찰스 스피어먼(Charles Spearman)

찰스 스피어먼은 1863년 런던에서 태어났습니다. 그가 연구를 시작한 20세기 초, 심리학자들은 반응 시간이나 감각의 예민함 같은 것을 재고 있었지만, 여러 검사의 점수가 서로 어떻게 얽혀 있는지를 수학으로 따지는 사람은 거의 없었습니다. 스피어먼은 상관계수를 심리 검사의 자료에 가져와 두 가지를 보였습니다. 잡음 섞인 검사로 잰 상관은 참 상관보다 작게 나온다는 것, 그리고 서로 다른 검사들의 상관이 하나의 공통 요인으로 요약될 수 있다는 것입니다. 앞의 것은 검사의 신뢰도라는 개념을, 뒤의 것은 요인 분석이라는 방법을 낳았습니다.

나이 세 ·

그의 길은 곧지 않았습니다. 스무 살에 육군 장교가 되어 인도와 버마 등지에서 15년 가까이 복무했고, 서른을 훌쩍 넘긴 1897년 군을 떠나 라이프치히의 빌헬름 분트에게서 실험 심리학을 배웠습니다. 박사 학위를 받은 것은 마흔이 넘은 1906년이었습니다. 그러나 그 전인 1904년, 그는 한 해에 두 편의 논문을 냈습니다. 첫째 논문 「두 가지 것 사이의 연관의 증명과 측정」에서 그는 값 대신 순위로 상관을 계산하는 방법(오늘의 '스피어먼 순위 상관')과, 두 검사의 신뢰도를 알면 잡음이 줄여 놓은 상관을 되돌릴 수 있다는 희석 보정을 내놓았습니다. 위의 식이 그것입니다. 잰 점수의 상관 $r_{XY}$는 참값의 상관 $\rho_{T_X T_Y}$에 두 신뢰도의 기하평균을 곱한 것이어서, 두 검사의 신뢰도가 0.8이면 참 상관 0.5는 0.4로 보입니다. 서로 무관한 잡음은 공분산⁠(covariance)⁠에는 아무것도 더하지 않고 표준편차⁠(standard deviation)⁠만 키우기 때문입니다. 다만 이 보정은 잡음이 참값과도, 서로와도 무관하다는 가정 위에 서 있고, 신뢰도를 잘못 추정하면 1을 넘는 '상관'이 나오기도 합니다.

둘째 논문 「객관적으로 결정되고 측정된 '일반 지능'」은 한 예비학교 학생들의 과목 성적과 음높이 구별 능력의 상관표에서 출발했습니다. 모든 쌍의 상관이 양수였고, 그 상관들은 이상할 만큼 규칙적이었습니다. 스피어먼은 각 검사 점수가 모든 검사에 공통인 요인 $g$와 검사마다 고유한 요인의 합이라는 모형을 세웠습니다. 검사 $i$가 $g$에 실리는 정도를 $a_i$라 하면 두 검사의 상관은 $a_i a_j$가 되어야 하고, 그러면 상관표의 네 칸에 대해 $r_{ij} r_{kl} - r_{il} r_{kj} = 0$ 같은 관계가 성립해야 합니다. 그는 뒤에 이 '4분차'가 0에 가까운지를 모형의 시험으로 삼았습니다. 상관표의 많은 칸을 적은 수의 적재량⁠(factor loading)⁠으로 요약한다는 생각은 주성분 분석⁠(principal component analysis)⁠과 가까운 친척입니다.

1907년부터 유니버시티 칼리지 런던에서 가르친 그는 1910년, 비슷한 문항을 $k$배로 늘린 검사의 신뢰도가 $k\rho/(1+(k-1)\rho)$가 된다는 공식을 발표했습니다. 같은 해 같은 학술지에 윌리엄 브라운도 따로 같은 공식을 실어 '스피어먼–브라운 공식⁠(Spearman–Brown formula)⁠'이라 부릅니다. 문항을 늘리면 참값은 쌓이고 잡음은 일부 상쇄되기 때문입니다.

