회전 행렬(Rotation matrix)

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• 벡터

  … + bi 로 보면 복소수가 됩니다. 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈과 똑같고, 곱셈에서 비로소 새로운 일(회전)이 일어납니다. 벡터의 길이는 피타고라스 정리로 재고, 두 벡터가 얼마나 같은 방향인지는 내적으로 …

• 단위원과 라디안

  … 각도 t 에 있습니다. 그래서 오일러 공식 e^{i\theta} 이 깔끔하게 원을 그리고, 극형식과회전 행렬도 이 원 위의 점으로 설명됩니다. 점이 원 위에 있다는 사실 자체가 ⟦cos²θ + sin²θ = …

• 사인과 코사인

  … 공식⟧ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 입니다. 평면을 θ만큼 돌리는회전 행렬의 성분도 이 두 수입니다. sin과 cos을 늘이고 밀면 온갖 사인파가 되고, 그 사인파들을 더하면 …

• 복소수

  … 늘이는 연산이 됩니다(허수 단위 i, 복소수 곱셈). 점을 거리와 각도로 적는 극형식을 쓰면 이회전이 잘 보입니다. 복소수를 입력과 출력으로 삼는 함수는 입력 2차원, 출력 2차원이라 그래프를 그리려면 …

• 허수 단위 i

  … 쓰면 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} 이고, 이회전 행렬을 제곱하면 \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I …

• 극형식

  … . 이것이 복소수 곱셈의 기하학이고, 각도를 더하는 연산은회전 행렬의 곱과 같습니다. 극형식에서 zⁿ = 1을 풀면 크기 1, 각도 2πk/n인 1의 거듭제곱근이 바로 …

• 복소수 곱셈

  … 입니다. 길이가 |w| 배면 넓이는 |w|^2 배이니까요. 늘이기가 없는( |w| = 1 ) 경우가회전 행렬입니다. 일반 행렬은 한쪽만 늘여 원을 타원으로 찌그러뜨릴 수 있지만, 복소수 곱셈( w \ne 0 )은 …

• 오일러 공식

  … 크기 r, 각도 φ인 복소수는 re^{i\varphi} 로 쓸 수 있습니다(극형식). 이어지는 곳.회전 행렬: 평면을 θ만큼 돌리는 행렬은 (θ가 0이나 π가 아니면) 어떤 화살표도 원래의 직선 위에 남겨 두지 …

• 행렬식

  … 변환을 되돌릴 수 있고, 2×2 역행렬 공식은 행렬식으로 나누는 꼴입니다(연립일차방정식과 역행렬).회전 행렬의 행렬식은 \cos^2\theta + \sin^2\theta 이고, 이것이 1이라는 것이 ⟦피타고라스 …

• 행렬의 곱

  … 범주⟧가 됩니다. 예외도 있습니다. 평면에서 회전끼리는 순서가 상관없고, 각도가 더해질 뿐입니다(회전 행렬). 공간에서는 축이 다른 두 회전의 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다. 복소수 곱셈도 순서와 …

• 고유벡터와 고유값

  … 공식⟧). 복소평면에서 e^{i\theta} 를 곱하는 일이 바로 θ만큼 돌리는 일이기 때문입니다(회전 행렬). 고유벡터는 여러 분야의 '결국 어디로 가는가'라는 질문에 답합니다. 절댓값이 가장 큰 고유값이 …

• 선형 미분방정식

  … 언제나 위치를 90° 돌린 방향(i 곱하기), 곧 원점에서 뻗은 선에 수직이라 거리가 변하지 않습니다(회전). 평형점은 속도가 0이라 한 번 놓이면 움직이지 않는 상태입니다. A의 행렬식이 0이 아니면 …

• 피타고라스 항등식

  … 서로 주고받으며 합은 늘 일정합니다. 이 등식은 "회전은 길이를 바꾸지 않는다"는 말이기도 합니다.회전 행렬의 열이 길이 1인 이유이고, 회전 행렬의 행렬식도 계산해 보면 \cos^2\theta + …

• 삼각함수의 덧셈정리

  … "로 쪼개 옮깁니다. 그 합을 성분으로 적으면 그대로 덧셈정리입니다. 행렬로 쓰면회전 행렬두 개의 곱입니다. 복소수 곱셈으로 보면 더 짧습니다. e^{i\alpha}e^{i\beta} = …

