군

정사각형 모양의 구멍에 정사각형 판이 끼워져 있습니다. 판을 들어 올려 어떻게 돌리거나 뒤집어야 다시 구멍에 꼭 맞을까요? 반시계 방향으로 0°, 90°, 180°, 270° 돌리는 네 가지와, 세로축·가로축·두 대각선을 축으로 뒤집는 네 가지, 모두 여덟 가지입니다. 도형을 제자리에 다시 겹치게 하는 이런 동작을 도형의 대칭이라 합니다. 대칭 두 개를 잇달아 하면 다시 대칭이 됩니다. 버튼으로 동작을 쌓아 보세요. r: 90° 돌리기 v: 세로축으로 뒤집기 한 번에 되돌리기 처음으로

r과 v를 어떻게 섞어 누르든 결과는 여덟 가지 가운데 하나입니다. 이 여덟 동작과 '잇달아 하기'라는 연산이 이루는 것을 군이라 부르고, 이 군을 정사각형의 이면체군⁠(dihedral group)⁠ D₄라 합니다. 군이 되려면 다음 네 가지가 필요합니다.

• 닫혀 있다. 두 원소를 연산한 결과가 다시 원소다. 대칭 다음 대칭은 대칭입니다.
• 결합법칙. (a 다음 b) 다음 c와 a 다음 (b 다음 c)가 같다. 동작을 차례로 하는 일이니 어디서 끊어 읽든 결과가 같습니다.
• 항등원. 무엇과 연산해도 그대로 두는 원소 e가 있다. 아무것도 안 하기(0° 회전⁠(rotation)⁠)입니다.
• 역원. 모든 원소 a에는, a 다음에 하면 e가 되는 원소 a⁻¹이 있다. 90° 돌리기의 역원은 270° 돌리기이고, 뒤집기의 역원은 같은 뒤집기입니다. '한 번에 되돌리기'는 지금 모양의 역원을 한 동작으로 적용합니다.

요구하지 않는 것도 있습니다. 순서를 바꿔도 결과가 같다는 교환법칙⁠(commutative law)⁠은 조건이 아닙니다. 처음 모양에서 r 다음 v를 한 결과와, v 다음 r을 한 결과를 견줘 보세요. 하나는 ↗ 대각선을 축으로 한 뒤집기, 다른 하나는 ↘ 대각선을 축으로 한 뒤집기입니다. 교환법칙까지 성립하는 군은 아벨의 이름을 따 아벨 군⁠(abelian group)⁠이라 합니다.

군은 도형 밖에도 많습니다. 정수⁠(integer)⁠와 덧셈은 군입니다(항등원 0, a의 역원 −a). 0이 아닌 유리수⁠(rational number)⁠와 곱셈도 군입니다(항등원 1, 역원 1/a). 자연수⁠(natural number)⁠와 덧셈은 군이 아닙니다. 3의 역원이 될 −3이 자연수에 없으니까요. 이렇게 역원만 빠지고 결합법칙과 항등원은 갖춘 구조를 모노이드⁠(monoid)⁠라 합니다. 정수와 곱셈도 군이 아닙니다. 2의 역원 ½이 없습니다. 수 체계⁠(number system)⁠를 넓혀 온 역사는 역원이 있게 하려는 역사이기도 합니다. 시계도 군입니다. 9시에서 5시간 뒤는 2시이니, 12시간 시계에서는 9 + 5 = 2입니다. 0부터 11까지의 수와 '더한 뒤 12로 나눈 나머지⁠(remainder)⁠'라는 연산(모듈러 연산⁠(modular arithmetic)⁠)이 이루는 이 군을 ℤ₁₂라 씁니다. 1부터 6까지의 수와 '곱한 뒤 7로 나눈 나머지'도 군입니다. 카드 n장을 섞는 n!가지 방법(순열⁠, permutation⁠)도 '잇달아 섞기'로 군을 이룹니다. 루빅 큐브를 돌리는 동작들도 '잇달아 돌리기'로 군을 이루고, 그 결과로 나올 수 있는 배치는 약 4.3 × 10¹⁹가지입니다.

