상가마그라마의 마다바(Mādhava of Saṅgamagrāma)

마다바는 14세기 말 인도 남서쪽 말라바르 해안의 상가마그라마에서 활동한 천문학자입니다. 오늘날 케랄라주 이린잘라쿠다 부근으로 여겨지는 곳입니다. 생몰 연도는 1340년 무렵과 1425년 무렵으로 어림할 뿐이고, 그의 것으로 전하는 저작도 달의 위치를 계산하는 짧은 천문서 몇 편뿐입니다. 그의 이름을 알린 무한급수들은 케랄라 학파의 천문학자 닐라칸타가 쓴 『탄트라상그라하』(1500년 무렵), 그의 후배 제스타데바가 쓴 『육티바샤』(1530년 무렵) 같은 후대 케랄라 학파의 문헌과 주석서들이 마다바의 것이라고 밝혀 전한 것입니다. 케랄라의 천문학은 제사와 축제의 날짜를 정하는 역법, 일식과 월식의 예보에 쓰였고, 행성의 위치를 계산하려면 정확한 사인값이 필요했습니다.

나이 세 ·

후추 해안. 마다바가 살던 말라바르 해안은 후추의 땅이었습니다. 캘리컷(코지코드)의 항구에는 아랍과 페르시아의 상인, 중국의 배가 드나들었습니다. 1340년대에는 모로코의 여행가 이븐 바투타가 캘리컷에 들렀고, 15세기 초에는 명나라의 환관 제독 정화의 함대가 여러 차례 이곳에 닻을 내렸습니다. 해안은 캘리컷의 자모린(이곳 왕의 칭호)을 비롯한 작은 왕국들로 나뉘어 있었고, 학문은 케랄라의 사제 계층인 남부디리 브라만 집안들이 산스크리트로 이어 갔습니다. 마다바가 죽고 70여 년 뒤인 1498년에는 바스쿠 다가마가 캘리컷에 닿아 유럽의 배들이 이 해안으로 오기 시작했습니다. 케랄라 학파는 이렇게 세계 교역의 한 교차로에서, 그러면서도 산스크리트 운문과 집안의 스승–제자 전승이라는 오래된 틀 안에서 자랐습니다.

물려받은 문제. 인도 천문학에는 이미 1,000년 가까운 전통이 있었습니다. 499년 천문학자 아리아바타는 『아리아바티야』에서 4분의 1 원(90°)을 24등분한 각(3°45′)마다 사인값이 얼마씩 늘어나는지를 적은 표를 주었습니다. 7세기의 브라마굽타는 표에 없는 각의 사인값을, 이웃한 표의 값 셋을 지나는 2차식(포물선⁠, parabola⁠)으로 어림하는 보간법을 남겼습니다. 케랄라에서는 683년 무렵부터 '파라히타'라는 계산 체계를 썼는데, 세월이 흐르며 계산과 실제 하늘이 어긋났습니다. 케랄라 학파의 파라메슈바라는 반세기 넘게 일식과 월식을 관측해 1431년 매개변수⁠(parameter)⁠를 고친 『드리그가니타』를 지었습니다. 계산으로 하늘을 맞히려면 사인값이 더 정확해야 했고, 표 사이를 잇는 보간⁠(interpolation)⁠보다 나은 방법이 필요했습니다. 무한급수는 그 요구에 대한 대답이었습니다.

무한급수. 그의 이름으로 전하는 결과는 사인, 코사인, 그리고 탄젠트⁠(tangent)⁠ 값에서 거꾸로 각을 구하는 아크탄젠트의 급수입니다. 오늘날의 기호로 쓰면 $\arctan x = x - \tfrac{x^3}{3} + \tfrac{x^5}{5} - \cdots$, $\sin x = x - \tfrac{x^3}{3!} + \tfrac{x^5}{5!} - \cdots$입니다($3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$, 각 x는 라디안⁠(radian)⁠). 항을 끝없이 더해 가면 그 합이 정확한 값에 한없이 다가간다는 뜻입니다. $x = 0.5$라면 사인 급수⁠(series)⁠의 처음 두 항만으로 $0.5 - 0.125/6 \approx 0.47917$이 되어 참값 $\sin 0.5 = 0.47943\ldots$에 벌써 가깝습니다. 유럽에서 테일러 급수⁠(Taylor series)⁠라 부르게 될 것들입니다. 아크탄젠트 급수에 $x = 1$을 넣으면 탄젠트가 1인 각은 45°, 곧 $\pi/4$이므로 $\tfrac{\pi}{4} = 1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots$이 나옵니다. 유럽에서는 17세기에 라이프니츠가 다시 찾아 그의 이름이 붙었지만, 요즘은 마다바–라이프니츠 급수라고도 부릅니다.

