뷔퐁의 바늘(Buffon's needle)

프랑스의 박물학자 뷔퐁 백작은 1733년 프랑스 과학 아카데미에 이런 질문을 내놓았고, 1777년 책에서 답과 함께 펴냈습니다. 간격이 1인 평행선이 그어진 바닥에 길이 $l =$ 인 바늘을 아무렇게나 던지면, 바늘이 선에 걸칠 확률은 얼마일까? 바늘 개를 던져 보니 개가 선에 걸렸습니다. 다시 던지기

바늘이 선 간격보다 짧거나 같다면($l \le 1$) 답은 $2l/\pi$입니다. 원이 보이지 않는데 π가 나오는 까닭은 바늘의 방향 각도 θ가 고르게 퍼져 있기 때문입니다. 각도가 θ인 바늘이 선에 수직인 방향으로 차지하는 폭은 $l\,|\sin\theta|$(사인⁠, sine⁠)입니다. 바늘 중심은 두 선 사이 어디에나 고르게 떨어지므로, 각도가 θ일 때 선에 걸칠 확률은 이 폭을 간격 1로 나눈 값, 곧 폭 그 자체입니다. 바늘이 간격보다 길면 두 선에 한꺼번에 걸칠 수 있어서 이 계산이 맞지 않습니다. θ에 대해 평균⁠(mean)⁠을 내려면 적분⁠(integral)⁠이 필요하고, $|\sin\theta|$의 평균은 $2/\pi$입니다.

거꾸로 걸린 비율로 π를 어림할 수 있습니다: $\pi \approx \dfrac{2lN}{\text{걸린 수}} =$ . 뷔퐁 자신은 π를 재려던 것이 아니었고, 이렇게 π를 어림할 수 있다고 짚은 사람은 1812년의 라플라스입니다. 그래서 이 실험은 몬테카를로 방법⁠(Monte Carlo method)⁠의 먼 조상으로 꼽힙니다. π는 원에서 태어났지만, 원이 보이지 않는 곳에서도 "고르게 퍼진 방향"이 있는 한 나타납니다.