연속성(Continuity)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 극한

  … 기울기의 극한이고, 정적분은 막대 개수를 무한히 늘린 리만 합의 극한입니다. 극한이 있어야연속성도 정의할 수 있습니다. 한 점에서 극한값과 함숫값이 같으면 그 점에서 연속입니다. 끝없는 합도 극한으로 …

• 평균변화율

  … 평균 높이라는 관찰에서 시작합니다. 구간의 끝점을 조금씩 옮길 때 평균변화율도 조금씩만 변하려면 함수가연속이어야 합니다. 함수가 한 점에서 뚝 끊겨 도약하면, 끝점이 그 점을 넘는 순간 할선의 기울기도 갑자기 …

• 미분계수

  … 계속 오릅니다). 접선을 따라 건너뛰며 방정식의 근을 찾는 것이 뉴턴 방법입니다. 미분할 수 있으면연속이지만 그 반대는 아닙니다. |x| 는 x = 0 에서 끊기지 않지만 꺾여 있어 미분할 수 없습니다.

• 미적분의 기본정리

  … 됩니다. 마지막 걸음에는 조건이 하나 숨어 있습니다. 띠의 평균 높이가 f(x) 로 다가가려면 f가 x에서연속이어야 합니다. f가 x에서 뚝 끊겨 도약하면, 띠의 높이는 왼쪽에서는 아래 값, 오른쪽에서는 위 값에 …

• 중간값 정리

  연속인 곡선이 x축 아래에서 위로 가려면 어딘가에서 x축을 지나야 합니다. 당연해 보이지만 수직선의 수가 …

• 깁스 현상

  … 버리지만, 그때마다 봉우리 높이는 여전히 약 1.179입니다. 사실 피할 수 없는 일입니다. 부분합은 모두연속함수이고, 연속함수들이 모든 곳에서 한꺼번에 가까워지는 극한은 연속이어야 하므로 절벽을 그렇게 따라갈 수는 …

• 연속체 가설

  … 전체는 2^{\aleph_0} 칸에 있습니다(평면도 직선과 크기가 같습니다). 실수에서 실수로 가는연속함수는 유리수에서의 값만으로 정해지므로 그 전체도 2^{\aleph_0} 입니다. 실수에서 실수로 가는 …

• 칸토어 함수

  … \cdot 2^{-d} 를 넘지 않습니다. 그래서 연속인 계단들의 극한인 F 도 연속입니다. F 는연속이고 줄어들지 않으며 0에서 1까지 오릅니다. 그런데 칸토어 집합 밖의 모든 점, 곧 지워진 구간 위에서는 …

• 거리 함수

  … 수열 x_n 이 x에 다가간다는 극한은 d(x_n, x) \to 0 으로 정의됩니다. 함수 f가 a에서연속이라는 것도 같은 방식으로 정의됩니다. 원하는 오차 ε를 아무리 작게 정해도, x를 a에 충분히 가까이( …

• 고정점

  … = f(x_n) 이 어떤 수로 다가간다면 그 수는 반드시 고정점입니다. 수열이 x^* 로 수렴하고 f가연속이면, 식의 양쪽에서 극한을 취해 x^* = f(x^*) 를 얻기 때문입니다. 되풀이를 눈으로 보는 …

• 점별 수렴과 균등 수렴

  … 0으로 내려가는 것입니다. 균등 수렴의 극한은 연속이다. 연속함수 f_n 이 f로 균등 수렴하면 f도연속입니다. 까닭은 세 토막으로 나눈 거리 재기에 있습니다(흔히 ε/3 논법이라 부릅니다). 점 a 근처의 …

• 위상수학

  … 이라 합니다. 정확히는 두 도형 사이에 점을 하나씩 짝짓는 전단사 f가 있고, f와 그 역함수가 모두연속이라는 뜻입니다. 찢으면 f가 끊기고, 붙이면 역함수가 끊깁니다. 원과 정사각형과 삼각형의 둘레는 모두 …

• 기울기 벡터와 야코비 행렬

  … 원점에서 두 편미분이 모두 0이지만, 직선 y = x를 따라 원점에 다가가면 값이 늘 1/2이어서 원점에서연속조차 아닙니다. 위의 식들이 성립하려면 f가 그 점에서 미분 가능해야 합니다. 곧 어떤 일차식 \vec …

• 영역 이론: 스콧과 재귀의 의미

  … 늘인 것입니다. 스콧 연속의 식 F(\bigsqcup_n x_n) = \bigsqcup_n F(x_n) 은연속함수가 수열의 극한을 보존하는 것, f(\lim x_n) = \lim f(x_n) 과 같은 모양입니다. …

• 층: 국소에서 전체로

  … 동등자라는 뜻입니다. 무엇이 층이고 무엇이 아닌지가 이 정의의 요점을 보여 줍니다. 연속 함수는 층입니다.연속은 점마다 그 근처만 보고 판정하는 성질이라, 조각마다 연속이고 겹치는 곳에서 맞는 함수들을 이어 붙이면 …

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