형변환이 됩니다(결과도 비로만 읽습니다). 컴퓨터 그래픽이 3차원 장면을 화면에 원근법으로 …

• 원뿔곡선

  … 양수면 쌍곡선입니다. xy 항은 곡선이 기울어져 있다는 뜻이고, 좌표축을 돌려 이 항을 없애는 일은 대칭행렬을 대각화해 고유벡터 방향을 찾는 일과 같습니다. 사영기하에서는 세 곡선이 사영 변환으로 서로 …

• 일반 상대성 이론

  … 일반 상대성 이론입니다. 점마다 거리 재는 법을 주는 계량은 내적을 점마다 다르게 정한 것이고 대칭행렬로 적습니다. 측지선은 길이를 정류하게 하는 곡선이라 변분법의 문제이며, 약한 중력장에서 시공간의 …

• 기울기 벡터와 야코비 행렬

  … 처럼 점을 점으로 보내는 함수를 생각합시다. 출력마다 기울기 벡터가 하나씩 있고, 그것들을 가로줄로 쌓은행렬이 야코비 행렬입니다. J = \begin{bmatrix} \partial u/\partial x & …

• 범주론

  … 필요가 없다는 것입니다. 행렬. 대상은 자연수 0, 1, 2, …이고, n에서 m으로 가는 화살표는 m×n행렬입니다. 합성은 행렬의 곱이고 항등 화살표는 단위행렬입니다. 크기가 맞는 행렬끼리만 곱할 수 있다는 …

• 자연 변환

  … 보는 방법은 중국인의 나머지 정리로 완성되고, 기저를 고르지 않는 정의가 왜 좋은지는 선형변환과행렬을 견주어 보면 드러납니다. 모든 것의 출발점인 범주와 함자의 정의는 범주론에 있습니다. 함자들을 …

• 수반 함자

  … W로 가는 선형변환은, 기저 벡터 n개를 W의 아무 벡터로 보내는 방법과 정확히 하나씩 대응합니다.행렬의 j번째 열이 e_j 가 가는 곳이라는 사실이 바로 '자유 벡터 공간 ⊣ 잊는 함자'입니다. 집합 위의 …

• 모노이드 범주와 끈 그림

  … 모노이드 대상이라 합니다. 곱집합의 범주에서는 보통의 모노이드이고, 텐서곱의 벡터 공간 범주에서는행렬전체처럼 곱셈이 있는 벡터 공간(대수)이며, 함자들을 합성 ∘로 곱하는 범주에서는 모나드입니다. …

• 라플라시안과 그래프 라플라시안

  … u = \sum_{\text{변 } ab} (u_a - u_b)^2 \;\ge\; 0 이 되기 때문입니다.행렬L 은 대칭이라 고유벡터들로 서로 수직인 좌표축을 잡을 수 있고, 위의 부등식 때문에 고유값이 모두 0 …

• 역문제와 잘 놓인 문제

  … 답은 이고 오차 없는 답에서 만큼 떨어져 있습니다. 각이 좁을수록 평행사변형이 길어집니다. 이 연립방정식의행렬에서 가장 큰 특잇값과 가장 작은 특잇값의 비인 조건수 는 입니다. 조건수 κ는 자료의 상대 오차가 …

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