급수(Series)

등비급수(Geometric series)

매번 같은 비율 r을 곱해 가며 끝없이 더한 합. |r| < 1이면 1/(1−r)로 수렴⁠(convergence)⁠한다.

1 + r + r^2 + r^3 + \cdots = \frac{1}{1 - r} \quad (|r| < 1)

먼저 보면 좋은 개념극한

한 변이 1인 정사각형의 반을 칠하고, 남은 반의 반을 칠하고… 를 끝없이 하면 정사각형 전체가 칠해집니다. 그래서 $\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac18 + \cdots = 1$ 입니다. 일반적으로 비율 $r =$ 을 곱해 가며 1 + r + r² + ⋯을 더하면, 앞에서부터 몇 항까지 더한 값인 부분합⁠(partial sum)⁠은 (항까지)이고 극한⁠(limit)⁠은 입니다.

이유는 한 줄입니다. $S = 1 + r + r^2 + \cdots$ 이면 $rS = r + r^2 + \cdots$ 이니 $S - rS = 1$ 입니다. 따라서 $S = 1/(1-r)$ 이고, 첫 항이 a이면 합은 $a/(1-r)$ 입니다. 다만 이 계산은 S가 유한한 값이라고 미리 가정했습니다. 가정 없이 하려면 n항까지의 합 $S_n$ 에 같은 계산을 합니다. $S_n - rS_n = 1 - r^n$ 이니 $S_n = (1 - r^n)/(1 - r)$ 이고, $|r| \lt 1$ 이면 $r^n \to 0$ 이라 $S_n$ 이 $1/(1-r)$ 에 다가갑니다. r이 음수면 부분합이 극한 둘레를 오르내리며 다가갑니다. $|r| \ge 1$ 이면 $r^n$ 이 0으로 가지 않아 부분합이 한 값에 다가가지 않습니다. 이것을 발산⁠(divergence)⁠이라 합니다.

이 단순한 급수⁠(series)⁠가 곳곳의 뼈대입니다. $1/(1-x)$ 의 테일러 급수⁠(Taylor series)⁠가 바로 이것이고, $x = 1$ 에서 분모가 0이 되어 막히니 수렴반경⁠(radius of convergence)⁠은 1입니다. $0.999\ldots$ 는 $\tfrac{9}{10} + \tfrac{9}{100} + \tfrac{9}{1000} + \cdots$ , 곧 첫 항 9/10, 비율 1/10인 등비급수라 합이 $\tfrac{9}{10} / (1 - \tfrac{1}{10}) = 1$ 입니다(진법⁠(positional notation)⁠ 전개). 칸토어 집합⁠(Cantor set)⁠을 만들며 잘라 낸 길이 $\tfrac13 + \tfrac29 + \tfrac{4}{27} + \cdots$ 도 첫 항 1/3, 비율 2/3인 등비급수라 합이 1입니다.

확률⁠(probability)⁠에서는 성공 확률이 p인 시도를 성공할 때까지 되풀이할 때, k번째에 처음 성공할 확률이 $(1-p)^{k-1}p$ 입니다. 이 분포를 기하분포라 하는데, 모든 k에 대해 더하면 첫 항 p, 비율 1 − p인 등비급수라 합이 $p / p = 1$ 이 됩니다(확률). 언젠가는 반드시 성공한다는 뜻입니다.

이웃한 항의 비율이 일정하지 않고 1/2, 2/3, 3/4, …처럼 점점 1에 가까워지면 비율만으로는 판정이 되지 않습니다. 그런 조화급수⁠(harmonic series)⁠ $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$ 는 발산하지만, 비율이 똑같이 1에 다가가는 $1 + \tfrac14 + \tfrac19 + \cdots$ 는 $\pi^2/6$ 으로 수렴합니다(바젤 문제⁠, Basel problem⁠).

수열의 각 항을 $x$ 의 거듭제곱의 계수로 담는 생성함수⁠(generating function)⁠로 보면 $1/(1-x)$ 는 수열 1, 1, 1, …을 담은 것입니다. 오일러는 이 생각으로 분할수⁠(partition number)⁠, 곧 자연수⁠(natural number)⁠ n을 자연수들의 합으로 쓰는 방법의 수(4는 4, 3 + 1, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1의 다섯 가지로 쓸 수 있어 분할수가 5)를 셌습니다. $1/(1-x^k) = 1 + x^k + x^{2k} + \cdots$ 에서 $x^{jk}$ 를 "k를 j번 쓴다"로 읽고, k = 1, 2, 3, …에 대한 이 등비급수들을 모두 곱해 펼치면 $x^n$ 의 계수가 바로 n의 분할수가 됩니다.

