기울기(Slope)

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이 개념을 언급하는 페이지

• 함수

  … 그래프가 됩니다. 그래프는 함수를 "한눈에 보는" 방법입니다. 이 생각은 계속 쓰입니다. 모든 점에서기울기를 모으면 도함수, 모든 끝점까지의 넓이를 모으면 넓이 함수가 됩니다. 입력과 출력이 꼭 수 하나일 …

• 극한

  … 기둥이 모두 극한입니다. 미분계수는 두 점 사이의 간격을 0으로 보낼 때 0 ÷ 0 꼴이 되는 할선기울기의 극한이고, 정적분은 막대 개수를 무한히 늘린 리만 합의 극한입니다. 극한이 있어야 연속성도 …

• 단위원과 라디안

  … 원을 n등분한 점들은 1의 거듭제곱근이고, 원점에서 점 (cos θ, sin θ)로 그은 반지름의기울기는 탄젠트입니다. 이 원을 둘러싼 정사각형에 무작위로 고르게 점을 뿌리면, 원 안에 드는 비율은 점이 …

• 평균변화율

  … 그래도 두 점을 골라 직선으로 이으면(곡선을 두 점에서 가르는 이런 직선을 할선이라 합니다) 그 직선의기울기는 하나로 정해집니다. 이 값이 구간 전체의 평균변화율 입니다. x = 부터 h = 만큼의 구간에서는 …

• 미분계수

  평균변화율의 구간을 줄여 봅시다. h = 일 때 할선의기울기는 입니다. h가 0에 가까워질수록 이 값은 에 다가갑니다. h = 0을 그대로 넣으면 0 ÷ 0이라 …

• 국소 선형성

  … 되고, 이런 직선은 접선 하나뿐입니다. 이 관점에서 미분이란 곡선을 한 점 근처에서 가장 잘 흉내 내는기울기하나를 찾는 일입니다. 이 생각은 차원을 올려도 그대로 통합니다. 평면을 평면으로 보내는 휘어진 변환도 …

• 도함수

  미분계수는 한 점의기울기입니다. 점을 x = 로 옮기면 기울기도 바뀝니다(지금 ). 이 값들을 모두 모아 그래프로 그리면 새 …

• 미적분의 기본정리

  … 길이를 모두 합해도 0인 점들의 모임입니다(측도 0). 그 밖의 모든 점, 곧 '거의 모든 점'에서기울기는 0입니다. 그래서 기울기를 적분하면 0이지만 실제로 오른 양은 1입니다. 함수의 도함수가 모든 점에서 …

• 연속성

  … 연속이고 0에서 1까지 올라가는데도, 길이를 모두 합하면 0인 칸토어 집합의 점들을 빼면 어디서나기울기가 0입니다. 오르는 일이 전부 그 '길이 없는' 점들 위에서 일어나는 셈입니다. 연속이지만 어느 점에서도 …

• 연쇄법칙

  … '약'이 정확해집니다. 노란 점을 끌어 보세요. 지금 f'(x) = , g'(u) = , 곱 합성함수의기울기입니다. 배율이 음수면 구간이 뒤집히고, 0에 가까우면 거의 한 점으로 눌립니다. 이 그림은 차원을 올려도 …

• 뉴턴 방법

  … 이라 g(r) = r 입니다. 이렇게 규칙을 적용해도 제자리인 점을 고정점이라 합니다. 고정점에서 g의기울기의 절댓값이 1보다 작으면, 그 근처에서 출발한 반복은 고정점으로 끌려갑니다. 한 걸음마다 고정점까지의 …

• 자연로그

  … 넓이라 음수로 셉니다(붉은 영역). 두 얼굴이 같은 함수인 이유는 미적분의 기본정리입니다. 넓이 함수의기울기는 1/x 이고, eˣ의 역함수를 연쇄법칙으로 미분해도 1/x 가 나옵니다. 넓이로 보면 \ln(ab) …

• 테일러 급수

  … 휘어짐까지 흉내 내려면 2차, 3차 항을 붙여 다항식으로 만들면 됩니다. x = 0 에서 값,기울기, 휘어짐… 을 차례로 맞추면 k 차 항의 계수는 f^{(k)}(0)/k! 이 됩니다( x^k 을 k번 …

• 지수함수 eˣ

  eˣ의 정체는 한 문장입니다. 어디서나기울기가 높이와 같고, x = 0에서 높이가 1이다. 기울기가 높이와 같은 함수는 Ce^x 꼴뿐이라, 출발 높이 …

• 행렬

  … y개가 됩니다. 곱셈 공식은 이 그림을 적은 것입니다. 1×1 행렬은 수 하나이고, 그 수를 곱하는 일은기울기m 인 직선 y = mx 입니다. 행렬 두 개를 이어 적용하는 것이 행렬의 곱입니다. a = d , b …

• 탄젠트

  원점에서 각도 \theta = 로 뻗은 반직선의기울기는 세로/가로 = \sin\theta/\cos\theta , 곧 \tan\theta = 입니다. 반직선을 …

• 최소제곱 회귀

  … '직접 맞추기'에서는 노란 손잡이로 직선을 움직여 넓이 합을 줄여 보세요. 왜 제곱일까요? 제곱 합은기울기에 대한 매끄러운 포물선이라 최적화가 쉽습니다. 아래 그래프는 기울기마다(절편은 그 기울기에 맞게 …

