사인과 코사인(Sine and cosine)
원 위를 도는 점의 두 그림자. 서로가 서로의 도함수(derivative function)이다(부호까지 포함하면 네 번에 한 바퀴).
단위원(unit circle) 위를 속력 1로 도는 점을 떠올려 봅시다. 시각(=각도)
점의 속도(velocity)는 반지름에 수직이고 크기가 1입니다. 각을 라디안(radian), 곧 호의 길이로 쟀기 때문입니다(도 단위로 재면 미분(differentiation) 공식마다
"미분하면 90° 회전(rotation)"이라는 말은 i를 곱하면 90° 회전과 같은 이야기이고, 둘을 합친 것이 오일러 공식(Euler's formula)
sin과 cos을 늘이고 밀면 온갖 사인파(sinusoid)가 되고, 그 사인파들을 더하면 웬만한 주기 함수(예컨대 조각마다 매끄러운 함수(function))를 원하는 만큼 가깝게 흉내 낼 수 있습니다. 어떤 뜻에서 가까워지는지는 푸리에 급수(Fourier series) 문서에서 다룹니다. 두 그림자의 제곱을 더하면 1이라는 피타고라스 항등식(Pythagorean identity)과, 각을 더할 때의 공식인 덧셈정리(addition formula)도 이 원에서 나옵니다.
사인(sine)을 코사인(cosine)으로 나눈 것이 탄젠트(tangent)입니다. 단위원에 접하는 직선 위의 길이라서 '접선(tangent line)'이라는 이름이 붙었습니다.
이 개념이 나오는 긴 글
이 개념 위에 세워진 것
이 개념을 언급하는 페이지
- 단위원과 라디안
… 세로 좌표가 sin θ입니다. 도착한 점의 좌표가 (\cos\theta, \sin\theta) 입니다.사인과 코사인은 원 위를 도는 점의 두 그림자입니다. 각도를 거리로 재면 좋은 점이 있습니다. 원 위를 속력 1로 도는 …
- 도함수
… 계수로 쓰면 테일러 급수가 됩니다. 눈여겨볼 짝이 몇 있습니다. eˣ의 도함수는 자기 자신이고,sin의 도함수는 cos입니다. 거꾸로 도함수에서 원래 함수로 돌아가는 길은 미적분의 기본정리가 줍니다. …
- 최적화
… \sin\theta_2 = v_1 / v_2 (두 물질 속 빛의 속도의 비)를 만족해야 한다는 법칙입니다(사인). 오늘날에는 이 원리를 '걸리는 시간의 도함수가 0인 길'로 고쳐 씁니다. 오목 거울에서처럼 빛이 …
- 가우스 적분
… 미분해서(도함수를 구해서) 이 함수가 되는 함수를 식으로 적어야 합니다. 그런데 다항식·지수·로그·삼각함수를 사칙연산과 합성으로 유한 번 엮은 식(초등함수) 가운데는 그런 함수가 없습니다. 그런데도 −∞부터 …
- 테일러 급수
… 곡선이 n차 다항식입니다. 빨간 영역이 오차입니다. 차수를 올릴수록 달라붙는 구간이 넓어집니다. eˣ,sin, cos은 모든 실수에서 끝내 따라잡지만, 어떤 함수는 중심에서 일정 거리보다 먼 곳에서 차수를 올릴수록 오히려 …
- 허수 단위 i
… 언제나 원점에서 그 점으로 향하는 방향을 90° 돌린 방향, 다시 말해 원의 접선 방향입니다. 그래서sin과 cos은 (부호 하나를 빼면) 서로의 도함수(순간 변화율)가 됩니다. 단위원 위에서 각도 θ만큼 돌아간 점을 …
- 오일러 공식
… 입니다. cos θ와 sin θ를 테일러 급수로 쓰면 바로 이 두 식이 된다는 것이 알려져 있습니다(사인과 코사인). θ = 1에서 앞의 계산이 cos 1, sin 1과 맞았던 것이 그 확인입니다. 그래서 …
- 피타고라스 항등식
