윌리엄 로베어(F. William Lawvere)

윌리엄 로베어는 1937년 미국 인디애나주 먼시에서 태어났습니다. 인디애나 대학에서 그는 클리퍼드 트루스델에게 연속체 역학⁠(continuum mechanics)⁠, 곧 유체와 탄성체의 운동을 다루는 물리학의 수학을 배웠습니다. 그는 물리학의 기초⁠(basics)⁠ 개념들을 더 단순하고 정확하게 세우고 싶었고, 그 도구로 막 생겨난 범주론⁠(category theory)⁠을 택했습니다. 1960년 컬럼비아 대학으로 옮겨 에일렌베르크에게 배운 그는, 범주론을 대수적 위상수학⁠(topology)⁠의 계산 도구에서 수학과 논리의 기초를 다시 세우는 언어로 바꾸어 놓았습니다.

나이 세 ·

1963년 박사 논문 「대수적 이론의 함자 의미론」은 대수 구조를 다루는 방식을 뒤집었습니다. 보통은 모노이드⁠(monoid)⁠를 '결합 법칙과 항등원⁠(identity element)⁠을 만족하는 연산을 가진 집합⁠(set)⁠'으로 정의합니다. 로베어는 모노이드의 이론 자체를 하나의 범주로 보았습니다. 그 범주의 대상은 '변수 $n$개'를 뜻하는 추상적인 거듭제곱 $1, T, T^2, \dots$이고, 사상은 연산으로 만들 수 있는 식들입니다. 그러면 하나의 모노이드는 이 범주에서 집합의 범주로 가는, 곱을 보존하는 함자입니다. 같은 이론의 모형을 집합 대신 위상 공간⁠(topological space)⁠이나 다른 범주에서 잡으면 위상 모노이드⁠(topological monoid)⁠ 같은 것이 저절로 정의됩니다. 이론을 문법이 아니라 구조로 보고, 뜻을 함자로 보는 이 방식이 오늘날 '로베어 이론'이라 불립니다.

1964년 그는 집합론 자체를 다시 썼습니다. 보통의 집합론은 '원소⁠(element)⁠가 집합에 속한다'는 관계를 기본으로 삼습니다. 로베어의 「집합 범주의 기본 이론(ETCS)」은 집합과 함수⁠(function)⁠, 함수의 합성만을 기본으로 삼고, 원소는 원소 하나짜리 집합 $1$에서 오는 함수 $1 \to X$로 정의합니다. 곱, 함수 집합, 참거짓 값을 담는 대상 같은 것을 보편 성질⁠(universal property)⁠로 요구하는 몇 개의 공리만으로, 보통의 수학에 필요한 집합론을 거의 다 얻을 수 있습니다. 수학자가 실제로 쓰는 것은 집합의 속을 들여다보는 일보다 함수를 합성하는 일이라는 관찰을 기초론으로 옮긴 것입니다.

1969년 논문 「대각선 논법과 데카르트 닫힌 범주⁠(cartesian closed category)⁠」는 수학의 가장 유명한 불가능성 정리들을 한 줄로 묶었습니다. 데카르트 닫힌 범주에서 사상 $\phi : A \to Y^A$가 모든 '점'을 덮는다면(점 전사⁠, point-surjective⁠), $Y$에서 자기 자신으로 가는 모든 사상 $f$는 고정점⁠(fixed point)⁠을 가진다는 정리입니다(위의 식). 증명은 한 줄입니다. $g(a) = f(\phi(a)(a))$로 정의하면 $\phi$가 점 전사이므로 어떤 $a_0$에 대해 $g = \phi(a_0)$이고, 그러면 $\phi(a_0)(a_0) = g(a_0) = f(\phi(a_0)(a_0))$이니 $\phi(a_0)(a_0)$가 $f$의 고정점입니다. 이제 거꾸로 읽습니다. $Y = \{0, 1\}$이고 $f$가 0과 1을 바꾸는 부정이면 고정점이 없으므로, $A$에서 $A$의 부분집합⁠(subset)⁠ 전체($2^A$)로 가는 전사⁠(surjective)⁠는 없습니다. 이것이 칸토어의 대각선 논법⁠(Cantor's diagonal argument)⁠과 멱집합⁠(power set)⁠ 정리입니다. 같은 틀에 무엇을 넣느냐에 따라 러셀의 역설⁠(Russell's paradox)⁠, 괴델의 불완전성 정리⁠(incompleteness theorem)⁠에 쓰인 대각선 보조정리⁠(diagonal lemma)⁠, 타르스키의 진리 정의 불가능성, 튜링의 정지 문제⁠(halting problem)⁠가 나옵니다. 이 정리들이 서로 비슷해 보인 데는 이유가 있었던 것입니다(자기 참조⁠(self-reference)⁠, 고정점).

같은 해 「기초론의 수반성」은 논리의 한정기호가 수반 함자⁠(adjoint functor)⁠라는 것을 보였습니다. 학생들을 반에 배정하는 함수 $f$를 생각합시다. 반들의 모임 $B$를 학생들의 모임 $f^{-1}(B)$로 끌어오는 일이 있고, 거꾸로 합격한 학생들의 모임 $A$에서 '합격자가 한 명이라도 있는 반들' $\exists_f A$와 '모두 합격한 반들' $\forall_f A$(학생이 없는 반도 여기 듭니다)를 만드는 일이 있습니다. 그러면 $\exists_f A \subseteq B$는 $A \subseteq f^{-1}(B)$와 동치이고, $f^{-1}(B) \subseteq A$는 $B \subseteq \forall_f A$와 동치입니다. '어떤'은 끌어오기의 왼쪽 수반, '모든'은 오른쪽 수반입니다. 한정기호를 넣고 빼는 추론 규칙들이 이 두 동치에서 따라 나옵니다.