• 무리수

  … 그림으로 보는 방법이 있습니다. 가로세로 1 간격으로 좌표가 모두 정수인 점(격자점)을 찍고, 그 위에기울기가 \sqrt 2 인 직선 y = \sqrt2\,x 를 그립니다. 이 직선은 원점 말고는 격자점을 하나도 …

• 피타고라스 세 쌍

  … 1 , 곧 단위원 위의 좌표가 모두 유리수인 점이 됩니다. 거꾸로 점 (-1, 0) 을 지나는 직선의기울기를 유리수 t = / 로 잡으면, 직선은 원과 에서 다시 만납니다. 분모를 걷어내면 입니다. 직선의 식을 …

• 중앙값

  … 직선들입니다. c를 오른쪽으로 조금 옮기면 c보다 왼쪽의 점들과는 멀어지고 오른쪽의 점들과는 가까워지므로,기울기는 (왼쪽 점의 수) − (오른쪽 점의 수) = 입니다. 기울기가 음수에서 양수로 바뀌는 곳, 곧 양쪽 …

• 칸토어 함수

  … 줄여 넣습니다. 깊이 d = 입니다. 왼쪽은 계단 F_d 와 그 아래 남은 구간들(주황), 오른쪽은기울기F_d' 의 그래프입니다. 평평한 부분의 길이를 모두 더하면 이고(등비급수 \tfrac13 + …

• 로지스틱 사상

  … 0 말고는 x^* = 1 - 1/r = 입니다. 고정점이 궤도를 끌어당기는지 밀어내는지는 그 점에서의기울기가 정합니다. 고정점 근처에서 f 는 국소 선형성 덕분에 기울기 f'(x^*) = 2 - r 인 …

• 분기

  … 되풀이 규칙에서도 분기가 일어납니다. 로지스틱 사상 x \mapsto rx(1-x) 에서는 고정점의기울기가 −1을 지날 때 고정점이 불안정해지고 주기 2 궤도가 태어납니다( 주기 배가 ). 주기 2 궤도의 두 …

• 혼돈

  … 을 로그 눈금으로 그린 것입니다. 로그 눈금에서는 지수적으로 자라는 양이 직선이 되고, 그기울기가 랴푸노프 지수 λ입니다(점선). 러시아 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 딴 것으로, 거리가 …

• 상관관계

  … 상관계수'라고도 부르며, 근대 통계학의 첫 도구 가운데 하나가 되었습니다. 상관계수는 회귀 직선의기울기가 아닙니다. y의 단위를 바꿔 세로로 배 늘여 보세요. 지금 r은 그대로인데, 회귀 직선 의 기울기 따라 …

• 평균으로의 회귀

  … 이 식이 예측하는 다른 시험의 평균은 점입니다. 그림의 청록 직선 이 바로 이 식, 곧 회귀 직선이고,기울기가 ρ < 1이라 대각선보다 완만합니다. ρ = 1이면(운이 없으면) 전혀 돌아오지 않고, ρ = …

• 심슨의 역설

  … 생기지 않습니다. 같은 일이 연속적인 자료에서도 일어납니다. 집단마다 따로 그린 회귀 직선은 모두기울기가 양수인데, 집단들을 합치면 음수가 될 수 있습니다. 상관관계의 부호가 뒤집히는 것입니다. 비율을 …

• 교란 변수

  … 곧 Z에 대한 조건부로 보면 X와 Y 사이에는 진짜 효과만 남습니다. 한데 모은 회귀 직선 의기울기는 이지만, 기온별 직선 의 기울기는 진짜 효과 c와 거의 같습니다. 이렇게 층마다 따로 보는 것을 층화라 …

• 평행선 공준

  … 않는 직선은 정확히 하나다. P를 지나는 직선을 \theta = 만큼 기울여 봅시다. 지금 이 직선은기울기를 줄일수록 만나는 점은 끝없이 멀어지고(극한), 정확히 0°일 때에만 만나지 않습니다. P의 …

• 가우스 곡률

  … 봅시다. 원점에서 이 곡면은 수평입니다. 다시 말해 원점에서 곡면에 닿는 평면(접평면)이 xy평면과 나란해기울기가 0입니다. 이렇게 수평인 점에서는 단면 곡선의 곡률이 그 곡선을 두 번 미분한 값과 같습니다. x축 …

• 지프의 법칙

  … 취하면 \log f = \log C - s\log r 이니, 가로축과 세로축을 모두 로그로 그리면기울기−s인 직선이 됩니다. 이렇게 한 양이 다른 양의 거듭제곱에 비례하는 관계를 멱법칙이라고 합니다. 아래는 …

• 경사 하강법

  … f/\partial y) (그래디언트)는 가장 가파르게 오르는 방향을 가리키고, 그 길이는 그 방향의기울기입니다. 그러니 반대쪽으로 갑니다. \vec x_{k+1} = \vec x_k - \eta\,\nabla …

• 변분법

  … 에 넣으면, L이 y 자체에는 기대지 않으니 y'/\sqrt{1 + y'^2} 이 일정해야 하고, 곧기울기가 일정하므로 답은 직선입니다. 최속강하선 L = \sqrt{1 + h'^2}/\sqrt{2gh} (h는 …

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