행렬식(Determinant)
선형변환(linear transformation)이 넓이(area)를 몇 배로 바꾸는가. 음수이면 방향(앞뒤)이 뒤집히고, 0이면 평면이 선으로 짜부라진다.
단위 정사각형(넓이 1)은 선형변환 뒤에 평행사변형이 됩니다. 그 넓이가 행렬식입니다. 다만 앞뒤가 뒤집히면 넓이에 음수 부호를 붙입니다. 두 화살표 끝을 끌어 보세요. 지금
격자 칸이 모두 같은 배율로 늘어나니, 어떤 모양이든 넓이는
행렬식이 음수이면 초록과 빨강 화살표의 회전(rotation) 순서(초록에서 빨강으로 가는 방향이 시계 반대 방향인지)가 바뀌어 모양이 거울에 비친 것처럼 뒤집힙니다. 0이면 두 열이 원점을 지나는 한 직선 위에 놓여 평면이 선으로 납작해집니다(모든 성분이 0이면 한 점으로). 서로 다른 많은 점이 한 점으로 겹치니 원래 점을 되찾을 수 없고, 변환을 되돌리는 행렬인 역행렬(inverse matrix)이 없습니다.
복소수 곱셈(complex multiplication)을 나타내는 행렬
행렬식이 0이 아니면 변환을 되돌릴 수 있고, 2×2 역행렬 공식은 행렬식으로 나누는 꼴입니다(연립일차방정식과 역행렬, linear systems and inverse matrices). 회전 행렬(rotation matrix)의 행렬식은
큰 행렬의 행렬식은 정의대로 계산하지 않습니다. 정의대로라면 n×n 행렬에서 n!개의 항을 더해야 하기 때문입니다. 대신 가우스 소거법(Gaussian elimination)으로 대각선 아래가 모두 0인 삼각형 모양을 만듭니다. 한 행의 배수(multiple)를 다른 행에서 빼는 조작은 행렬식을 바꾸지 않으니(두 행을 맞바꾸면 부호만 바뀝니다), 남은 대각선의 수들, 곧 피벗(pivot)을 모두 곱하면 행렬식이 나옵니다.
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- 정적분
… 늘이거나 기울이는 선형변환은 모든 도형의 넓이를 같은 비율로 바꾸는데, 그 비율(뒤집히면 음수)이행렬식입니다. 적분에서 변수를 바꿔 계산할 때 넓이가 얼마나 늘었는지 보정하는 데도 이 수가 쓰입니다. 정적분은 …
- 복소수 곱셈
… a & -b \\ b & a \end{bmatrix} 가 곧 "w 곱하기"입니다. 이 행렬의행렬식은 a^2 + b^2 = |w|^2 입니다. 길이가 |w| 배면 넓이는 |w|^2 배이니까요. 늘이기가 …
- 선형변환
… 적어 둔 표가 행렬입니다. 선형변환을 재는 말이 몇 가지 있습니다. 변환 뒤 넓이가 몇 배가 되는지가행렬식이고(앞뒤가 뒤집히면 음수), 변환 뒤에도 제 직선 위에 머무는 0이 아닌 벡터가 고유벡터입니다. 어떤 …
- 고유벡터와 고유값
… 늘이기만 하는 일이 되는데, 이것이 특잇값 분해입니다. 고유값을 (복소수와 겹친 것까지) 모두 곱하면행렬식입니다. 회전하며 늘이기 를 고르면 점선이 사라집니다. 모든 벡터가 돌아가니 제 직선 위에 머무는 실수 …
- 회전 행렬
… \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta 같은 덧셈정리가 나옵니다.행렬식은 \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 (피타고라스 항등식)이라, 회전은 넓이를 …
- 정사영
… 번 해도 한 번 한 것과 같습니다( P^2 = P ). 평면을 직선으로 납작하게 누르니 넓이가 0이 되어행렬식이 0입니다. 직선 방향의 벡터는 그대로(1배), 직선에 수직인 벡터는 0으로 가니 고유값은 1과 …
- 연립일차방정식과 역행렬
… 교점. 오른쪽: 초록 열 x개 + 빨간 열 y개 = b. 둘은 같은 방정식입니다. 행렬을 로 바꿔 보세요.행렬식이 0이면 두 직선이 평행하거나 아예 겹치고, 두 열이 한 직선 위에 놓여 평면을 다 덮지 못합니다. b가 …
- 선형 미분방정식
… 변하지 않습니다(회전). 평형점은 속도가 0이라 한 번 놓이면 움직이지 않는 상태입니다. A의행렬식이 0이 아니면 평형점은 원점 하나뿐입니다. 진자가 아래로 곧게 멈춰 있는 상태, 전류가 흐르지 않는 …
- 피타고라스 항등식
