가우스 적분(Gaussian integral)

$e^{-x^2}$ 아래 넓이는 기본정리만으로는 구할 수 없습니다. 기본정리를 쓰려면 미분⁠(differentiation)⁠해서(도함수⁠(derivative function)⁠를 구해서) 이 함수⁠(function)⁠가 되는 함수를 식으로 적어야 합니다. 그런데 다항식⁠(polynomial)⁠·지수·로그·삼각함수⁠(trigonometric function)⁠를 사칙연산과 합성으로 유한 번 엮은 식(초등함수⁠, elementary function⁠) 가운데는 그런 함수가 없습니다. 그런데도 −∞부터 ∞까지의 전체 넓이는 정확히 $\sqrt\pi$입니다. 원과 관계없어 보이는 곡선에서 π가 나오는 이유는 2차원에 있습니다.

곡면 $e^{-(x^2+y^2)} = e^{-x^2}e^{-y^2}$ 아래 부피를 두 가지로 셉니다. 가로 조각으로 자르면, y를 고정한 조각 하나의 넓이는 $e^{-y^2}\int e^{-x^2}dx$이고 이것을 y로 다시 쌓으면 $(\int e^{-x^2}dx)^2$입니다. 원점 둘레의 얇은 고리로 자르면, 반지름 $r =$ 인 고리의 둘레 $2\pi r$에서 높이가 모두 $e^{-r^2}$로 같습니다. 이 고리들을 쌓은 $\int_0^\infty 2\pi r e^{-r^2}dr$는 계산할 수 있습니다. 고리 둘레에서 생긴 r 덕분에 $-\pi e^{-r^2}$를 미분하면 바로 이 식이 되고, 값은 π입니다. 그러니 원래 넓이는 √π입니다. 핵심은 곡면이 원점 둘레로 돌려도 똑같은 모양(회전⁠(rotation)⁠ 대칭)이라는 점입니다. 그래서 점을 원점에서의 거리와 각도로 적는 극좌표⁠(polar coordinates)⁠로 보면 계산이 쉬워집니다.

이 결과가 정규분포⁠(normal distribution)⁠ 앞에 붙는 $1/\sqrt{2\pi}$의 출처입니다. $\int e^{-x^2/2}dx = \sqrt{2\pi}$이므로, 확률⁠(probability)⁠의 총합이 1이 되도록 맞춘 것입니다. 이 값은 18세기 확률 연구에서 나왔고, 1809년 가우스는 이를 라플라스의 공으로 돌렸습니다. 적분⁠(integral)⁠의 이름은 같은 해 측정 오차가 이 곡선을 따른다고 본 가우스에서 왔습니다. 서로 독립⁠(independence)⁠인 작은 요인이 많이 더해진 양은 이 곡선에 가까워진다는 중심극한정리⁠(central limit theorem)⁠ 덕분에 이 곡선은 곳곳에 나타나고, 그때마다 π가 따라옵니다. 확률에서 π가 튀어나오는 또 다른 예가 뷔퐁의 바늘⁠(Buffon's needle)⁠입니다.

같은 $\sqrt{2\pi}$는 계승⁠(factorial)⁠ $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$의 근삿값인 스털링 공식⁠(Stirling's formula)⁠ $n! \approx \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$에도 나타납니다. 여기서 ≈는 n이 커질수록 두 값의 비가 1로 다가간다는 뜻입니다. 동전을 n번 던질 때 앞면 수의 분포(이항분포⁠, binomial distribution⁠)는 n이 커지면 종 모양이 됩니다. 이항계수⁠(binomial coefficient)⁠ 속 계승들을 스털링 공식으로 바꾸면 정규분포의 식이 나오고, 스털링 공식의 $\sqrt{2\pi}$가 그대로 정규분포 앞의 $1/\sqrt{2\pi}$가 됩니다. 1733년 드무아브르가 이 길로 이항분포를 근사하는 종 모양 곡선에 이르렀습니다.