그의 일반 요인은 곧 반론을 만났습니다. 1916년 고드프리 톰슨은 주사위로 만든 점수로, 서로 겹치는 수많은 작은 요소를 검사마다 골라 쓰기만 해도 하나의 일반 요인 없이 비슷한 상관표가 나온다는 것을 보였습니다. 1938년 시카고의 루이스 서스톤은 여러 요인을 두는 분석에서 일곱 가지 기본 능력을 내놓았고, 요인의 축을 어떻게 돌리느냐에 따라 '하나의 g'와 '여러 능력'이 같은 자료에서 모두 나올 수 있다는 것이 드러났습니다. 스피어먼은 1927년 『인간의 능력』에서 자기 이론을 집대성하며 이런 비판에 답했습니다. 오늘의 연구는 대체로 일반 요인 아래 넓은 능력들, 그 아래 좁은 능력들이 있는 위계 모형을 쓰지만, $g$가 뇌 속의 한 가지 원인인지, 여러 능력을 요약한 통계적 수인지는 여전히 열린 물음입니다.

그의 도구가 쓰인 시대도 함께 기억해야 합니다. 그의 이론은 골턴에게서 시작된 우생학⁠(eugenics)⁠이 힘을 얻던 영국과 미국에서 교육 선발과 사람의 분류를 뒷받침하는 근거로 인용되었습니다. 상관과 요인이라는 수학이 틀린 것이 아니라, 요약한 수를 사람의 고정된 가치로 읽은 해석이 문제였습니다. 그는 1931년 은퇴했고, 1945년 런던의 병원에서 세상을 떠났습니다.

이어지는 곳. 잡음 섞인 자가 상관을 0 쪽으로 희석하는 모습과, 요인의 축을 돌려도 상관표가 변하지 않는 까닭은 긴 글 「재는 순간 바뀐다」 6–7절에서 직접 끌어 볼 수 있습니다. 같은 모형 '잰 값 = 참값 + 잡음'이 극단값을 골라 다시 잴 때 만드는 착시는 평균으로의 회귀⁠(regression to the mean)⁠에, 상관이 두 편차 벡터⁠(vector)⁠ 사이 각도의 코사인⁠(cosine)⁠이라는 기하⁠(geometry)⁠는 상관계수와 코사인 유사도⁠(cosine similarity)⁠에 있습니다. 적재량과 회전⁠(rotation)⁠의 계산 도구는 주성분 분석과 특잇값 분해⁠(singular value decomposition)⁠입니다.

관계.

• 영향을 받음 프랜시스 골턴 — 사람의 능력을 재어 수로 견주려던 골턴의 인체 측정 연구와 상관의 생각을 이어받아, 여러 검사 점수의 상관에서 공통 요인을 찾으려 했습니다.
• 논쟁 칼 피어슨 — 같은 유니버시티 칼리지 런던에 있었지만, 순위로 계산하는 상관과 오차의 보정을 두고 피어슨 쪽 통계학자들과 여러 번 부딪혔습니다.

연표.

• 1883년 영국 육군 장교로 임관해 인도와 버마 등지에서 복무하기 시작하다
• 1897년 군을 떠나 라이프치히에서 빌헬름 분트에게 실험 심리학을 배우다
• 1904년 「두 가지 것 사이의 연관의 증명과 측정」과 「'일반 지능'」을 발표하다
• 1906년 라이프치히 대학에서 박사 학위를 받다
• 1907년 유니버시티 칼리지 런던에서 가르치기 시작하다
• 1910년 검사를 늘릴 때의 신뢰도 공식(스피어먼–브라운 공식)을 발표하다
• 1916년 고드프리 톰슨이 일반 요인 없이도 같은 상관표가 나올 수 있다고 반론하다
• 1924년 왕립학회 회원이 되다
• 1927년 『인간의 능력』에서 일반 요인 이론을 집대성하다
• 1931년 유니버시티 칼리지 런던에서 은퇴하다