레오니트 칸토로비치(Leonid Kantorovich)

레오니트 칸토로비치는 1912년 상트페테르부르크에서 의사의 아들로 태어났습니다. 다섯 살 때 혁명이 일어났고 열 살 때 아버지를 잃었습니다. 열네 살인 1926년 레닌그라드 대학에 들어가 열여덟 살에 졸업한 그는, 소련이 첫 5개년 계획(1928)을 시작한 시대에 어른이 되었습니다. 계획 경제에서는 강철과 목재와 합판을 얼마나 만들지, 어느 공장이 무엇을 만들지를 국가 계획 위원회와 각 부처가 정했습니다. 수학은 사회주의 건설의 도구로 대접받았지만, 가격과 가치를 다루는 경제학은 마르크스주의 교리에 묶여 있었습니다. 물건의 가치는 그것에 들어간 노동이 정한다는 교리였습니다. 칸토로비치는 이 세계에서, 한정된 자원을 가장 잘 쓰는 문제에는 자원마다 붙는 '가격'이 수학적으로 반드시 따라 나온다는 것을 보인 사람입니다.

나이 세 ·

그는 먼저 순수 수학자로 이름을 얻었습니다. 레닌그라드에서 그리고리 피흐텐골츠에게 배운 그는 학생 시절 모스크바 학파의 루진이 연 기술 집합론⁠(descriptive set theory)⁠의 문제로 첫 논문들을 썼고, 스물두 살에 교수가 되었으며, 1935년에는 논문 심사도 없이 이학 박사 학위를 받았습니다. 1930년대 중반부터는 함수⁠(function)⁠해석학, 곧 함수 하나하나를 무한 차원 공간의 한 점으로 보는 분야에서 순서가 있는 공간의 이론을 세웠습니다. 보통의 벡터⁠(vector)⁠는 길이로만 크기를 견주지만, 두 함수 $f$와 $g$는 모든 점에서 $f(x) \le g(x)$일 때 '$f \le g$'라고 견줄 수 있습니다. 어떤 두 함수는 어느 쪽도 크지 않으니 이것은 부분적인 순서입니다. 그는 위로 막힌 모임에는 언제나 가장 작은 윗경계가 있는 공간들을 연구했는데, 실수⁠(real number)⁠의 완비성⁠(completeness)⁠을 데데킨트가 정의한 방식을 함수의 세계로 옮긴 것이어서 오늘날 칸토로비치 공간이라 부릅니다. 이 '어느 쪽이 더 많은가'를 다루는 수학이 곧 그의 경제학에서 쓰입니다.

1938년 레닌그라드 합판 트러스트의 연구실이 대학에 자문을 청했습니다. 원목의 껍질을 얇게 벗겨 내는 기계가 여러 대 있고, 목재의 종류도 여러 가지인데, 기계마다 나무마다 생산성이 다릅니다. 여러 제품을 정해진 비율로 만들면서 전체 생산을 가장 많게 하려면 어느 기계에 어느 나무를 얼마 동안 맡겨야 할까요? 작은 예로 생각해 봅시다. 기계 A는 한 시간에 자작나무를 10단위 또는 소나무를 8단위 벗기고, 기계 B는 자작나무 4단위 또는 소나무 6단위를 벗깁니다. 두 기계가 한 시간씩 일해 두 나무를 같은 양 만들어야 합니다. 둘 다 반씩 나누면 자작나무 7, 소나무 7입니다. 그런데 B는 상대적으로 소나무에 강하니 B는 소나무만 하고, A는 시간의 2/9만 소나무에 쓰면 두 나무가 모두 70/9, 곧 약 7.78단위가 됩니다. 기계와 나무가 많아지면 이런 조합은 손으로 셀 수 없을 만큼 늘어납니다. 그는 여기서 일반적인 방법을 찾았습니다.

그의 열쇠는 제품마다 붙이는 수, 그가 '해결 승수⁠(resolving multipliers)⁠'라 부른 것이었습니다(오늘날의 말로는 쌍대 문제⁠(dual problem)⁠의 변수, 곧 라그랑주 승수⁠(Lagrange multiplier)⁠입니다). 제품마다 수 $\lambda$를 하나씩 정하고, 각 기계는 '생산성 × 승수'가 가장 큰 제품만 만들게 합니다. 위의 예에서 자작나무의 승수를 1, 소나무의 승수를 1.25로 두면, A에게는 두 나무의 값이 $10 \times 1 = 8 \times 1.25$로 같아 어느 쪽을 해도 되고, B에게는 소나무 쪽($6 \times 1.25 = 7.5$)이 자작나무 쪽(4)보다 커서 소나무만 합니다. 이 승수를 조금씩 고쳐 제품의 비율이 맞게 되는 순간이 가장 좋은 계획입니다. 승수는 결국 각 제품이 얼마나 '귀한지'를 나타내는 가격이고, 모든 기계는 그 가격으로 따졌을 때 손해 보지 않는 일만 합니다. 1939년 그는 이 방법을 합판뿐 아니라 재료를 낭비 없이 자르는 문제, 화물 수송, 농지 배분에까지 적용한 소책자 『생산의 조직과 계획의 수학적 방법』을 펴냈습니다. 목표와 제약이 모두 일차식인 이런 문제를 오늘날 선형 계획법이라 부르고, 그의 승수는 그 쌍대 문제의 해, 곧 그림자 가격입니다.

