요한 라돈(Johann Radon)
직선마다의 적분값으로 평면 위의 함수(function)를 되찾는 공식(라돈 변환(Radon transform), 1917)을 세워 반세기 뒤 CT의 수학이 되었고, 측도(measure)와 적분(integral)의 이론에도 이름을 남긴 오스트리아의 수학자.
요한 라돈은 1887년 오스트리아–헝가리 제국 보헤미아의 테첸에서 태어났습니다. 그의 이름은 오늘날 병원마다 있는 CT 스캐너의 수학, 라돈 변환으로 가장 널리 알려져 있습니다. 그러나 1917년 그가 이 변환을 연구할 때 X선 촬영을 염두에 두었다는 기록은 없습니다. 그는 적분기하학(integral geometry), 곧 도형 위에서 함수를 적분한 값들이 함수에 대해 무엇을 알려 주는지를 묻는 순수 수학의 질문을 풀었을 뿐이고, 그 답이 병원에 닿기까지는 반세기가 걸렸습니다.
나이
그는 빈 대학에서 공부해 1910년 변분법(calculus of variations)에 관한 논문으로 박사 학위를 받았습니다. 1913년 교수 자격 논문에서는 르베그가 길이와 넓이(area)를 바탕으로 세운 르베그 적분(Lebesgue integral)을, 집합(set)마다 크기를 매기는 더 일반적인 '측도'에 대한 적분으로 넓혔습니다. 폴란드의 오톤 니코딤이 1930년 이 결과를 더 일반화한 정리는 오늘날 라돈–니코딤 정리라 불리며, 조건부 확률(conditional probability)과 확률밀도(probability density)를 엄밀하게 정의하는 기초(basics)가 되었습니다.
심한 근시 때문에 제1차 세계대전의 징집을 면한 그는 빈 공과대학의 조교로 일하며 1917년의 논문 「어떤 다양체(manifold)를 따라 적분한 값으로 함수를 정하는 것에 관하여」를 썼습니다. 평면 위의 함수는, 연속이고 멀리 갈수록 충분히 빨리 0에 가까워진다면, 모든 직선을 따라 적분한 값들로 완전히 정해지고, 그 값들에서 함수를 되찾는 명시적인 공식이 있다는 내용입니다. 공식은 두 단계로 되어 있습니다. 한 점을 지나는 모든 직선의 적분값을 모으는 단계(오늘날의 역투영(back-projection))와, 그 결과의 흐림을 되돌리는 단계입니다. 둘째 단계가 높은 주파수를 키우기 때문에, 측정에 잡음이 섞이면 역문제(inverse problem)로서 조심해서 다루어야 합니다.
이 논문은 수십 년 동안 거의 인용되지 않았습니다. 1950–60년대에 전파 천문학자 브레이스웰, 물리학자 코맥, 기술자 하운스필드가 저마다의 문제에서 같은 질문을 다시 만났을 때, 그들 가운데 누구도 처음에는 라돈의 논문을 알지 못했습니다. 코맥은 1963–64년 논문을 낸 뒤에야 라돈이 오래전에 같은 문제를 풀어 두었다는 것을 알았다고 회고했습니다. 1979년 코맥과 하운스필드가 CT로 노벨 생리의학상을 받은 뒤, 라돈의 1917년 논문은 CT의 수학적 출발점으로 널리 인용되기 시작했습니다.
1919년부터 그는 함부르크, 그라이프스발트, 에를랑겐, 브레슬라우(지금의 폴란드 브로츠와프)의 대학에서 가르쳤습니다. 1921년에는
이어지는 곳. 라돈 변환의 식과 거른 역투영(filtered back-projection)은 라돈 변환과 CT 페이지와 긴 글 「거꾸로 푸는 문제는 왜 어려운가」 7절에서 직접 해 볼 수 있습니다. 되찾는 계산이 왜 잡음에 약한지, 그 약점을 정규화로 어떻게 다루는지는 역문제에, 그가 넓힌 적분의 이론은 르베그 적분에 있습니다.
관계.
- 영향을 받음 앙리 르베그 — 1913년 교수 자격 논문에서 르베그의 적분을 길이와 넓이가 아닌 일반적인 '측도'에 대한 적분으로 넓혔고, 이것이 뒤의 라돈–니코딤 정리의 바탕이 되었습니다.
연표.
- 1887년 보헤미아의 테첸(지금의 체코 데친)에서 태어나다
- 1910년 빈 대학에서 변분법에 관한 논문으로 박사 학위를 받다
- 1913년 측도와 적분을 넓힌 논문으로 빈에서 교수 자격을 얻다
- 1917년 직선 적분에서 함수를 되찾는 논문을 라이프치히 작센 학술원 회보에 싣다
- 1919년 함부르크 대학으로 가다
- 1921년 볼록 집합(convex set)에 관한 '라돈의 정리'를 발표하다
- 1928년 브레슬라우 대학 교수가 되다
- 1946년 전쟁 뒤 인스브루크를 거쳐 빈 대학으로 돌아오다
- 1954년 빈 대학 총장이 되다
- 1956년 빈에서 세상을 떠나다
이 인물이 나오는 긴 글
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- 라돈 변환과 CT
… 조각마다 고르다는 믿음을 더하는 압축 센싱 같은 방법을 씁니다. 역사는 에둘러 갔습니다. 1917년 빈의요한 라돈은 순수한 적분기하학의 질문으로 이 변환과 역변환 공식을 발표했습니다. 함수가 연속이고 멀리 갈수록 충분히 …