원소가 유한한 군은 연산표 하나에 모두 담깁니다. 1854년 영국의 아서 케일리가 군을 처음으로 이렇게 추상적으로 정의하면서 쓴 표입니다. 군: . 칸을 눌러 고르면, 그 칸의 행 원소 a와 열 원소 b로 'a 다음 b'를 계산합니다. 칸에 마우스를 올리기만 해도 그 칸의 계산이 보입니다.

표를 보면 공리⁠(axiom)⁠가 모양으로 드러납니다. 역원이 있으니 'a 다음 x = c'를 만족하는 x는 언제나 딱 하나(x = a⁻¹ 다음 c)이고, 그래서 각 행과 각 열에 모든 원소가 정확히 한 번씩 나타납니다. 표가 라틴 방진⁠(Latin square)⁠이 되는 것입니다. ℤ₁₂와 곱셈 군의 표는 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는 대각선을 기준으로 대칭이지만(교환법칙), 정사각형의 대칭 표는 그렇지 않습니다.

군 안의 일부가 그 자체로 군을 이루면 부분군⁠(subgroup)⁠이라 합니다. 네 회전 {e, r, r², r³}은 D₄의 부분군이고, r 하나를 거듭해서 모두 얻어지니 순환군⁠(cyclic group)⁠이라 합니다. 라그랑주의 이름이 붙은 정리에 따르면, 유한군⁠(finite group)⁠에서 부분군의 원소 개수는 언제나 전체 원소 개수의 약수입니다. 원소가 여덟 개인 군에는 원소가 셋인 부분군이 없습니다. 이 정리를 1, 2, …, p − 1과 'p로 나눈 나머지의 곱셈'(p는 소수⁠(prime number)⁠)에 적용하면, p의 배수⁠(multiple)⁠가 아닌 모든 a에 대해 페르마의 소정리⁠(Fermat's little theorem)⁠ $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$가 곧바로 나옵니다. a, a², a³, …은 k번째에서 처음으로 1이 되고, 이 k개가 부분군을 이룹니다. 그러니 k는 p − 1의 약수⁠(divisor)⁠이고, $a^{p-1}$은 $a^k = 1$을 (p − 1)/k번 곱한 것이어서 1입니다. RSA 암호⁠(RSA cryptosystem)⁠는 이 정리를 두 소수의 곱으로 넓힌 오일러의 정리 위에서 작동합니다.

군이라는 생각은 방정식에서 나왔습니다. 2차방정식에는 근의 공식⁠(quadratic formula)⁠이 있고 16세기에 3차와 4차의 공식도 찾았지만, 5차에서는 300년 가까이 막혔습니다(다항식⁠(polynomial)⁠). 1770년 무렵 라그랑주는 공식이 있고 없고가 근들을 서로 바꾸는 순열과 관계있다는 것을 알아챘고, 1824년 아벨은 일반적인 5차방정식에는 거듭제곱근으로 된 근의 공식이 없음을 증명했습니다. 프랑스의 에바리스트 갈루아는 한 걸음 더 나아가, 방정식마다 그 근들에 대한 '허락된 바꿈'의 모임을 두고, 그 모임의 구조가 풀이 가능성을 정한다는 것을 보였습니다.

허락된 바꿈이란 근들 사이에 성립하는, 유리수 계수로 적을 수 있는 관계를 모두 지키는 바꿈입니다. x² − 2 = 0의 두 근 √2와 −√2는 서로 바꿔도 됩니다. '두 근의 합은 0', '두 근의 곱은 −2' 같은 관계가 바꾼 뒤에도 그대로이기 때문입니다. (x² − 2)(x² − 3) = 0의 네 근 ±√2, ±√3에서는, √2와 −√2를 맞바꾸는 것과 √3과 −√3을 맞바꾸는 것은 허락되지만 √2를 √3으로 보내는 것은 안 됩니다. '이 근의 제곱은 2다'라는 관계가 깨지기 때문입니다. 그래서 네 근을 바꾸는 24가지 방법 가운데 4가지만 허락되고, 이 넷이 군을 이룹니다. 갈루아는 이 군이 작은 조각으로 차례차례 쪼개지는 모양(오늘날 '가해군⁠(solvable group)⁠'이라 부릅니다)이면 방정식이 거듭제곱근으로 풀리고, 그렇지 않으면 풀리지 않음을 보였습니다. 일반적인 5차방정식의 군은 근 다섯 개의 순열 120가지 전부이고, 이 군은 그렇게 쪼개지지 않습니다.

