삼각함수의 덧셈정리(Angle addition formulas)

덧셈정리는 외울 공식이 아닙니다. 점 $(1, 0)$을 먼저 $\alpha =$ 만큼, 이어서 $\beta =$ 만큼 돌려 봅시다. 두 번 돌린 결과는 한 번에 $\alpha+\beta$만큼 돌린 것과 같은 점입니다.

기준 벡터 $\hat\imath = (1, 0)$, $\hat\jmath = (0, 1)$를 생각합시다. 두 번째 회전 $R_\beta$는 선형변환⁠(linear transformation)⁠이라 초록 화살표 $(\cos\alpha, \sin\alpha)$를 "$\cos\alpha$만큼의 $R_\beta\hat\imath$"와 "$\sin\alpha$만큼의 $R_\beta\hat\jmath$"로 쪼개 옮깁니다. 그 합을 성분으로 적으면 그대로 덧셈정리입니다. 행렬⁠(matrix)⁠로 쓰면 회전 행렬⁠(rotation matrix)⁠ 두 개의 곱입니다.

복소수 곱셈⁠(complex multiplication)⁠으로 보면 더 짧습니다. $e^{i\alpha}e^{i\beta} = e^{i(\alpha+\beta)}$의 양변을 오일러 공식⁠(Euler's formula)⁠으로 펼쳐 실수부⁠(real part)⁠와 허수부⁠(imaginary part)⁠를 비교하면 끝입니다. 두 덧셈정리는 "크기 1인 복소수⁠(complex number)⁠를 곱하면 각도가 더해진다"는 한 사실의 실수부와 허수부입니다.

덧셈정리는 여러 곳에서 쓰입니다. 진동수⁠(frequency)⁠가 같은 두 사인파⁠(sinusoid)⁠를 더하면 진폭⁠(amplitude)⁠과 위상(출발 각도)만 다른 사인파 하나가 되는 것도 이 공식 덕분입니다. 진동수가 조금 다른 두 소리를 겹치면 소리가 천천히 커졌다 작아졌다 하는 맥놀이⁠(beat)⁠가 들립니다. 덧셈정리로 두 사인파의 합을 곱으로 바꾸면 $\sin a + \sin b = 2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$이고, 느리게 변하는 뒤쪽 코사인⁠(cosine)⁠이 소리의 크기를 천천히 오르내리게 합니다. 사인과 코사인⁠(sine and cosine)⁠의 미분⁠(differentiation)⁠ 공식도 여기서 나옵니다. sin(x + h)를 덧셈정리로 펼친 뒤 h를 0으로 보내면 됩니다. 이때 각을 라디안⁠(radian)⁠으로 재면 $\sin h / h \to 1$이라는 사실이 함께 쓰입니다.

삼각형의 세 변과 한 각을 잇는 코사인 법칙⁠(law of cosines)⁠도 같은 재료로 만들어집니다. 꼭짓점⁠(vertex)⁠ C를 원점에, 변 a를 x축 위에 두면 나머지 꼭짓점의 좌표가 (b cos C, b sin C)이고, 두 점 사이의 거리 공식과 피타고라스 항등식⁠(Pythagorean identity)⁠만으로 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$가 나옵니다.

덧셈정리의 원형은 2세기 알렉산드리아의 프톨레마이오스가 천문 계산에 쓸 현의 길이 표를 만들며 쓴 규칙입니다. 두 각의 현을 알면 두 각을 더한 각의 현을 구하는 규칙으로, 오늘날의 sin(α + β) 공식과 같은 내용입니다(각 θ의 현의 길이는 반지름 1인 원에서 $2\sin(\theta/2)$입니다).

덧셈정리는 오늘날 언어 모델⁠(language model)⁠ 안에서도 일합니다. 트랜스포머⁠(transformer)⁠의 사인파 위치 인코딩⁠(positional encoding)⁠에서는 위치 p + k의 벡터가 위치 p의 벡터에 회전을 곱한 것이고, 그 회전은 k에만 달려 있고 p와는 상관없습니다. 회전 위치 인코딩(RoPE)에서 쿼리⁠(query)⁠와 키의 내적⁠(dot product)⁠이 절대 위치가 아니라 두 위치의 차에만 기대는 까닭도 이 공식입니다.