어떻게 얻었을까. 『육티바샤』는 유도 과정까지 말라얄람어 산문으로 풀어 쓴 드문 책입니다. 요즘 말로 옮기면 이렇습니다. 단위원⁠(unit circle)⁠에 접하는 세로 직선을 긋고, 그 위의 높이 $t$를 원의 중심에서 바라보는 각을 생각합니다. 이 각의 탄젠트가 t이니, 각은 $\arctan t$입니다. 이제 0부터 x까지의 높이를 n개의 아주 짧은 토막(길이 $\Delta t = x/n$)으로 나눕니다. 높이 t 근처의 한 토막이 중심에서 차지하는 각은 대략 $\Delta t / (1 + t^2)$입니다. 중심에서 그 토막까지의 거리가 $\sqrt{1+t^2}$이고 토막이 비스듬히 기울어 있어서, 높이가 올라갈수록 같은 길이의 토막이 더 작은 각을 차지하기 때문입니다. 여기서 $1/(1+t^2)$을 등비급수⁠(geometric series)⁠ $1 - t^2 + t^4 - \cdots$로 풀고, 토막들의 각을 모두 더합니다. 그러면 $t^2$, $t^4$ 같은 거듭제곱의 합이 필요한데, n이 충분히 크면 $1^k + 2^k + \cdots + n^k$이 $n^{k+1}/(k+1)$에 가까워진다는 사실을 씁니다. k = 1이면 $1 + 2 + \cdots + n = n(n+1)/2$이 n이 클 때 $n^2/2$에 가까워지는 것과 같은 이야기입니다. 그 결과 1은 x를, $t^2$은 $x^3/3$을, $t^4$은 $x^5/5$를 내놓아 $\arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - \cdots$을 얻습니다. 잘게 나누어 더하고 조각을 한없이 작게 하는 이 논증은 리만 합⁠(Riemann sum)⁠과 적분⁠(integral)⁠의 생각 그대로이고, 끝없는 과정의 끝을 계산해 내는 무한을 다루는 법의 한 갈래입니다. 등비급수 $1 - t^2 + t^4 - \cdots$은 t가 −1과 1 사이일 때만 유한한 값으로 모이니(t = 2라면 1 − 4 + 16 − …은 한없이 흔들리며 커집니다), 이 논증은 $|x| \lt 1$에서 통합니다. 끝점 $x = \pm 1$에서는 따로 따져야 하는데, 항의 부호가 번갈아 바뀌며 크기가 0으로 줄어드는 덕분에 급수가 느리게나마 수렴⁠(convergence)⁠하고, 그 합도 아크탄젠트 값과 같습니다. $|x| \gt 1$이면 항이 점점 커져 급수가 발산⁠(divergence)⁠합니다. 급수가 수렴하는 범위의 이런 한계를 수렴반경⁠(radius of convergence)⁠이라 하고, 여기서는 그 값이 1입니다.

느린 급수를 빠르게. $1 - \tfrac13 + \tfrac15 - \cdots$은 몹시 느리게 수렴합니다. n항까지 더한 값에 4를 곱해도 원주율⁠(pi)⁠과의 차이가 대략 $1/n$이라, 오차를 0.001 안쪽으로 줄이려면 항이 천 개쯤 필요합니다(천 항이면 3.14059…). 케랄라 학파는 두 가지 해법을 전합니다. 하나는 마지막 항 뒤에 남은 꼬리를 어림하는 보정항을 붙이는 것입니다. 남은 오차의 크기를 따로 계산해 되돌려 넣는 이 방법은 근사와 오차를 다루는 솜씨의 이른 예입니다. 다른 하나는 수렴이 빠른 다른 점을 쓰는 것으로, $x = 1/\sqrt3$(30°)을 넣으면 $\pi = \sqrt{12}\,\bigl(1 - \tfrac{1}{3\cdot 3} + \tfrac{1}{5 \cdot 3^2} - \cdots\bigr)$이 되어 항마다 오차가 3분의 1 아래로 줄어듭니다. 마다바의 것으로 전하는 원주율 값 3.14159265359는 소수⁠(prime number)⁠ 열한째 자리까지 맞습니다. 사인표도 그의 이름으로 전하는데, 매우 정밀하고 숫자를 글자로 바꿔 운문 속에 넣는 방식(카타파야디⁠, Katapayadi⁠)으로 적혀 있습니다. 자음마다 0부터 9까지의 숫자 하나를 정해 두어, 뜻이 있는 낱말을 읽으면 그대로 숫자열이 되게 하는 방식입니다.