갈루아는 파리 과학 아카데미에 논문을 여러 번 냈지만 받아들여지지 않았고(1831년의 원고는 푸아송이 이해할 수 없다며 돌려보냈습니다), 1832년 5월 결투에서 입은 상처로 스무 살에 죽었습니다. 그의 글은 1846년 조제프 리우빌이 출판하고 나서야 알려졌습니다. '군'(groupe)이라는 말도 갈루아가 쓴 것입니다.

군은 곧 방정식을 넘어섰습니다. 1872년 펠릭스 클라인은 에를랑겐 목록에서, 기하학이란 어떤 변환들의 군이 바꾸지 않는 성질을 연구하는 것이라고 정리했습니다. 유클리드 기하⁠(geometry)⁠는 옮기기·돌리기·뒤집기가 지키는 길이와 각을, 사영기하⁠(projective geometry)⁠는 원근 변환이 지키는 성질을 다룹니다. 평면을 되풀이해 채우는 무늬의 대칭은 군으로 분류되어 정확히 17가지임이 알려졌습니다(1891년 러시아의 결정학자 예브그라프 페도로프). 1918년 에미 뇌터는 작용(라그랑지안⁠, Lagrangian⁠)으로 적히는 물리 법칙에서, 법칙이 시간을 옮겨도 변하지 않으면 에너지가, 공간을 옮겨도 변하지 않으면 운동량⁠(momentum)⁠이 보존된다는 정리를 증명해 연속적인 대칭과 보존 법칙을 이었습니다.

이어지는 곳. 평면의 회전을 모은 군은 회전 행렬⁠(rotation matrix)⁠로, 원 위를 도는 군은 1의 거듭제곱근⁠(roots of unity)⁠과 복소수 곱셈⁠(complex multiplication)⁠으로 볼 수 있고, 3차원 회전은 사원수⁠(quaternion)⁠의 곱셈으로 다룰 수 있습니다. 'p로 나눈 나머지의 곱셈' 군이 순환군이라는 사실이 원시근⁠(primitive root)⁠이고, 그 위에서 디피–헬먼 키 교환⁠(Diffie–Hellman key exchange)⁠이 이루어집니다. 이런 군을 쓰는 수의 이론 전체는 정수론⁠(number theory)⁠에 있습니다. 군을 공리로 정의하는 방식은 공리와 공준⁠(axioms and postulates)⁠에서, 같은 것끼리 묶어 새 대상을 만드는 방법은 동치관계⁠(equivalence relation)⁠에서, 대칭이 수학 전체에서 하는 일은 대칭과 불변량⁠(invariant)⁠에서 이어집니다. 군 하나는 대상이 하나뿐이고 모든 화살표를 되돌릴 수 있는 범주⁠(category)⁠로 볼 수 있어서, 군론⁠(group theory)⁠의 많은 개념이 범주론⁠(category theory)⁠에서 일반화됩니다. 갈루아의 대응은 두 함수⁠(function)⁠로 적힙니다. 하나는 중간 크기의 체를 그 체의 수를 모두 고정하는 허락된 바꿈들의 부분군으로 보내고, 다른 하나는 부분군을 그 부분군이 고정하는 수들로 보냅니다. 체가 클수록 고정하는 바꿈은 적으니 두 함수는 포함 관계를 뒤집고, 이런 짝을 갈루아 연결⁠(Galois connection)⁠이라 합니다. 근을 모두 담는 유한 갈루아 확대⁠(Galois extension)⁠에서는 두 함수가 서로를 되돌리는 일대일 대응⁠(one-to-one correspondence)⁠이 됩니다.