손더스 매클레인(Saunders Mac Lane)

손더스 매클레인은 1909년 미국 코네티컷주 노리치 근처에서 목사 집안에 태어났습니다. 그는 한 사람의 수학자로서 20세기 수학이 겪은 큰 변화를 몸으로 지나왔습니다. 계산의 수학에서 구조의 수학으로 옮겨 간 변화입니다. 방정식을 푸는 대신 '군', '환', '벡터 공간⁠(vector space)⁠' 같은 구조를 정의하고 그 사이의 대응을 연구하는 방식이 그것인데, 매클레인은 이 방식을 미국에 들여온 사람 가운데 하나였고, 그 끝에서 구조들 사이의 대응 자체를 연구하는 범주론을 세웠습니다.

나이 세 ·

1930년 예일 대학을 졸업하고 시카고 대학을 거친 그는 1931년 당대 수학의 중심이던 괴팅겐으로 갔습니다. 헤르만 바일과 파울 베르나이스에게 배우고 뇌터의 강의를 들었는데, 1933년 나치 정권이 들어서며 바일, 뇌터, 베르나이스가 모두 떠나거나 쫓겨나는 것을 지켜보았습니다. 그는 서둘러 논문을 마쳐 1934년 박사 학위를 받았습니다. 주제는 논리학이었습니다. 긴 형식적 증명을 되풀이되는 부분을 묶어 짧게 적는 방법에 관한 것으로, 그는 평생 논리와 수학의 기초⁠(basics)⁠에 관심을 놓지 않았습니다.

하버드, 코넬 등을 거쳐 1938년 하버드 교수진에 든 그는 1941년 개럿 버코프와 함께 『현대 대수학 개관』을 펴냈습니다. 뇌터와 판데르바르덴의 추상 대수학⁠(abstract algebra)⁠을 미국 대학생들이 배울 수 있게 풀어 쓴 이 책은 수십 년 동안 미국 대수학 교육의 표준이었습니다. 같은 해 미시간 대학에서 군의 확대에 관해 강의하다 에일렌베르크를 만났습니다. 두 사람은 대수와 위상수학⁠(topology)⁠의 계산이 겹친다는 데서 출발해 1945년 「자연 동치의 일반 이론」에 이르렀고, 이 논문이 범주, 함자⁠(functor)⁠, 자연 변환⁠(natural transformation)⁠을 처음 정의했습니다. 매클레인은 뒤에 이렇게 적었습니다. 범주는 함자를 정의하려고, 함자는 자연 변환을 정의하려고 만들었다고. 2차 세계대전 동안 그는 컬럼비아 대학의 응용 수학 연구단에서 사격 통제 같은 문제를 계산했고, 1947년 시카고 대학으로 옮겨 은퇴할 때까지 머물렀습니다.

1963년 그는 오래 쓰일 정리 하나를 증명했습니다. 벡터 공간의 텐서곱⁠(tensor product)⁠처럼 두 대상을 곱하는 연산 $\otimes$가 있을 때, $(a \otimes b) \otimes c$와 $a \otimes (b \otimes c)$는 일반적으로 같은 대상이 아니라, 자연스러운 동형 사상으로 이어진 서로 다른 대상입니다. 대상이 넷이면 괄호를 치는 방법이 다섯 가지이고, 다섯이면 14가지입니다. 괄호 치는 방법의 수는 카탈랑 수⁠(Catalan number)⁠를 따라 불어납니다. 한 괄호 방식에서 다른 방식으로 가는 길은 여러 갈래인데, 어느 길로 가든 같은 동형 사상이 나올까요? 매클레인의 정합성 정리는 네 대상의 다섯 괄호 방식이 이루는 오각형 하나(그리고 단위원⁠(unit circle)⁠에 관한 삼각형 하나)만 맞아떨어지면, 대상이 몇 개든 어떤 길로 가든 결과가 같다고 말합니다. 증명의 요점은 모든 괄호 방식을 오른쪽으로 몰아 친 표준형으로 보내는 길을 정하고, 오각형이 두 길의 차이를 언제나 메워 준다는 것을 보이는 데 있습니다. 그래서 수학자들은 결합 법칙이 '동형으로만' 성립하는 구조에서도 괄호를 생략하고 쓸 수 있습니다. 이 정리가 모노이드⁠(monoid)⁠ 범주 이론의 출발점이고, 오늘날 양자 계산의 도식과 프로그래밍 언어의 의미론에서도 쓰입니다(모노이드).

