소수 정리(Prime number theorem)

소수는 하나하나 보면 불규칙하게 흩어져 있지만, 개수를 세어 멀리서 보면 매끄러운 곡선을 따라갑니다. $x$ 이하의 소수 개수를 $\pi(x)$라 씁니다(원주율⁠(pi)⁠과는 상관없는 기호입니다). $x =$ ($\log_{10} x =$ )이면 $\pi(x) =$ 입니다.

가우스는 1849년 편지에서, 열다섯 살 무렵 소수표를 보며 이렇게 짐작했다고 회고했습니다. 수 $t$ 근처에서 소수가 나타나는 비율은 약 $1/\ln t$이다. 예를 들어 1000 근처의 수 100개 가운데 소수는 $100/\ln 1000 \approx 14.5$개쯤으로 예상되고, 951부터 1050까지 실제로 세면 15개입니다. $\ln t$는 자릿수의 약 2.3배이니, 소수의 비율이 자릿수에 대략 반비례한다는 말입니다. 이 "비율"은 구간 안에서 센 값이지, 정수⁠(integer)⁠ 전체에서 하나를 고르게 뽑는 확률⁠(probability)⁠이 아닙니다(그런 뽑기는 정의되지 않습니다). 이 밀도가 맞다면 $x$까지의 소수 개수는 밀도를 적분⁠(integral)⁠한 $\mathrm{Li}(x) = \int_2^x dt/\ln t$에 가까워야 하고, 더 거칠게는 $x/\ln x$입니다(분모의 자연로그⁠(natural logarithm)⁠가 소수를 점점 드물게 만듭니다). 지금 두 근삿값은 , 입니다.

소수 정리는 $\pi(x)$를 $x/\ln x$로 나눈 비가 $x$가 한없이 커질 때 1로 간다는 정리입니다. 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 샤를장 드 라 발레 푸생이 서로 따로 증명했습니다. 증명의 열쇠는 바젤 문제⁠(Basel problem)⁠에서 만나는 제타 함수⁠(zeta function)⁠ $\zeta(s) = \sum 1/n^s$를 복소수⁠(complex number)⁠ $s$로 넓힌 것이고, 결정적인 한 걸음은 이 함수⁠(function)⁠가 실수부⁠(real part)⁠ 1인 직선 위에서 0이 되지 않는다는 사실입니다. $\mathrm{Li}(x)$와 $\pi(x)$의 차이가 얼마나 작은지는 리만 가설⁠(Riemann hypothesis)⁠이 결정합니다. 리만 가설은 제타 함수의 자명하지 않은 영점⁠(nontrivial zero)⁠이 모두 실수부 1/2인 직선 위에 있다는 아직 풀리지 않은 추측입니다. 이 가설은 "오차 $|\pi(x) - \mathrm{Li}(x)|$가 $\sqrt{x}\,\ln x$의 상수배를 넘지 않는다"는 말과 동치입니다. 밀도 $1/\ln t$를 믿으면 소수의 역수⁠(inverse)⁠ 합 $\sum_{p \le x} 1/p$도 예측할 수 있습니다. 이 합은 $\ln \ln x$에 상수를 더한 값에 다가가며, 아주 느리게, 그러나 끝없이 커집니다(발산⁠, divergence⁠). $\ln x$처럼 커지는 조화급수⁠(harmonic series)⁠보다 한 단계 더 느린 발산입니다.

평균⁠(mean)⁠ 밀도는 1/ln x로 매끄럽지만, 어떤 2차식 위에는 소수가 유난히 많이 몰립니다. 울람 나선⁠(Ulam spiral)⁠의 대각선이 그 모습입니다.

$x$ 근처에서 이웃한 소수 사이의 평균 간격은 약 $\ln x$로 커지지만, 간격이 2인 쌍은 계속 나타나는 것처럼 보입니다(쌍둥이 소수⁠, twin primes⁠). 끝없이 나타나는지는 아직 증명되지 않았습니다.