집합의 크기(Cardinality)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 집합

  … 바닥 공사입니다. 두 집합을 합치고 겹치는 연산은 집합의 연산, 원소를 짝지어 크기를 비교하는 일은집합의 크기입니다. 확률에서는 일어날 수 있는 결과 전체가 집합(표본공간)이고 사건은 그 …

• 포함배제 원리

  합집합의 크기를 셀 때 각집합의 크기를 그냥 더하면 겹친 부분을 여러 번 세게 됩니다. 두 번 센 것은 한 번 빼고, 그러다 너무 많이 뺀 세 …

• 단사·전사·전단사

  … 있을 때 "크기가 같다"고 정의하고, 끝까지 셀 수 없는 무한집합의 크기는 바로 이 기준으로 비교합니다(집합의 크기). 원소를 보지 않고 '되돌리는 함수가 있다'는 이 성질만 떼어 낸 것이 범주론의 동형 사상이고, …

• 가산 집합

  무한집합에 "첫째, 둘째, 셋째, …"로 빠짐없이 번호를 붙일 수 있으면 가산 집합입니다. 자연수와크기가 같다는 뜻입니다. (유한집합까지 넣어 '가산'이라 부르는 책도 있습니다. 이 글에서는 무한인 경우만 …

• 칸토어의 대각선 논법

  … 목록도 만들 수 있습니다. 그런 목록은 없으므로 실수의 목록도 없습니다. 0과 1 사이의 실수는 자연수와크기가 다른더 큰 무한입니다. 이진 수열 하나는 "각 자연수를 넣을지 말지"를 적은 표이기도 합니다. 첫째 자리는 …

• 칸토어 집합

  … 바꾸면 모든 이진 수열과 하나씩 짝지어집니다. 그러니 칸토어 집합은 셀 수 없는 집합, 실수 전체와같은 크기입니다. 또 k 단계에서 남은 조각 하나를 3^k 배로 확대하면 칸토어 집합 전체가 그대로 나옵니다(자기 …

• 이항계수

  … a^p 를 p로 나눈 나머지가 a와 같다는 페르마 소정리가 증명됩니다. 겹치는 집합들의 합집합 크기(집합의 크기)를 세는 포함배제 원리에도 이항계수가 숨어 있습니다. 원소 하나가 집합 m개에 속해 있으면 그 원소는 …

• 연속체 가설

  … 크기는 어떻게 견줄까요? 두 집합의 원소를 남김없이 하나씩 짝지을 수 있으면(일대일 대응) 두 집합의크기가 같다고 합니다. 자연수 1, 2, 3, …과 짝수 2, 4, 6, …은 n과 2n을 짝지으면 양쪽 모두 …

• 대수적 수와 초월수

  … 2^{\aleph_0} 사이에 다른 크기가 있는지는 연속체 가설의 질문이고, 크기를 비교하는 규칙은집합의 크기에 있습니다.

• 칸토어 함수

  … 길이 0인 집합이 길이 1인 구간 전체로 펼쳐집니다. 칸토어 집합이 [0, 1] 보다 작지 않다는 것(집합의 크기)도 이 전사가 보여 줍니다. 이어지는 곳. 3진 자리마다 동전을 던져 0이나 2를 고르면 칸토어 집합 …

• 측도 0

  … 그 합은 , 곧 (2/3)^d \to 0 입니다. 그런데 칸토어 집합은 셀 수 없습니다. 측도는크기와 다른 잣대입니다. 이 집합 위에서만 오르는 칸토어 함수는 측도 0인 집합이 얼마나 이상한 일을 할 …

• 쌍곡기하

  … 극한 평행선이라 부릅니다. 그 사이의 방향은 한 구간 전체이니, 만나지 않는 직선은 실수만큼 많습니다(집합의 크기). P에서 ℓ까지의 거리가 d = 일 때, 극한 평행선이 P에서 ℓ로 내린 수선과 이루는 각을 평행각 …

• 푸앵카레 원판

  … 갈 때 새 거리는 0 이상의 모든 값을 빠짐없이 한 번씩 지나갑니다. 부분이 전체와 같은 크기일 수 있다는집합의 크기의 이야기와 닮았습니다. 이어지는 곳. 같은 쌍곡평면을 다른 지도로 그릴 수도 있습니다. 위쪽 반평면 …

• 자카드 지수

  … 것은 전혀 다른 일입니다. 합집합의 크기는 포함배제 원리로 |A|+|B|-|A\cap B| 이고,집합의 크기만 알면 계산됩니다. 둘 다 담지 않은 물건(회색)은 셈에 들어가지 않는다는 점도 중요합니다. 수만 가지 …

• 러셀의 역설

  … \{x \in A : x \notin f(x)\} 으로 보였습니다. 그래서 멱집합은 언제나 원래 집합보다크기가 큽니다. 러셀 자신의 회고에 따르면, 그는 가장 큰 무한이 없다는 칸토어의 이 증명을 '모든 것의 …

• 수 체계: 자연수에서 실수까지

  … 수렴과 발산⟧에서, 실수 위에서 길이를 재는 일은 측도 0과 르베그 적분에서, 무한의 크기는집합의 크기와 연속체 가설에서 이어집니다. 복소수까지 넓히면 상수가 아닌 모든 다항식이 1차식의 곱으로 …

• 수학 기초론 논쟁

  … 남는 것은 자연수와 집합뿐이었고, 칸토어의 집합론은 무한의 크기까지 다룰 수 있게 해 주었습니다(집합의 크기). 그런데 바로 그 집합론의 밑바닥에서 모순이 나왔습니다. 그 뒤 1931년 무렵까지, 수학의 확실성을 …

• 기술 집합론

  … '이런 점들의 모임'이라고 적어 낼 수 있는 집합은 어떤 것들이고, 그런 집합에서는 길이(측도)나크기에 관한 물음에 답할 수 있는가? 이 물음을 다루는 분야가 기술 집합론입니다. '기술(記述)'은 적어서 …

• 대수적 자료형

  … 꼬리표 붙은 값이라는 것은 커리–하워드 대응의 표에 있습니다. 개수의 법칙은 무한 집합에서도 통하는집합의 크기의 셈과 같은 모양이며, 2^{|A|} 는 칸토어의 대각선 논법이 멱집합이 늘 더 크다고 말할 때의 …

• 데카르트 닫힌 범주

  … 보조기⟧입니다. 함수 집합의 크기 |B^A| = |B|^{|A|} 에서 A를 무한으로 보내면 멱집합과무한집합의 크기이야기가 됩니다. 곱을 복사와 버리기가 없는 텐서곱으로 바꿔 커링하면 모노이드 범주와 선형 논리가 …

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