… "회전은 길이를 바꾸지 않는다"는 말이기도 합니다. 회전 행렬의 열이 길이 1인 이유이고, 회전 행렬의행렬식도 계산해 보면 \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 입니다. 복소수로 쓰면 …
- 단사·전사·전단사
… 하고(입력과 출력의 차원이 같아야 하고), 정사각행렬에서는 전단사인 것이 역행렬이 있다는 것, 곧행렬식이 0이 아니라는 것과 같습니다(연립일차방정식과 역행렬). 전단사는 세기의 도구이기도 합니다. 똑같은 …
- 가우스 소거법
… 상수, y = 상수, z = 상수인 평면이 되어 해에서 직각으로 만납니다(가우스–조르당 소거법). 피벗에서행렬식이 나옵니다. 한 행의 몇 배를 다른 행에 더하는 것은 부피를 바꾸지 않는 밀기이고, 두 행을 바꾸면 …
- 열공간
… 가우스 소거법을 마친 뒤 남는 피벗의 개수와 같습니다. 정사각행렬은 열공간이 공간 전체일 때, 곧행렬식이 0이 아닐 때만 모든 b에 대해 풀립니다. 선형변환으로 보면 열공간은 변환이 공간 전체를 보내는 …
- 평행선 공준
… 것은 두 직선의 방정식을 함께 만족하는 점, 곧 연립일차방정식의 해가 있는지 묻는 것입니다. 계수의행렬식이 0이면 해가 하나로 정해지지 않는데, 이것이 두 직선이 평행하거나(해가 없음) 아예 겹치는(해가 무수히 …
- 가우스 곡률
… 같은 K = -1 이 나옵니다. 행렬을 아는 독자를 위해 덧붙이면, 이 세 값을 모은 2×2 행렬의행렬식이 K이고, \kappa_1, \kappa_2 는 그 행렬의 고유값입니다. 같은 식이 최적화에서 …
- 트리
… 주어지면, 그 그래프의 변만 써서 모든 꼭짓점을 잇는 트리를 신장 트리라고 합니다. 신장 트리의 개수는행렬식하나로 셀 수 있습니다. 대각선에는 각 점의 차수를, (i, j) 자리에는 i와 j가 이어져 있으면 …
- 홀의 정리
… 1, 아니면 0으로 적은 행렬을 만들면, 완전 매칭의 개수는 이 행렬의 퍼머넌트입니다. 퍼머넌트는행렬식을 전개한 식에서 모든 항의 부호를 +로 바꾼 것으로, 각 행에서 서로 다른 열의 성분을 하나씩 골라 곱한 …
- 다항식
… 푸는 일입니다. 이어지는 곳. 행렬 A의 고유값은 특성다항식 det(A − λI)의 근이고(행렬식), 선형 미분방정식의 해도 특성방정식의 근이 정합니다. 근을 수치로 찾는 대표적인 방법은 ⟦뉴턴 …
- 특잇값 분해
… 있습니다. 지금 행렬의 특잇값은 \sigma_1 = , \sigma_2 = 입니다. 둘을 곱한 값( )은행렬식의 절댓값( )과 같습니다. 회전은 넓이를 바꾸지 않으니 넓이 배율은 늘이는 단계에서만 생기기 때문입니다. …
- 기울기 벡터와 야코비 행렬
… |\det J| 에 다가갑니다. 곧 야코비 행렬식은 그 점 근처에서 넓이가 몇 배가 되는지를 말합니다(행렬식). '극좌표'를 고르면 (r, \theta) \mapsto (r\cos\theta, …
- 범주론
… A와 B가 동형이라고 합니다. Set에서는 전단사 함수, 행렬의 범주에서는 역행렬이 있는 정사각 행렬(행렬식이 0이 아닌 것), 나누어떨어짐의 범주에서는 a | a뿐입니다. 범주론의 문장은 동형인 대상끼리 바꿔 …
- 모노이드
… 로그는 양수의 곱셈을 덧셈으로 옮기고(log xy = log x + log y, log 1 = 0),행렬식은 행렬의 곱을 수의 곱으로 옮깁니다(det AB = det A · det B, det I = 1). …
- 함자
… 사이의 준동형이 모두 함자입니다. 가역 행렬들의 곱셈 군에서 0이 아닌 실수들의 곱셈 군으로 가는행렬식도 그렇습니다(det AB = det A · det B, det I = 1). 함자끼리는 합성할 수 있고 …
- 자연 변환
… 2η(v)이면서 자연성 때문에 ½η(v)여야 합니다. 그러면 η(v) = 0이니 η는 동형일 수 없습니다.행렬식도 자연 변환입니다. 가환환 R마다 R의 원소로 된 n×n 행렬들의 곱셈 모노이드 M_n(R) 과 R의 …
- 라플라시안과 그래프 라플라시안
… 여지가 있다는 부등식(치거 부등식)이 방법을 받쳐 줍니다. 나무 세기. 아무 꼭짓점 하나의 행과 열을 지운행렬식은 신장 트리의 개수입니다(키르히호프의 행렬–트리 정리, 1847). L = BB^{\mathsf T} …