• 주성분 분석

  … 고유벡터들을 늘 좌표축 개수만큼 가집니다(스펙트럼 정리). 그 고유벡터들을 새 좌표축으로 삼도록 좌표를회전하면 공분산 행렬의 대각선 밖 칸이 모두 0인 대각 행렬이 됩니다(대각화). 대각선 밖 칸이 …

• 모듈러 연산

  … i/n} 에 대해 \omega^a \cdot \omega^b = \omega^{a+b} , 곧회전의 합성입니다. 우리가 수를 진법으로 쓸 때 마지막 자리는 10으로 나눈 나머지입니다. 오른쪽 …

• 오일러 피 함수와 페르마 소정리

  … \dots 으로 한 줄로 늘어서고, 곱셈은 원을 \varphi(n) 등분한 1의 거듭제곱근을 도는회전과 똑같아집니다( n = 7 에서 a = 3 , n = 11 이나 13에서 a = 2 를 해 보세요. 반면 …

• 1의 거듭제곱근

  … 시계처럼 n에 닿으면 0으로 돌아가는 덧셈입니다(n = 12이면 9 + 5 = 2). 시계 산수가 원 위의회전인 이유가 이것입니다. 곱셈과 덧셈이라는 서로 다른 연산이 완전히 같은 구조를 가진다는 뜻으로, 수학자들은 …

• 원시근

  … p-1 )에서 0으로 감깁니다. 복소평면에서 1의 거듭제곱근을 곱하면 각도가 더해지며 원을 도는데(회전), 1의 \varphi(n) 제곱근들의 곱셈과 정확히 같은 구조입니다. 거꾸로 g^k 에서 지수 k 를 …

• 구면기하

  … 않고 도형을 옮기는 변환을 합동 변환이라 합니다. 구면기하의 합동 변환은 구를 제자리에서 돌리는 3차원회전 행렬(과 거울 반사)입니다. 곡률은 곡면 위에서 길이만 재어도 알 수 있는 양이라, 곡률이 0인 평면과 곡률이 …

• 마할라노비스 거리

  … 좌표에서 잰 유클리드 거리입니다. \Sigma^{-1/2} 는 좌표를 \Sigma 의 고유벡터 축으로돌리고, 축마다 고유값의 제곱근으로 나눈 뒤, 다시 돌려놓는 행렬입니다(대각화). 그 축은 ⟦주성분 …

• 유클리드 거리

  … 사잇각만으로 정해지는데, 두 벡터를 함께 돌려도 길이와 사잇각은 그대로입니다. 그러니 벡터를 돌리는 계산인회전 행렬은 내적을 바꾸지 않고, 따라서 유클리드 거리도 바꾸지 않습니다. 맨해튼 거리와 체비쇼프 거리는 왜 …

• 군

  … 보존된다는 정리를 증명해 연속적인 대칭과 보존 법칙을 이었습니다. 이어지는 곳. 평면의 회전을 모은 군은회전 행렬로, 원 위를 도는 군은 1의 거듭제곱근과 복소수 곱셈으로 볼 수 있고, 3차원 회전은 사원수의 …

• 원뿔곡선

  … 원 자체의 성질은 단위원과 라디안과 피타고라스 정리에 있습니다. 기울어진 곡선을 바로 세우는 계산은회전 행렬과 대각화, 궤도의 이야기는 케플러와 뉴턴의 페이지와 삼체 문제로 이어집니다. 쌍곡선 xy …

• 사원수

  … 게임 엔진, 로봇 팔, 인공위성과 우주선의 자세 제어는 회전을 사원수로 저장하는 경우가 많습니다. 3×3회전 행렬은 수 9개가 필요하고 계산 오차가 쌓이면 회전이 아닌 행렬로 조금씩 틀어지지만, 사원수는 수 4개로 …

• 트랜스포머

  … p\\ \cos\omega p\end{bmatrix} 이므로, k칸 뒤의 위치 벡터는 p와 상관없는회전 행렬을 곱해 얻어집니다. 그래서 두 위치 벡터의 내적은 PE(p)\cdot PE(q) = \sum_i …

• 위치 인코딩의 변천

  … 이유로 한 가지 성질을 들었습니다. 덧셈정리에 따라 PE(p + k)는 PE(p)에 p와 상관없는회전 행렬을 짝마다 곱한 것이므로, 거리 k만큼 떨어진 곳을 보는 일을 선형 사상 하나로 배울 수 있으리라는 …

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