1969–70년 그는 마일스 티어니와 함께 그로텐디크의 토포스⁠(topos)⁠를 몇 개의 간단한 공리로 추상한 '기본 토포스'를 세웠습니다. 기본 토포스는 집합의 범주처럼 행동하는 범주인데, 그 안의 논리는 일반적으로 직관주의 논리⁠(intuitionistic logic)⁠입니다. 배중률⁠(law of excluded middle)⁠이 성립하는 토포스도 있지만, 모든 토포스에서 성립하지는 않습니다. 집합의 범주는 수많은 토포스 가운데 하나일 뿐이고, 토포스마다 그 나름의 수학이 성립합니다. 1973년 논문은 전혀 다른 곳에서 같은 눈을 보여 줍니다. 점 사이의 거리 $d(x, y)$를 두 대상 사이의 '사상의 모임'으로 보면, 거리의 삼각 부등식⁠(triangle inequality)⁠ $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$는 사상의 합성 규칙이고 $d(x, x) = 0$은 항등 사상입니다. 거리 공간⁠(metric space)⁠은 수의 순서로 '풍부해진' 범주, 곧 풍부화된 범주⁠(enriched category)⁠인 셈입니다(이 관점에서는 대칭성 $d(x, y) = d(y, x)$와 '거리가 0이면 같은 점'이라는 조건이 쓰이지 않습니다. 두 조건을 빼면 오히려 자연스러운 일반화가 됩니다).

그는 1974년부터 2000년까지 뉴욕 주립 대학 버펄로에서 가르쳤습니다. 1967년부터 발전시킨 합성 미분⁠(differentiation)⁠ 기하학은 제곱하면 0이 되는 무한소⁠(infinitesimal)⁠를 실제 대상으로 두는 토포스에서 미적분⁠(calculus)⁠과 물리학을 적는 시도로, 연속체 역학에서 시작한 그의 관심이 돌아온 곳이었습니다. 스티븐 섀뉴얼과 함께 쓴 『개념적 수학』(1997)은 고등학생도 읽을 수 있게 범주론을 처음부터 가르치는 드문 책입니다. 그는 2023년 세상을 떠났습니다.

이어지는 곳. 대각선 논법을 묶은 고정점 정리의 무대는 데카르트 닫힌 범주이고, 그 사례들은 대각선 논법, 러셀의 역설, 불완전성 정리, 정지 문제에서 각각 볼 수 있습니다. 한정기호를 수반으로 보는 관점은 수반 함자에서, 원소 대신 사상으로 말하는 방식은 보편 성질과 요네다 보조정리⁠(Yoneda lemma)⁠에서 이어집니다. 토포스 안의 논리는 직관주의 논리에, 거리를 사상으로 보는 눈은 거리와 유클리드 거리⁠(Euclidean distance)⁠에 있습니다. 그의 스승은 에일렌베르크, 토포스의 원래 주인은 그로텐디크입니다.

관계.

• 스승 새뮤얼 에일렌베르크 — 1963년 컬럼비아 대학에서 에일렌베르크의 지도로, 대수 이론 자체를 범주로 보고 그 모형을 함자로 보는 박사 논문을 썼습니다.
• 영향을 받음 게오르크 칸토어 — 칸토어의 대각선 논법을 데카르트 닫힌 범주의 고정점 정리로 일반화해, 칸토어 정리가 '부정에는 고정점이 없다'는 사실의 결과임을 보였습니다.
• 영향을 받음 쿠르트 괴델 — 같은 고정점 정리에서 괴델의 불완전성 증명에 쓰인 대각선 보조정리와 타르스키의 진리 정의 불가능성이 함께 따라 나온다는 것을 보였습니다.
• 영향을 받음 알렉산더 그로텐디크 — 그로텐디크가 기하학을 위해 만든 토포스를, 티어니와 함께 몇 개의 공리로 추상해 집합론을 대신할 수 있는 논리의 우주로 만들었습니다.
• 영향을 줌 손더스 매클레인 — 매클레인과 뫼르데이크의 『기하⁠(geometry)⁠와 논리의 층』(1992)은 로베어와 티어니의 기본 토포스 이론을 기하와 논리가 만나는 곳으로 소개한 교과서입니다.

연표.

• 1955년 인디애나 대학에 들어가 트루스델에게 연속체 역학을 배우다
• 1960년 컬럼비아 대학으로 옮겨 에일렌베르크에게 배우다
• 1963년 박사 논문 「대수적 이론의 함자 의미론」을 내다
• 1964년 집합론을 사상의 공리로 쓴 「집합 범주의 기본 이론」을 발표하다
• 1967년 시카고 강연에서 합성 미분 기하학의 생각을 내놓다
• 1969년 「대각선 논법과 데카르트 닫힌 범주」와 「기초론의 수반성」을 발표하다
• 1970년 티어니와 함께 세운 기본 토포스의 이론을 세계 수학자 대회에서 발표하다
• 1973년 거리 공간을 풍부화 범주로 보는 논문을 내다
• 1974년 뉴욕 주립 대학 버펄로의 교수가 되다(2000년까지)
• 1997년 섀뉴얼과 입문서 『개념적 수학』을 펴내다