국소 선형성(Local linearity)
미분(differentiation) 가능한 점에서 곡선을 충분히 확대하면 직선과 구별되지 않는다. 그 직선이 접선(tangent line)이다.
곡선의 한 점을 확대해 봅시다. 확대 배율은
매끄러운 곡선은 확대할수록 곧아집니다. 충분히 확대하면 그 점 근처에서 출력의 변화는 거의 "입력의 변화
이 생각은 차원을 올려도 그대로 통합니다. 평면을 평면으로 보내는 휘어진 변환도 미분 가능한 점을 확대하면 격자가 곧게 펴지고, 그 점 근처에서는 선형변환(linear transformation), 곧 행렬(matrix) 하나처럼 움직입니다. 이 행렬이 편미분(partial derivative)을 늘어놓은 야코비 행렬(Jacobian matrix)입니다. 1차원에서 기울기가 하던 일을 2차원에서는 행렬이 합니다. 곡선을 직선 하나가 아니라 포물선(2차식), 3차식처럼 차수가 높은 다항식(polynomial)으로 흉내 내면 테일러 다항식(Taylor polynomial)이 되고, 차수를 끝없이 올린 것이 테일러 급수(Taylor series)입니다.
국소 선형성은 계산법이 됩니다. 곡선 대신 접선의 0점으로 건너뛰는 뉴턴 방법(Newton's method)이 그 하나입니다. 두 함수를 합성하면(한 함수의 출력을 다른 함수에 넣으면) 확대 배율(미분계수)이 곱해진다는 연쇄법칙(chain rule)도 이 그림에서 나옵니다.
미분 가능한 곡선의 꼭대기나 골짜기에서는 접선이 수평이니, 확대한 직선의 기울기가 0입니다. 이것이 최적화(optimization)의 출발점입니다.
국소 선형성을 근사가 아니라 등식으로 만든 세계도 있습니다. 제곱하면 0인 '무한소(infinitesimal)' d를 들이는 합성 미분 기하(synthetic differential geometry)에서는
이 개념이 나오는 긴 글
이 개념 위에 세워진 것
이 개념을 언급하는 페이지
- 기울기
… m 을 곱하는" 함수이기도 합니다. 가장 단순한 선형변환, 1×1 행렬이 바로 기울기입니다. 그래서국소 선형성은 "매끄러운 곡선도 확대하면 기울기 하나로 요약된다"는 말이 됩니다. 각도로 말하면 기울기는 …
- 극한
… 정해져 있어도, 주변의 행동만으로 결정됩니다. 왼쪽과 오른쪽에서 다가간 값이 서로 다르면 극한은 없습니다.국소 선형성에서 본 |x| 의 꼭짓점에서 잰 할선 기울기가 그런 예입니다. 왼쪽에서는 −1, 오른쪽에서는 +1로 …
- 미분계수
… 도함수라는 새 함수가 됩니다. 미분 가능한 점에서 곡선을 확대하면 접선과 구별되지 않는데, 이 사실이국소 선형성입니다. 그래서 미분계수는 "그 점 근처에서 입력의 변화에 곱해지는 수"로 볼 수 있습니다. 시간에 대한 …
- 리만 합
… 붙었습니다. 중점 규칙은 오차가 특히 빨리 줄어듭니다. 조각이 좁으면 그 안의 곡선은 거의 직선입니다(국소 선형성). 직선이라면 중점 높이의 막대는 한쪽에서 넘치는 삼각형과 다른 쪽에서 모자라는 삼각형의 크기가 같아 …
- 연속성
… 중간값 정리가 대표적입니다. 미분 가능하면 연속이지만 거꾸로는 아닙니다. |x| 의 꼭짓점은 연속이지만확대해도 곧아지지 않습니다. 펜 그림은 출발점일 뿐, 정의와 딱 같지는 않습니다. 더 극단적인 예로 "악마의 계단"은 연속이고 …