프로그래밍의 타입⁠(type)⁠에도 같은 급수가 나옵니다. A 원소⁠(element)⁠들의 리스트는 '비었거나, 원소 하나와 리스트 하나의 쌍'이라 $L = 1 + A \times L$ 입니다. 이를 수처럼 풀면 $L = 1/(1 - A)$ 이고, 이것을 등비급수로 전개한 $1 + A + A^2 + \cdots$ 는 길이가 0, 1, 2, …인 리스트를 차례로 뜻합니다(대수적 자료형⁠, algebraic data type⁠). 이 전개가 뜻을 갖는 까닭은 리스트 타입이 $L\cong 1 + A\times L$ 의 가장 작은 해, 곧 시작 대수이기 때문이고, 그 해는 길이 0 이하, 1 이하, 2 이하인 리스트들을 차례로 모아 합쳐 얻어집니다.

관련된 시대와 장소케랄라 학파

이 개념이 나오는 큰 생각무한을 다루는 법

이 개념이 나오는 긴 글

미분에서 회전까지 · 2편 · 적분 거리를 되찾기 속도계 기록만 남았다. 차가 어디까지 갔는지 되찾을 수 있을까? 미분에서 회전까지 · 3편 · 테일러 급수 한 점에서 전부를 한 점에서의 값과 기울기, 휘는 정도만으로 함수 전체를 다시 그릴 수 있을까? 확률 도박판에서 온 편지 1654년, 도중에 멈춘 내기의 판돈을 어떻게 나눌까? 두 수학자가 주고받은 편지에서 확률론이 태어났다. 소수 소수를 세는 사람들 소수는 제멋대로 흩어져 있는 것 같다. 그런데 멀리서 세어 보면 로그가 보인다. 집합론 무한에도 크기가 있다 자연수와 짝수는 어느 쪽이 많을까? 칸토어는 무한을 세는 법을 찾았고, 무한이 하나가 아님을 보였다. 그래프 이론 일곱 다리의 도시 쾨니히스베르크의 일곱 다리를 한 번씩만 건너 산책할 수 있을까? 오일러는 지도를 지우고 점과 선만 남겼다. 혼돈 나비의 날갯짓 방정식이 정해져 있으면 미래도 정해질까? 소수점 아래 몇 자리를 버린 계산이 날씨 예보의 한계를 드러냈다. 조합론 세지 않고 세기 시의 운율을 세던 인도의 운율학자부터 오일러의 생성함수까지. 하나하나 늘어놓지 않고 경우의 수를 세는 법은 어떻게 자라났을까? 신경망과 기계 학습 배우는 기계 예를 보여 주면 규칙을 스스로 찾는 기계. 1958년의 퍼셉트론에서 오늘의 심층 신경망까지, 그 밑바닥에는 미분과 연쇄법칙이 있다. 반환과 동적 계획법 같은 계산, 다른 덧셈 가장 짧은 길, 길의 가짓수, 가장 그럴듯한 해석, 갈 수 있는지 없는지. 따로 태어난 알고리즘들이 사실은 한 계산이고, 달라지는 것은 더하기와 곱하기 자리에 무엇을 넣느냐뿐이다. 그렇게 바꿔 넣어도 되는 까닭은 분배법칙 하나다.

