탄젠트(Tangent)

원점에서 각도 $\theta =$ 로 뻗은 반직선의 기울기는 세로/가로 = $\sin\theta/\cos\theta$, 곧 $\tan\theta =$ 입니다. 반직선을 길게 늘여 단위원의 오른쪽에 접하는 세로선 $x = 1$과 만나게 하면, 그 높이가 정확히 $\tan\theta$입니다. 이름("접선⁠(tangent line)⁠")이 여기서 왔습니다.

θ가 90°에 가까워지면 반직선은 세로선과 거의 평행해져서 만나는 점이 한없이 멀어집니다. 그래서 그래프는 세로선 θ = 90°(π/2)에 한없이 가까워지지만 닿지 않는데, 이런 선을 점근선⁠(asymptote)⁠이라 합니다. 오른쪽 그래프의 청록 접선은 그 점의 미분계수⁠(derivative)⁠를 기울기로 가지며, 그 값은 $\tan'\theta = 1 + \tan^2\theta$입니다(지금 ). 분수 꼴 함수⁠(function)⁠ sin θ / cos θ를 미분⁠(differentiation)⁠하는 규칙(몫의 미분⁠, quotient rule⁠)과 피타고라스 항등식⁠(Pythagorean identity)⁠을 합친 결과입니다.

거꾸로, 기울기에서 각도를 꺼내는 함수, 곧 tan의 역함수⁠(inverse function)⁠가 $\arctan$입니다. 그 도함수⁠(derivative function)⁠ $\frac{1}{1+x^2}$은 $|x| \lt 1$에서 등비급수⁠(geometric series)⁠ $1 - x^2 + x^4 - \cdots$와 같고, 한 항씩 적분⁠(integral)⁠하면 테일러 급수⁠(Taylor series)⁠ $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$가 됩니다. $x = 1$은 등비급수가 수렴⁠(convergence)⁠하는 범위의 끝이라 따로 따져야 하지만, 이 급수⁠(series)⁠는 거기서도 수렴하고 값은 $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac13 + \frac15 - \cdots$입니다(아벨의 정리). 홀수만으로 π를 만드는 식이 기울기 1인 반직선에서 나옵니다. 1673~74년 무렵 이 식을 찾은(발표는 1682년) 라이프니츠의 이름을 따 라이프니츠 공식⁠(Leibniz formula for π)⁠이라 부릅니다. 하지만 인도 케랄라 학파의 기록은 14~15세기의 마다바가 이미 알았다고 전합니다.

이 급수는 $|x| > 1$에서 한 값에 다가가지 못합니다(발산⁠, divergence⁠). arctan은 모든 실수⁠(real number)⁠에서 매끄러운데도 그렇습니다. 까닭은 복소수⁠(complex number)⁠에 있습니다. $x = \pm i$에서 $1/(1+x^2)$의 분모가 0이 됩니다. 이 두 점은 복소평면⁠(complex plane)⁠에서 원점과 거리 1이라, 원점을 중심으로 한 급수는 거리 1 밖으로 뻗지 못합니다(수렴반경⁠(radius of convergence)⁠).