삼체 문제(Three-body problem)

1687년 뉴턴은 『프린키피아』에서 서로 끌어당기는 두 물체의 운동을 완전히 풀었습니다. 두 물체는 공통 무게중심 둘레를 돌고, 한쪽에서 본 다른 쪽의 궤도⁠(orbit)⁠는 타원⁠(ellipse)⁠, 포물선⁠(parabola)⁠, 쌍곡선⁠(hyperbola)⁠ 가운데 하나인 원뿔곡선⁠(conic section)⁠입니다. 케플러가 관측에서 찾아낸 세 법칙이 모두 여기서 나오고, 어느 시각의 위치든 식으로 계산할 수 있습니다. 그렇다면 해와 지구에 달을 더한 세 물체는 어떨까요? 규칙은 똑같이 간단합니다. 각 물체는 나머지 둘에게서 거리의 제곱에 반비례하는 힘을 받습니다(위의 식). 그런데 이 문제는 300년 넘게 수학자들을 괴롭혔습니다.

어려움은 서로가 서로를 움직인다는 데 있습니다. 둘일 때는 에너지, 운동량⁠(momentum)⁠, 각운동량처럼 시간이 지나도 변하지 않는 양(보존량)이 넉넉해서, 이것들로 운동을 물체 하나의 문제로 줄인 뒤 적분으로 풀 수 있습니다. 공간 속 세 물체의 상태는 위치와 속도⁠(velocity)⁠를 합한 18개의 수인데, 보존량은 무게중심의 운동까지 넣어도 10개뿐이라, 운동을 적분만으로 풀 수 있는 크기까지 줄이지 못합니다. 1887년 독일의 하인리히 브룬스는 이 10개 말고는 대수식으로 된 보존량이 더 없음을 증명했고, 푸앵카레가 이 결과를 더 넓은 종류의 식으로 넓혔습니다. 삼체 문제에 '공식이 없다'는 말의 정확한 뜻이 이것입니다. 그렇다고 해가 식으로 전혀 안 적힌다는 뜻은 아닙니다. 1912년 핀란드의 카를 순드만은 각운동량이 0이 아닌 경우(세 물체가 한꺼번에 부딪칠 수 없는 경우) 모든 시각에서 수렴하는 무한급수⁠(infinite series)⁠ 해를 찾았습니다. 다만 너무 느리게 수렴해서 천문 계산에 쓸 만큼 정확하려면 $10^{8\,000\,000}$항 정도가 필요하다는 계산이 나왔습니다. 그래서 오늘날 삼체 문제는 동역학계⁠(dynamical system)⁠로서, 컴퓨터로 수치 적분하거나 궤도들의 전체 모양을 따지는 방식으로 다룹니다.

특별한 해와 그 안정성

특별한 해는 있습니다. 오일러는 1767년 세 물체가 한 직선 위에 늘어선 채 도는 해를, 라그랑주는 1772년 세 물체가 정삼각형을 이룬 채 통째로 도는 해를 찾았습니다. 정삼각형 해는 질량이 어떻든 성립합니다. 1993년 미국의 크리스토퍼 무어는 컴퓨터 실험으로 같은 질량의 세 물체가 한 8자 곡선 위를 서로 쫓아 도는 해를 찾았고, 2000년 알랭 샹시네(Alain Chenciner)와 리처드 몽고메리가 그 존재를 증명했습니다. 아래 그림은 이런 해에서 출발하되, 파란 물체의 가로 위치만 $\varepsilon = 10^{-k}$만큼 옮긴 쌍둥이 계산(점선과 속 빈 점)을 함께 그립니다. 질량과 거리의 단위는 G = 1이 되게 잡았습니다.

, $k =$ , 시각 $t =$ 재생 처음으로

8자 궤도에서는 처음 차이가 작으면 쌍둥이가 끝까지 붙어 다닙니다. 두 계산의 주기⁠(period)⁠가 아주 조금 달라 차이가 시간에 비례해 천천히 늘기는 하지만, k를 바꿔도 "처음 차이의 몇 배"라는 배율이 거의 그대로입니다. 차이가 처음 차이에 비례할 뿐 스스로 불어나지 않으니, 궤도의 모양이 유지된다는 뜻에서 안정한 해입니다. 같은 질량의 정삼각형은 정반대입니다. 식으로는 영원히 도는 해가 맞지만, 처음 차이가 한 바퀴(시간으로 약 8.3)마다 수십 배씩 자라 결국 삼각형이 무너지고 세 물체가 뒤엉킵니다. 차이가 지수적으로 자라므로 아래 그림에서 거리의 로그가 직선으로 오르고, k를 1 올려 처음 차이를 10분의 1로 줄여도 무너지는 시각은 약 4.3만큼 늦춰질 뿐입니다. 1875년 영국의 에드워드 라우스는 정삼각형 해가 안정하려면 한 물체가 압도적으로 무거워야 한다는 조건 $27(m_1m_2 + m_2m_3 + m_3m_1) \lt (m_1 + m_2 + m_3)^2$을 얻었습니다. 해와 목성은 질량비가 약 1047 : 1이라 이 조건을 넉넉히 만족합니다(세 번째 보기). 실제로 목성 궤도의 60° 앞뒤에는 1만 개가 넘는 트로이 소행성⁠(Trojan asteroid)⁠이 목성, 해와 거의 정삼각형을 이룬 자리 둘레를 천천히 흔들리며 함께 돌고, 첫 트로이 소행성 588 아킬레스는 1906년 독일의 막스 볼프가 찾았습니다.