이 책은 거의 읽히지 않았습니다. 그는 방법을 국가 계획 위원회에 제안했지만 반응이 없었고, 무엇보다 '가격'이 문제였습니다. 수요와 희소성에서 가격이 나온다는 생각은 서방의 한계 효용⁠(utility)⁠ 경제학을 떠올리게 했고, 가치는 노동이 정한다는 교리와 부딪쳤습니다. 1930년대 말 대숙청의 공포가 가시지 않은 때였습니다. 그는 자기의 승수를 가격 대신 '객관적으로 정해지는 평가'라는 조심스러운 이름으로 불렀지만, 그 뒤로도 오랫동안 경제학자들로부터 수정주의라는 의심을 받았다고 전합니다.

1942년 그는 짧은 논문 「질량의 이동에 대하여」에서 수송 문제를 다루었습니다. 여러 곳에 쌓인 흙이나 물자를 여러 목적지로 옮길 때, 옮기는 비용의 합을 가장 작게 하는 방법을 찾는 문제입니다. 1781년 몽주가 흙 알갱이 하나하나를 어디로 보낼지 정하는 문제로 처음 내놓았지만, 흙을 쪼갤 수 없다고 보았기에 풀기가 매우 어려웠습니다. 칸토로비치는 한 곳의 흙을 여러 곳으로 나누어 보낼 수 있게 허락했습니다. 그러면 $i$에서 $j$로 보내는 양 $x_{ij}$에 대한 일차식의 문제가 됩니다. 그는 여기서도 짝이 되는 문제를 찾았습니다. 한 운송 회사가 출발지 $i$에서 짐을 받을 때 $u_i$, 도착지 $j$에서 내줄 때 $v_j$를 받는데, 어느 경로에서든 그 합이 직접 옮기는 비용 $c_{ij}$를 넘지 않게 값을 매긴다고 합시다. 출발지에서 내보낼 양 $a_i$와 도착지가 받을 양 $b_j$의 합계가 같을 때, 회사가 받을 수 있는 가장 큰 수입이 옮기는 데 드는 가장 작은 비용과 정확히 같다는 것이 위의 식입니다. 수입이 비용을 넘을 수 없다는 쪽은 쉽고(경로마다 요금이 비용 이하이니까), 둘이 실제로 같아진다는 것이 정리의 알맹이입니다. 뒤에 그가 몽주의 문제와의 관계를 밝히면서 이 문제는 몽주–칸토로비치 문제라 불리게 되었고, 여기서 두 분포 사이의 거리가 나왔습니다(최적 수송).

그해 레닌그라드는 독일군에게 포위되어 굶주리고 있었습니다. 칸토로비치는 군사 공병 학교에서 가르쳤는데, 도시의 유일한 보급로였던 얼어붙은 라도가 호수 위의 '생명의 길'에서 얼음의 두께와 기온에 따라 트럭이 얼마나 짐을 싣고 얼마나 간격을 두어야 하는지를 계산했다고 전합니다. 같은 해 그는 경제 전체의 자원 배분을 다룬 책의 원고를 써서 1943년 계획 당국에 냈지만, 이 원고는 17년 동안 서랍 속에 있었습니다. 전쟁 뒤 그는 수학을 계산으로 이어 가는 일에 힘썼습니다. 1948년 논문 「함수해석학과 응용 수학」에서는 근사 계산을 함수해석학의 언어로 다루자고 했고, 여기서 뉴턴–칸토로비치 정리⁠(Newton–Kantorovich theorem)⁠가 나왔습니다. 방정식의 근을 찾는 뉴턴 방법⁠(Newton's method)⁠은 곡선을 접선⁠(tangent line)⁠으로 바꾸어 한 걸음씩 다가가는 선형화⁠(linearization)⁠의 방법인데, 이 정리는 출발점에서 잰 몇 가지 양만으로 이 걸음들이 반드시 근으로 모인다는 것을 무한 차원의 방정식에까지 보장합니다.

