조반니 지롤라모 사케리(Giovanni Girolamo Saccheri)
평행선 공준(parallel postulate)을 증명하려고 그 반대 가정에서 모순을 찾다가, 모순 대신 쌍곡기하(hyperbolic geometry)의 정리들을 수십 개 끌어낸 이탈리아의 예수회 수학자이자 논리학자.
조반니 지롤라모 사케리는 1667년 제노바 공화국의 산레모에서 태어나 열여덟 살에 예수회에 들어갔습니다. 예수회는 유럽 곳곳에 학교를 세우고 수학과 천문학을 가르친 수도회였고, 사케리도 밀라노의 브레라 학원에서 기하학자 톰마소 체바에게 수학을 배웠습니다. 그는 토리노를 거쳐 1697년부터 죽을 때까지 파비아 대학에서 가르쳤습니다.
나이
그의 첫 책은 수학책이 아니라 논리학책 『논증의 논리학』(1697)이었습니다. 이 책에서 그는 '어떤 명제를 부정했더니 그 명제 자체가 따라 나온다면 그 명제는 참'이라는 오래된 논법을 즐겨 썼습니다. 이 논리적 습관이 뒤의 평행선 연구를 이끌었습니다. 평행선 공준을 부정하고 계산해 나가다 보면 결국 공준(postulate)이 다시 튀어나오리라는 기대였습니다.
그가 죽은 해인 1733년 밀라노에서 나온 『모든 흠에서 벗어난 유클리드』는 오마르 하이얌과 나시르 알딘 알투시의 전통에서 온 사각형, 곧 밑변 양 끝에 같은 길이의 수선(perpendicular)을 세운 사각형에서 출발합니다(알투시 학파의 증명은 옥스퍼드의 월리스가 1663년 라틴어로 소개한 것을 통해 알려졌습니다). 윗변의 두 각이 직각이냐, 둔각이냐, 예각이냐에 따라 세 가설을 세우고, 둔각 가설에서는 모순을 얻었습니다. 예각 가설에서는 수십 개의 정리를 이끌어 냈지만 모순이 나오지 않았고, 결국 두 직선이 무한히 먼 곳에서 공통 수선을 가진다는 결론이 "직선의 본성에 어긋난다"고 선언하며 책을 맺었습니다. 그것은 논리적 모순이 아니라 직관에 어긋남이었습니다.
돌아보면 예각 가설에서 그가 얻은 정리들은 그대로 쌍곡기하의 정리입니다. 세 가설 가운데 하나가 한 사각형에서 성립하면 모든 사각형에서 성립한다는 것, 그래서 삼각형 세 내각의 합도 모든 삼각형에서 한꺼번에 180°이거나, 한꺼번에 180°보다 작거나(또는 크거나) 할 뿐 섞이지 않는다는 것도 그의 결과입니다. 책은 곧 잊혔지만 괴팅겐의 클뤼겔이 1763년 학위 논문에서 검토했고, 그 논문을 람베르트가 읽었습니다. 1889년 이탈리아의 벨트라미가 이 책을 다시 찾아내 비유클리드 기하(non-Euclidean geometry)의 선구로 알린 뒤에야 사케리의 이름이 널리 알려졌습니다.
사케리의 이야기는 틀린 결론을 향한 치밀한 계산이 어떻게 새 이론의 재료가 되는지 보여 줍니다. 그는 모순을 찾으려고 한 세계의 성질을 정직하게 끝까지 따라갔고, 그 세계가 모순 없이 존재한다는 것은 한 세기 반 가까이 지나 모형으로 증명되었습니다.
이어지는 곳. 세 가설과 그 뒤의 이야기는 평행선 공준과 쌍곡기하에서, 같은 문제를 푼 사람들은 로바쳅스키와 야노시 보여이의 페이지에서 볼 수 있습니다. 긴 글 「평행선의 반란」 3절이 그의 사각형을 직접 다룹니다.
관계.
- 영향을 받음 유클리드 — 『원론』 1권의 다섯 번째 공준을 나머지 공준에서 증명해 유클리드를 '모든 흠에서' 벗어나게 하려는 것이 평생의 목표였습니다.
연표.
- 1667년 제노바 공화국의 산레모에서 태어나다
- 1685년 예수회에 들어가다
- 1690년 이 무렵 밀라노 브레라 학원에서 수학자 톰마소 체바에게 배우다
- 1697년 『논증의 논리학』을 내고, 파비아 대학으로 옮기다
- 1733년 『모든 흠에서 벗어난 유클리드』를 밀라노에서 내고, 그해 세상을 떠나다
- 1889년 벨트라미가 잊혀 있던 그의 책을 비유클리드 기하의 선구로 다시 알리다