이 개념 위에 세워진 것

칸토어 집합 조화급수 측도 0 생성함수 급수의 수렴과 발산

이 개념을 언급하는 페이지

극한
… + \tfrac18 + \cdots 의 부분합 1/2, 3/4, 7/8, …이 1에 다가가므로 이등비급수의 값은 1이고, 테일러 급수의 값도 같은 방식으로 정합니다. 확률에서는 같은 시행을 독립적으로 …
테일러 급수
… 부호와 "있고 없음"만 다릅니다. 이 수수께끼는 오일러 공식에서 풀립니다. 가장 단순한 테일러 급수는등비급수1/(1−x) = 1 + x + x² + ⋯입니다. 한 점 근처를 다항식으로 흉내 내는 테일러 급수와 …
수렴반경
… 복소수가 설명하는 대표적인 예입니다. 극의 모양은 도메인 컬러링으로 보면 선명합니다. 수렴반경의 원형은등비급수입니다. 1/(1−x) = 1 + x + x² + ⋯는 x = 1의 극까지의 거리, 곧 반지름 1 안에서만 …
탄젠트
… 역함수가 \arctan 입니다. 그 도함수 \frac{1}{1+x^2} 은 |x| \lt 1 에서등비급수1 - x^2 + x^4 - \cdots 와 같고, 한 항씩 적분하면 테일러 급수 \arctan x = …
칸토어 집합
… 단계 남은 길이가 2/3 배가 되니, d 단계 뒤 남은 길이는 , 지운 길이는 입니다. 끝까지 지운 길이는등비급수\tfrac13 + \tfrac29 + \tfrac{4}{27} + \cdots = 1 이고, 남은 집합의 …
진법
… 흔히 0.999\ldots 는 1보다 아주 조금 작다고 생각하지만, 둘은 같은 수입니다. 무한소수는등비급수\sum_{k \ge 1} 9/10^k 의 합, 곧 부분합이 다가가는 값을 뜻하고, 그 값이 정확히 …
바젤 문제
… 놀라운 것을 보았습니다. 모든 자연수는 소수로 한 가지로만 분해되니, \sum 1/n^2 은 소수마다등비급수1 + p^{-2} + p^{-4} + \cdots = 1/(1-p^{-2}) 를 곱한 것과 같습니다. …
조화급수
… 큰 묶음이 끝없이 나오기 때문입니다. 반면 제곱의 역수 합은 π²/6으로 수렴하고, 비율이 일정한등비급수도 수렴합니다. 소수의 역수만 골라 더한 \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac15 + …
리만 제타 함수
… 노란 점선은 ζ(s)입니다. 오일러는 이 합이 소수들에 대한 곱과 같다는 것을 알았습니다. 소수마다등비급수1 + p^{-s} + p^{-2s} + \cdots = 1/(1 - p^{-s}) 를 만들어 모두 곱하고 …
도박꾼의 파산
… \ne \tfrac12 이면 P_k = r^k 꼴을 넣어 풀 수 있습니다. 비가 r = (1-p)/p 인등비수열이 해가 되고, 두 벽의 조건을 맞추면 위의 공식이 나옵니다. 카지노처럼 p = 0.49 인 게임에서 …
깁스 현상
… 원인으로 생깁니다. 이어지는 곳. 복소수로 쓰면 \sum e^{ikx} 는 공비가 e^{ix} 인등비급수라서, 항이 몇 개든 짧은 식 하나(닫힌 꼴)로 더해집니다. 그 결과가 위에서 말한 디리클레 …
칸토어 함수
… 구간들(주황), 오른쪽은 기울기 F_d' 의 그래프입니다. 평평한 부분의 길이를 모두 더하면 이고(등비급수\tfrac13 + \tfrac29 + \cdots 의 앞부분), 오르는 부분의 기울기는 입니다. 깊이를 …
측도 0
… 맨 위는 무작위로 던진 다트이고, 덮개에 맞은 것은 주황색입니다. 덮개 길이의 합은등비급수\varepsilon(\tfrac12 + \tfrac14 + \cdots) 의 앞부분 이고, 겹치거나 구간 …
분기
… 오스카 랜퍼드가 컴퓨터의 도움을 받아 해냈습니다. 간격이 거의 일정한 비율로 줄어드니 간격을 모두 더한등비급수는 유한하고, 배가는 r_\infty \approx 3.5699 에서 끝납니다. 그 너머는 혼돈입니다. …
페이지랭크
… \ge 0} d^k M^k \mathbf 1 , 곧 길이 k인 링크 사슬마다 d^k 의 무게를 주는등비급수입니다. d가 0이면 링크는 아무 상관이 없고 모두 똑같이 1/n 입니다. d가 1에 가까울수록 링크 …