한 물체가 아주 가벼우면(제한 삼체 문제⁠, restricted three-body problem⁠), 두 무거운 물체와 함께 도는 좌표에서 가벼운 물체가 가만히 머물 수 있는 자리가 다섯 곳 있습니다. 이 자리들이 라그랑주의 이름을 딴 라그랑주 점⁠(Lagrange point)⁠ L1–L5입니다. 두 물체를 잇는 직선 위의 L1, L2, L3은 오일러의 직선 해에, 정삼각형의 꼭짓점⁠(vertex)⁠ L4, L5는 라그랑주의 정삼각형 해에 해당합니다. 직선 위의 세 점은 불안정해서 머물려면 가끔 연료를 써서 자리를 고쳐야 하지만, 지구에서 약 150만 km 떨어진 해–지구 L1과 L2에서는 해와 지구를 늘 같은 쪽에 두고 볼 수 있습니다. 1995년에 발사된 태양 관측선 SOHO가 L1 둘레를, 2022년에 도착한 제임스 웹 우주 망원경이 L2 둘레를 돕니다.

푸앵카레의 오류

삼체 문제는 역사에서 한 번 크게 수학을 바꾸었습니다. 1885년 스웨덴의 수학자 예스타 미타그레플레르의 주선으로, 오스카르 2세 국왕의 60세 생일(1889년 1월 21일)을 기념하는 현상 공모가 발표되었습니다. 문제 가운데 하나는 서로 끌어당기는 여러 물체의 좌표를 모든 시각에서 수렴하는 급수로 나타내라는 것이었습니다. 심사는 미타그레플레르, 바이어슈트라스, 프랑스의 샤를 에르미트가 맡았습니다. 푸앵카레는 문제를 풀지는 못했지만, 궤도를 식 대신 모양으로 연구하는 새로운 방법을 담은 논문으로 1889년 상을 받았습니다. 그런데 논문을 학술지 『악타 마테마티카』에 싣는 과정에서 편집을 돕던 라르스 에드바르드 프라그멘의 질문에 답하던 푸앵카레는 핵심 논증에 오류가 있음을 깨달았습니다. 그는 어떤 궤도들이 안정하다고 결론지었는데, 사실은 불안정한 주기 궤도 가까이에서 궤도들이 끝없이 접히고 엉키는 구조가 생긴다는 것이었습니다. 이미 인쇄된 책은 회수되었고, 푸앵카레는 다시 찍는 비용으로 상금 2,500크로나보다 많은 3,500크로나 남짓을 치렀습니다. 1890년 고쳐 실린 논문에서 그가 본 엉킴은 오늘날 혼돈이라 부르는 것의 첫 모습이었습니다.

1908년 푸앵카레는 『과학과 방법』에서, 처음 조건의 아주 작은 차이가 나중 현상에서 매우 큰 차이를 낳을 수 있고 그러면 예측은 불가능해진다고 적었습니다. 그렇다면 태양계는 안정할까요? 라플라스와 라그랑주는 18세기 말 섭동 계산으로 행성 궤도가 조금씩 흔들릴 뿐이라고 결론지었지만, 그 계산은 어림의 첫 몇 단계였습니다. 1954년 콜모고로프가 시작하고 1960년대 초 블라디미르 아르놀트와 위르겐 모저가 완성한 KAM 이론⁠(KAM theory)⁠은, 흔들림이 충분히 작으면 규칙적인 운동의 대부분이 살아남는다는 것을 보였습니다. 한편 1989년 프랑스의 자크 라스카르는 긴 수치 계산으로 안쪽 행성들의 운동이 혼돈적이며 처음 차이가 약 500만 년마다 e배로 커진다는 것을 보였습니다. 법칙은 결정론적이지만, 지금 상태를 아무리 정밀하게 재도 오차가 이렇게 불어나니 약 1억 년 너머 안쪽 행성들의 위치는 예측할 수 없습니다.

공식이 없어도 계산은 할 수 있습니다. 1759년 프랑스의 알렉시 클레로는 제롬 랄랑드, 니콜렌 르포트와 함께 목성과 토성의 끌림까지 넣은 긴 손 계산으로, 핼리 혜성이 해에 가장 가까워지는 날을 한 달 오차로 예측했습니다. 오늘날 우주선의 궤도는 이 방정식을 짧은 시간 걸음으로 나누어 컴퓨터로 적분해 설계합니다. 위 그림도 한 걸음마다 테일러 전개의 4차까지를 맞추는 룽게–쿠타 방법을 쓰고, 물체들이 가까워질수록 걸음을 줄였습니다.

이어지는 곳. 삼체 문제는 동역학계라는 분야를 낳았고, 그 안의 혼돈은 기상 모형의 로렌츠 끌개⁠(Lorenz attractor)⁠에서 다시 발견되었습니다. 해의 안정성⁠(stability)⁠은 해 근처를 선형 미분방정식⁠(linear differential equation)⁠으로 어림하고 그 고유값⁠(eigenvalue)⁠을 보아 판정하며, 라그랑주 점은 함께 도는 좌표에서 본 고정점⁠(fixed point)⁠입니다. 8자 궤도의 존재는 변분법⁠(calculus of variations)⁠으로, 운동 에너지⁠(kinetic energy)⁠에서 위치 에너지를 뺀 작용을 가장 작게 만드는 운동을 찾아 증명되었습니다. 두 물체의 궤도가 원뿔곡선이라는 뉴턴의 결론에 다른 행성들의 끌림을 다 넣어도 남는 수성 근일점⁠(perihelion)⁠의 어긋남은 일반 상대성 이론⁠(general relativity)⁠이 설명했습니다. 궤도의 모양을 한꺼번에 다루려고 푸앵카레가 다듬은 도구가 오늘날의 위상수학⁠(topology)⁠입니다.