프랙털 차원(Fractal dimension)

선분을 3분의 1로 줄인 복사본 3개를 이으면 원래 선분이 됩니다. 정사각형은 3분의 1로 줄인 복사본 9개, 정육면체는 27개가 필요합니다. 복사본의 수 $3^1, 3^2, 3^3$의 지수가 우리가 아는 차원 1, 2, 3입니다. 그러니 크기를 $r$배($0 \lt r \lt 1$)로 줄인 자기 복사본 $N$개를 겹치지 않게 이어 붙여 자기 자신이 되는 도형이라면 $N = (1/r)^D$, 곧 $D = \log N/\log(1/r)$를 차원이라고 부르는 것이 자연스럽습니다(로그). 이것을 닮음 차원⁠(similarity dimension)⁠이라고 합니다.

이 규칙을 1904년 헬게 폰 코흐가 만든 곡선에 써 봅시다. 선분을 셋으로 나누고 가운데 토막을 정삼각형의 두 변으로 바꾸기를 끝없이 되풀이한 곡선으로, 3분의 1로 줄인 자기 복사본 4개로 이루어집니다. 그래서 $D = \log 4/\log 3 \approx 1.262$입니다. 가운데 3분의 1을 끝없이 지운 칸토어 집합은 3분의 1 크기 복사본 2개라서 $\log 2/\log 3 \approx 0.631$, 삼각형에서 가운데를 끝없이 도려낸 시에르핀스키 삼각형⁠(Sierpiński triangle)⁠은 절반 크기 복사본 3개라서 $\log 3/\log 2 \approx 1.585$입니다.

정확히 자기 닮음⁠(self-similarity)⁠이 아닌 도형에도 쓸 수 있도록 바꾼 것이 상자 세기입니다. 한 변이 $\varepsilon$인 정사각형 격자를 깔고 도형에 닿는 칸의 수 $N(\varepsilon)$를 셉니다. 칸을 줄일 때 $N(\varepsilon)$이 $(1/\varepsilon)^D$처럼 늘어나면 그 지수 $D$가 상자 세기 차원입니다. 아래에서 을 한 변 인 칸으로 덮었습니다(단계 ).

닿은 칸은 개이고, $\log N/\log(1/\varepsilon)$ = 입니다. 한 단계 앞과 견준 기울기⁠(slope)⁠, 곧 칸의 변을 줄일 때 칸 수가 몇 배가 되는지로 잰 값은 이고, 닮음 차원은 입니다. 오른쪽 그림은 단계마다 (칸 크기의 역수⁠(inverse)⁠, 칸 수)를 두 축 모두 로그 눈금에 찍은 것이라, 점들이 기울기 $D$인 직선 가까이에 놓입니다. 비율 $\log N/\log(1/\varepsilon)$은 $N(\varepsilon)$에 붙는 상수배(격자가 도형과 어떻게 겹치는지에서 생깁니다) 때문에 극한⁠(limit)⁠에 천천히 다가가고, 이웃한 두 단계로 잰 기울기는 닮음 차원 근처에서 조금씩 오르내립니다. 정의가 극한인 까닭입니다.

더 엄밀한 정의는 1918년 펠릭스 하우스도르프가 내놓았습니다. 도형을 지름이 $\delta$ 이하인 조각들로 덮고, 조각 지름의 $s$제곱을 모두 더해 가장 작은 값을 찾은 뒤, $\delta \to 0$의 극한을 봅니다. $s = 1$이면 길이, $s = 2$면 넓이⁠(area)⁠에 해당하는 르베그 측도⁠(Lebesgue measure)⁠와 (상수배를 빼면) 같습니다. 어떤 도형이든 이 $s$차원 측도⁠(measure)⁠가 무한대에서 0으로 뛰는 경계 $s$가 하나 있고, 그것이 하우스도르프 차원입니다. 코흐 곡선의 길이($s = 1$)는 무한대, 넓이($s = 2$)는 0이고, $s \approx 1.262$에서만 0도 무한대도 아닌 값이 나옵니다. 곡선을 재기에 알맞은 자를 찾은 셈입니다. 코흐 곡선처럼 겹치지 않고 자기 닮은 도형에서는 닮음 차원, 상자 세기 차원⁠(box-counting dimension)⁠, 하우스도르프 차원⁠(Hausdorff dimension)⁠이 모두 같지만, 일반적으로는 다를 수 있습니다(예를 들어 0과 1 사이의 유리수⁠(rational number)⁠ 전체는 상자 세기 차원이 1, 하우스도르프 차원이 0입니다).

이 개념이 측정의 문제에서 나왔다는 것이 중요합니다. 1950년 무렵 루이스 프라이 리처드슨은 국경과 해안선을 컴퍼스로 잴 때 폭 $s$를 줄일수록 잰 길이가 $L(s) \approx c\,s^{1-D}$로 늘어남을 보였고, 1967년 브누아 망델브로는 이 $D$를 차원으로 읽자고 제안했습니다(영국 서해안 약 1.25). 흔히 "프랙털 차원은 정수⁠(integer)⁠가 아니다"라고 생각하지만, 정수일 수도 있습니다. 평면을 가득 채우는 페아노 곡선의 차원은 2이고, 망델브로 집합⁠(Mandelbrot set)⁠의 경계는 넓이가 있는지조차 아직 모르지만 하우스도르프 차원은 2입니다(시시쿠라 미쓰히로, 1998). 또 실제 해안선이나 구름은 제한된 규모의 범위에서만 통계적으로 자기 닮음이라서, 그 차원은 잰 범위와 함께 말해야 하는 측정값입니다.

이어지는 곳. 셀 수 없이 많은 점이 모여도 길이가 0일 수 있다는 측도 0⁠(measure zero)⁠과 칸토어 집합의 차원이 1보다 작다는 사실은 한 집합⁠(set)⁠을 두 가지 자로 잰 결과입니다. 차원이 1보다 작으면 길이는 반드시 0이지만, 거꾸로 길이가 0이라고 차원이 1보다 작지는 않습니다. 망델브로 집합과 로지스틱 사상⁠(logistic map)⁠의 분기 도표⁠(bifurcation diagram)⁠에서는 확대할 때마다 비슷한 모양이 되풀이되고, 로렌츠 끌개⁠(Lorenz attractor)⁠ 같은 혼돈계의 끌개⁠(attractor)⁠는 흔히 정수가 아닌 차원을 가집니다(혼돈⁠(chaos)⁠). 두 축 모두 로그 눈금에서 직선이 되는 거듭제곱 관계는 지프의 법칙⁠(Zipf's law)⁠과 규모의 법칙⁠(scaling laws)⁠에도 나오니, 그 지수를 읽는 법은 여기서 익힌 것과 같습니다. 해안선을 재는 이야기에서 출발해 측정 전반을 다루는 글은 「재는 순간 바뀐다」입니다.