경사 하강법
… 한 걸음은 x에 1-\eta , y에 1-6\eta 를 곱하므로, k걸음 뒤에는 이 수의 k제곱이 곱해져등비수열의 항처럼 줄어듭니다. 두 수의 절댓값이 모두 1보다 작아야 수렴합니다. η가 1/6을 넘으면 y 쪽 …
수학적 귀납법
… 됩니다. 식으로는 m^2 + (2m+1) = (m+1)^2 이고, 이것이 귀납 단계입니다. 같은 방식으로등비급수의 합 공식, 이항정리, 피보나치 수의 여러 항등식을 증명합니다. 강한 귀납법. 귀납 단계에서 바로 …
생성함수
… m = : 막대의 높이가 x^m의 계수입니다. 노란 막대가 지금 고른 m입니다. 등비급수가 열쇠입니다.등비급수\frac1{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots 는 '같은 것을 몇 개든 고른다'는 …
분할수
… 생성함수. 분할은 1을 몇 개, 2를 몇 개, 3을 몇 개 쓸지 정하는 일입니다. 그래서 생성함수는등비급수\frac1{1-x^k} = 1 + x^k + x^{2k} + \cdots 들의 곱입니다(위의 식). 이 …
별과 막대
… 곳. 생성함수로 보면 아이 한 명은 1 + x + x^2 + \cdots = \frac1{1-x} (등비급수)이고, k명은 (1-x)^{-k} 이며 그 x^n 계수가 바로 이 답입니다. n과 k를 바꿔 가며 표에 …
분할 정복
… 층이든 n입니다. 일반적으로는 한 층 내려갈 때마다 같은 비율 r = a/2^d 이 곱해지므로, 전체 일은등비급수(각 항에 같은 수를 곱해 다음 항을 얻는 수들의 합)입니다. 아래 그림과 위의 식에 나오는 …
급수의 수렴과 발산
… 고 합니다. 제논의 합 ½ + ¼ + ⅛ + ⋯의 부분합은 1 - 1/2^n 이니 1로 수렴합니다(등비급수). 무한 번 더한다는 말은 '끝까지 다 더한다'가 아니라 '부분합이 어디로 가는지 본다'는 뜻입니다. …
고정점
… , 곧 고정점까지의 거리가 한 걸음마다 대략 |f'(x^*)| 배가 됩니다. 이 값이 1보다 작으면 거리가등비수열처럼 줄어 고정점이 끌어당기고(안정), 1보다 크면 거리가 불어나 밀어냅니다(불안정). 기울기가 음수이면 …
볼록 함수와 볼록 최적화
… 하면(강볼록), 남은 오차 f(x_k) - f^* 가 걸음마다 적어도 1 - \mu/L 배로 줄어등비수열처럼 빨리 작아집니다. L/\mu 가 바로 조건수이고, 이 수가 크면 느립니다. 옌센 부등식. 현의 조건을 …
순환 신경망과 LSTM
… 그래서 오래 지나면 가장 큰 |d\lambda| 가 모든 것을 정합니다. 이 값이 1보다 작으면 신호는등비수열처럼 지수적으로 사라지고(0.9⁵⁰ ≈ 0.005), 1보다 크면 폭발합니다(1.1⁵⁰ ≈ 117). 지금 …
대수적 자료형
… A^2 + A^3 + \cdots , 곧 '빈 리스트, 또는 원소 하나, 또는 둘, 또는 셋, …'이라는등비급수가 됩니다. 뺄셈과 나눗셈은 타입에 뜻이 없지만, 전개한 급수는 뜻이 있습니다. A^n 의 계수는 원소가 …
위치 인코딩의 변천
… i = 0, 1, \dots, \tfrac d2 - 1 진동수는 1에서 시작해 짝마다 같은 비율로 줄어드는등비수열입니다. 파장 2\pi/\omega_i 은 가장 빠른 짝의 2π ≈ 6.3토큰에서 가장 느린 짝의 …
반환
… a, 2a, \ldots) = 0 이지만, 음수 고리가 있으면 돌수록 짧아져 −∞로 내려갑니다. 확률에서는등비급수p^* = 1/(1-p) (0 ≤ p < 1)이고, 개수에서는 고리를 지날 수 있는 칸이 무한대로 …

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급수의 수렴과 발산 테일러 급수 수렴반경 진법 칸토어 집합 확률 조화급수 바젤 문제 생성함수 레온하르트 오일러 분할수 대수적 자료형 F-대수와 fold: 재귀와 귀납의 범주론