운문으로 전한 수학. 케랄라 학파의 지식은 대부분 산스크리트 운문으로 적혔습니다. 외우기 좋게 압축한 시구에는 증명이 들어갈 자리가 없었고, 그래서 결과만 적고 이유는 스승이 말로 가르쳤을 것으로 봅니다. 제스타데바의 『육티바샤』가 귀한 것은 그 이유를 이 지방의 말인 말라얄람어 산문으로 풀어 적었기 때문입니다. 케랄라 학파의 샹카라 바리야르는 12세기 인도의 수학자 바스카라 2세가 쓴 산술책 『릴라바티』에 단 주석에서 마다바의 급수와 그 근거를 다시 설명했습니다. 이 전통은 생각보다 오래갔습니다. 19세기 초에도 케랄라의 한 왕족 학자 샹카라 바르만이 이 급수들을 담은 『사드라트나말라』를 지었습니다.

케랄라 학파는 브라만 집안들 안에서 스승에서 제자로 이어졌습니다. 흔히 마다바에게서 파라메슈바라, 그의 아들 다모다라, 닐라칸타, 제스타데바로 이어지는 계보를 그립니다. 이 급수들이 16세기에 인도에 온 예수회를 거쳐 유럽에 전해졌을 수 있다는 가설도 있습니다. 예수회 선교사들은 코친 등 말라바르 해안에 자리를 잡았고, 뒷날 중국으로 간 이탈리아의 예수회 선교사 마테오 리치도 1580년 무렵 고아와 코친에 머물렀습니다. 그러나 급수가 전해졌다는 직접 증거는 지금까지 없습니다. 17세기 유럽에서 뉴턴, 스코틀랜드의 수학자 제임스 그레고리, 라이프니츠가 급수에 이른 경로는 편지와 원고로 잘 기록되어 있습니다. 전파 여부는 열린 질문으로 남겨 두는 것이 정직하고, 분명한 것은 같은 결과가 두 세기 반쯤 앞서 다른 곳에서 얻어졌다는 사실입니다.

두 번 잊힌 급수. 유럽에 이 급수들을 처음 알린 사람은 동인도회사의 관리 찰스 위시였습니다. 그는 1832년 케랄라의 문헌들에 원주율의 무한급수가 있다는 논문을 영국 왕립 아시아 학회에 보냈고 논문은 1834년에 실렸지만, 거의 주목받지 못했습니다. 인도의 천문학은 계산 요령의 모음일 뿐이라는 편견이 강하던 때였습니다. 1940년대에 인도의 수학자 C. T. 라자고팔과 동료들이 『육티바샤』의 논증을 오늘날의 수학으로 다시 읽으면서 비로소 그 수준이 널리 알려졌습니다. 이제는 아크탄젠트 급수를 마다바–그레고리 급수, 사인 급수를 마다바–뉴턴 급수라고 부르기도 합니다. 1669년 뉴턴과 1671년 그레고리가 유럽에서 따로 찾아낸 것들입니다.

이어지는 곳. 그의 급수는 테일러 급수와 사인과 코사인⁠(sine and cosine)⁠에서, 급수가 어디까지 통하는지는 수렴반경에서 이어집니다. 원주율을 급수 대신 안팎의 다각형으로 가두는 앞선 방법은 아르키메데스가 썼고, π/4 급수를 유럽에서 다시 찾은 사람은 라이프니츠입니다. 끝없이 더한 합이 언제 하나의 값으로 모이는지는 급수의 수렴과 발산⁠(convergence and divergence of series)⁠에서 다룹니다. 그 함정은 조화급수⁠(harmonic series)⁠ $1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots$가 잘 보여 줍니다. 항이 π/4 급수와 비슷한 속도⁠(velocity)⁠로 0에 다가가도 합이 유한하다는 보장은 없습니다. 부호가 번갈아 바뀌는 π/4 급수는 수렴하지만, 항이 모두 양수인 조화급수는 한없이 커집니다.

연표.

• 1400년 달의 위치를 계산하는 법을 적은 『벤바로하』를 짓다(무렵)
• 1405년 명나라 정화의 함대가 첫 원정을 떠나다(이 원정에서 캘리컷에 닿다)