… 쌓은 것입니다. 한쪽이 커지면 다른 쪽이 정확히 그만큼 작아져서 합은 언제나 높이 1의 띠를 채웁니다.진동하는 용수철의 에너지가 이 그림과 같습니다. 추의 위치가 cos t이면 속도는 −sin t이고, 위치 …
- 삼각함수의 덧셈정리
… 이고, 느리게 변하는 뒤쪽 코사인이 소리의 크기를 천천히 오르내리게 합니다.사인과 코사인의 미분 공식도 여기서 나옵니다. sin(x + h)를 덧셈정리로 펼친 뒤 h를 0으로 보내면 됩니다. …
- 코사인 법칙
… ab\cos C 이 바로 보정항입니다. 코사인 법칙은 내적의 기하학적 의미를 알려 주는 식이기도 합니다.코사인이 "얼마나 같은 방향인가"를 재는 셈입니다. 꼭짓점 C를 원점에 두고 나머지 두 꼭짓점의 좌표로 거리를 …
- 사인파: 진폭·주기·위상
… 입니다. φ 는 출발 위치라서 파동 전체를 옆으로 밉니다(시간으로 \varphi/\omega 만큼).사인과 코사인도 위상만 90° 다른 같은 파동입니다. 기준인 단위원을 늘이고 빨리 돌린 것이 전부입니다. 도는 점을 …
- 뷔퐁의 바늘
… 있기 때문입니다. 각도가 θ인 바늘이 선에 수직인 방향으로 차지하는 폭은 l\,|\sin\theta| (사인)입니다. 바늘 중심은 두 선 사이 어디에나 고르게 떨어지므로, 각도가 θ일 때 선에 걸칠 확률은 이 폭을 …
- 원 위의 곱셈표
… 2\pi k/N 만큼 돌아간 자리에 있으니 각도가 번호에 비례하고(단위원 위 (\cos, \sin) ,사인과 코사인), m 을 곱하는 것은 각도를 m 배로 늘리는 일입니다. 점들은 복소평면의 1의 N제곱근이고, 줄 …
- 평행선 공준
… 각을 옮겨 그은 선이 같은 한 직선이라는 데에서입니다. 크기만 다르고 모양이 같은(닮은) 삼각형이 있다.사인과 코사인을 직각삼각형의 변의 비로 정의할 수 있는 것도, 비가 삼각형의 크기와 상관없기 때문입니다. ⟦피타고라스 …
- 구면기하
… 세계에서 메카를 향한 예배 방향(키블라)을 구하는 일이 모두 구면삼각형을 푸는 문제였고, 그래서 정밀한사인표가 필요했습니다. 이어지는 곳. 반지름 R인 구의 가우스 곡률은 어디서나 1/R^2 입니다. 그래서 …
- 가우스 곡률
… 모자라고(청록, 사인), 음수면 남습니다(분홍, 쌍곡 사인). 평면에서는 늘 1입니다. 여기 나온 둘은사인\sin\rho 와, 지수함수로 만든 쌍곡사인 \sinh\rho = \tfrac12(e^\rho - …
- 측지선
… 이것을 위도와 경도로 풀어 쓴 것이 위의 공식입니다. 위선은 반지름이 R\cos\varphi 인 원이라(코사인) 그 호의 길이는 R\cos\varphi\,\Delta\lambda 입니다(Δλ는 라디안). 가까운 두 …
- 코사인 유사도
두 벡터가 얼마나 같은 쪽을 가리키는지는 사이각 θ가 알려 줍니다. 각을 직접 재기보다 그코사인을 쓰는 까닭은 계산이 쉽기 때문입니다. 내적을 두 길이로 나누기만 하면 됩니다. 노랑 a와 파랑 b의 …
- 하버사인 공식
… 늘려 그립니다. 위도 φ에서 경도 1°의 실제 길이는 적도의 \cos\varphi 배뿐이기 때문입니다(코사인). 그래서 대원 항로는 지도에서 극 쪽으로 불룩하게 휘어 보입니다. 가우스가 보였듯 구면의 ⟦가우스 …
- 이산 코사인 변환
… 필요가 없다는 점입니다. '잡음'을 고르면 에너지가 모든 진동수에 흩어져 있어 거의 줄일 수 없습니다. 왜사인과 코사인을 다 쓰는 이산 푸리에 변환(DFT)이 아니라 코사인일까요? DFT는 16개 값이 끝없이 되풀이된다고 …