- 연쇄법칙
국소 선형성에 따르면 한 점 근처에서 미분 가능한 함수는 작은 변화에 "미분계수를 곱하는" 일만 (거의) 합니다. …
- 뉴턴 방법
곡선의 0점을 바로 찾기는 어렵지만, 직선의 0점은 쉽습니다. 그래서국소 선형성을 이용합니다. 곡선을 지금 위치의 접선으로 바꾸고, 접선이 x축과 만나는 곳으로 건너뜁니다. 출발점을 …
- 테일러 급수
국소 선형성은 곡선을 직선(1차식)으로 흉내 냈습니다. 휘어짐까지 흉내 내려면 2차, 3차 항을 붙여 다항식으로 …
- 선형변환
… 하는 특별한 선형변환입니다. 격자를 휘게 만드는 변환도 한 점 근처를 크게 확대하면 선형변환처럼 보입니다(국소 선형성). 변환된 결과를 보고 원래 벡터를 거꾸로 찾는 문제가 연립일차방정식입니다. 평면의 모든 점을 한 …
- 선형 미분방정식
… 평형점 근처를 크게 확대하면 규칙이 행렬 곱으로 근사되어 이 그림들 가운데 하나가 됩니다(국소 선형성). 그래서 이 방정식은 평형점 근처의 작은 움직임을 대부분 설명합니다. 예외는 실수 부분이 0인 고유값이 …
- 로지스틱 사상
… 고정점이 궤도를 끌어당기는지 밀어내는지는 그 점에서의 기울기가 정합니다. 고정점 근처에서 f 는국소 선형성덕분에 기울기 f'(x^*) = 2 - r 인 직선처럼 행동합니다. 그래서 고정점에서 벗어난 거리(오차)는 …
- 로렌츠 끌개
… \pm\sqrt{\beta(\rho-1)}, \rho - 1) 입니다. 각 평형 근처에서 흐름은국소 선형근사 \dot{\vec u} = J\vec u , 곧 선형 미분방정식이 됩니다. J는 속도의 각 성분을 …
- 하버사인 공식
… 현을 재고 그것을 호의 길이로 바꾸는 셈입니다. 아주 가까운 두 점이라면 좁은 땅은 평평해 보이니(국소 선형성), 경도 차에 \cos\varphi 를 곱해 가로 거리로 바꾼 뒤 평면의 피타고라스 정리를 써도 …
- 역전파
… L/\partial x = ). x를 조금 바꾸면 그 변화가 두 길로 퍼져 L에 닿고, 작은 변화들은국소 선형성에 따라 그냥 더해지기 때문입니다. L을 w₁만의 함수로 본 그래프. 청록 접선의 기울기가 역전파로 얻은 …
- 고정점
… 인 직선입니다. 왜 어떤 고정점은 끌어당기고 어떤 고정점은 밀어낼까요? 고정점 가까이에서 곡선은국소 선형성에 따라 기울기가 f'(x^*) 인 직선과 거의 같습니다. 그래서 x_{n+1} - x^* = f(x_n) …
- 동역학계
… 안정 입니다. 게다가 가까이에서 출발한 궤도가 고정점으로 다가가기까지 하면 점근 안정 입니다. 판정은국소 선형화로 합니다. 고정점 가까이에서 \sin\theta 를 직선으로 어림하면 진자는 선형 미분방정식이 되고, 그 …
- 기울기 벡터와 야코비 행렬
… + 6\sin\theta 입니다. 작게 움직일 때의 변화가 x 방향 몫과 y 방향 몫의 합이 되는 까닭은국소 선형성입니다. 매끄러운 곡면을 충분히 확대하면 평면(접평면)과 구별되지 않고, 평면 위에서는 높이의 변화가 방향 …
- 토포스: 집합을 닮은 우주
… 아니어서, f(x + d) = f(x) + f'(x)\,d 가 근사가 아니라 등식으로 성립합니다(미분,국소 선형성). 이런 무한소는 배중률과 함께 있을 수 없습니다. 'd = 0이거나 d ≠ 0'을 쓰면 모순이 나오기 …