스탈린이 죽고 해빙이 오자 그의 생각은 빛을 보았습니다. 1959년 17년 묵은 원고가 『경제 자원의 최선의 이용』으로 출판되었고, 1960년 그는 시베리아의 노보시비르스크에 새로 지은 과학 도시로 옮겨 수리 경제학 연구를 이끌었습니다. 1964년 과학 아카데미 정회원이 되었고, 1965년 경제학자 바실리 넴치노프, 빅토르 노보질로프와 함께 레닌상을 받았습니다. 서방에서는 1960년 그의 1939년 소책자가 영어로 번역되어 실리면서, 미국의 조지 댄치그가 1947년 따로 세운 선형 계획법보다 8년 앞선 것이 알려졌습니다. 1975년 그는 전시 미국에서 수송 문제를 연구한 네덜란드 태생의 경제학자 티알링 쿠프만스와 함께 '자원의 최적 배분 이론에 대한 기여'로 노벨 경제학상을 받았습니다. 계획 경제의 소련에서 나온 유일한 경제학상 수상자였고, 쿠프만스는 선형 계획법의 또 다른 창시자 댄치그가 빠진 것을 안타까워했다고 전합니다. 그는 1971년부터 모스크바에서 일하다가 1986년 세상을 떠났습니다.

그의 꿈, 곧 수학으로 계획 경제 전체를 가장 좋게 운영한다는 꿈은 이루어지지 않았습니다. 소련의 계획 당국은 그의 방법을 부분적으로만 받아들였고, 경제 전체의 수많은 변수와 부정확한 자료, 정치적 결정이 수학을 압도했습니다. 그러나 그가 세운 생각들은 서방과 동방 어디서나 살아남았습니다. 선형 계획법은 항공사의 승무원 배치부터 정유 공장의 배합까지 기업의 일상이 되었고(최적화⁠, optimization⁠), 최적 수송은 1980년대 말 이후 수학의 중심 무대로 돌아왔습니다. 2010년 필즈상⁠(Fields Medal)⁠을 받은 세드리크 빌라니의 업적도 이 이론 위에 있습니다. 두 분포 사이의 칸토로비치 거리(오늘날 흔히 바서슈타인 거리라 부릅니다)는 이미지 검색, 통계⁠(statistics)⁠, 그리고 그림을 만들어 내는 기계 학습⁠(machine learning)⁠ 모형의 학습에 쓰입니다(가장 좋은 것 고르기).

이어지는 곳. 합판 공장의 문제는 선형 계획법에서, 흙 옮기기의 문제는 최적 수송에서 이어집니다. 승수가 가격이 되는 이야기는 쌍대성⁠(duality)⁠과 가장 좋은 것 고르기에, 같은 문제를 미국에서 따로 푼 사람은 조지 댄치그입니다. 뉴턴–칸토로비치 정리는 뉴턴 방법과 선형화에서, 그가 수학자로 출발한 분야는 기술 집합론에서 이어집니다.

관계.

• 영향을 받음 가스파르 몽주 — 1942년의 수송 문제를 풀고 나서, 1948년 논문에서 그것이 몽주의 1781년 흙 옮기기 문제를 흙을 쪼갤 수 있게 넓힌 것임을 밝혔습니다.
• 영향을 받음 니콜라이 루진 — 학생 시절 첫 논문들에서 루진이 연 기술 집합론의 사영 집합⁠(projective set)⁠ 문제를 다루며 수학자로 출발했습니다.
• 영향을 받음 아이작 뉴턴 — 뉴턴의 근 찾기 방법을 함수 공간으로 넓혀, 출발점의 정보만으로 수렴⁠(convergence)⁠을 보장하는 뉴턴–칸토로비치 정리(1948)를 세웠습니다.

연표.

• 1926년 열네 살에 레닌그라드 대학에 들어가다
• 1930년 대학을 마치고 가르치기 시작하다
• 1935년 논문 심사 없이 이학 박사가 되고 순서가 있는 함수 공간의 이론을 시작하다
• 1938년 합판 트러스트의 기계 배정 문제를 자문받다
• 1939년 『생산의 조직과 계획의 수학적 방법』을 펴내다
• 1942년 「질량의 이동에 대하여」에서 수송 문제를 풀고 자원의 최적 이용에 관한 책의 원고를 쓰다
• 1948년 무한 차원에서 뉴턴 방법의 수렴을 보장하는 정리를 발표하다
• 1959년 17년 묵은 원고 『경제 자원의 최선의 이용』이 출판되다
• 1960년 노보시비르스크의 과학 도시로 옮기다
• 1965년 레닌상을 받다
• 1975년 쿠프만스와 함께 노벨 경제학상을 받다