1971년 그는 교과서 『일하는 수학자를 위한 범주』를 펴냈습니다. 제목 그대로, 범주론을 기초론의 호기심이 아니라 대수, 위상수학, 논리를 공부하는 사람이 날마다 쓰는 도구로 가르친 책입니다. 책은 보편 성질⁠(universal property)⁠, 수반 함자⁠(adjoint functor)⁠, 모나드⁠(monad)⁠, 극한⁠(limit)⁠ 같은 개념들을 차례로 세우며 "수반 함자는 어디에나 있다"는 표어를 내걸었습니다. 자유 군과 군의 원소⁠(element)⁠ 집합⁠(set)⁠, 곱과 대각선, 한정기호와 대입처럼 전혀 다른 곳에 있던 짝들이 모두 같은 모양이라는 것입니다. 이 책에서 그는 요네다와 파리 북역에서 나눈 대화에서 들은 정리를 요네다 보조정리⁠(Yoneda lemma)⁠라는 이름으로 널리 알렸습니다. 이 책은 반세기가 지난 지금도 범주론의 표준 교과서입니다.

그는 제자와 동료를 통해서도 넓게 영향을 미쳤습니다. 그의 지도로 박사 학위를 받은 사람 가운데 어빙 캐플란스키는 대수학의 대가가 되었고, 존 톰프슨은 유한군⁠(finite group)⁠ 연구로 1970년 필즈상⁠(Fields Medal)⁠을 받았으며, 하워드는 커리–하워드 대응⁠(Curry–Howard correspondence)⁠을 완성했습니다. 그는 1952–58년 시카고 대학 수학과장, 1973–74년 미국 수학회 회장을 지냈고, 1949년 미국 국가 과학원 회원이 되었고, 1989년 국가 과학 훈장을 받았습니다. 1986년 책 『수학, 형식과 기능』에서는 수학이 세계의 여러 측면을 형식으로 추상한 것이라는 자신의 철학을 펼쳤고, 1992년 이에케 뫼르데이크와 함께 쓴 『기하⁠(geometry)⁠와 논리의 층』은 로베어와 티어니의 토포스⁠(topos)⁠ 이론을 기하와 논리가 만나는 곳으로 소개했습니다. 그는 2005년 샌프란시스코에서 95세로 세상을 떠났습니다.

이어지는 곳. 그가 세운 개념들의 전체 지도는 범주론에서 시작해 함자, 자연 변환, 보편 성질, 수반 함자, 모나드로 이어집니다. 괄호의 오각형과 정합성은 모노이드와 카탈랑 수에서, 이름을 붙여 알린 정리는 요네다 보조정리에서 볼 수 있습니다. 구조를 중심에 둔 대수학의 뿌리는 뇌터와 군에, 함께 범주론을 세운 사람은 에일렌베르크에, 논리와 범주가 만나는 곳은 데카르트 닫힌 범주⁠(cartesian closed category)⁠와 로베어에 있습니다.

관계.

• 영향을 받음 에미 뇌터 — 1931–33년 괴팅겐에서 뇌터의 강의를 들으며 구조를 중심에 두는 추상 대수학을 배웠고, 이 관점을 『현대 대수학 개관』으로 미국 학부 교육에 들여왔습니다.
• 함께 연구 새뮤얼 에일렌베르크 — 1941년 미시간 강의에서 만나 1942년부터 공동 논문을 쓰며 범주, 함자, 자연 변환을 정의했습니다.
• 제자 윌리엄 하워드 — 하워드는 1956년 시카고 대학에서 매클레인의 지도로 재귀⁠(recursion)⁠와 정렬 순서에 관한 논문을 써서 박사 학위를 받았습니다.
• 영향을 받음 요네다 노부오 — 파리 북역에서 요네다와 나눈 대화에서 들은 정리에 '요네다 보조정리'라는 이름을 붙이고, 자신의 교과서로 널리 알렸습니다.

연표.

• 1930년 예일 대학을 졸업하다
• 1931년 괴팅겐으로 가서 바일, 베르나이스, 뇌터에게 배우다
• 1934년 논리학의 짧은 증명에 관한 논문으로 괴팅겐에서 박사 학위를 받다
• 1938년 하버드 대학 교수진에 들다
• 1941년 버코프와 『현대 대수학 개관』을 펴내고, 미시간 강의에서 에일렌베르크를 만나다
• 1945년 에일렌베르크와 「자연 동치의 일반 이론」을 발표하다
• 1947년 시카고 대학으로 옮기다
• 1956년 제자 하워드가 박사 과정을 마치다
• 1963년 모노이드 범주의 정합성 정리를 증명하고, 『호몰로지』를 펴내다
• 1971년 『일하는 수학자를 위한 범주』를 펴내다
• 1973년 미국 수학회 회장이 되다(1973–74)
• 1989년 미국 국가 과학 훈장을 받다
• 1992년 뫼르데이크와 『기하와 논리의 층』을 펴내다