혼돈(Chaos)

던진 주사위는 무작위처럼 보이지만, 던지는 순간의 위치와 속도⁠(velocity)⁠를 완벽히 안다면 원리적으로는 결과를 계산할 수 있습니다. 그렇다면 예측할 수 없다는 것은 모르는 것이 많아서 생길 뿐일까요? 혼돈은 모르는 것이 거의 없어도 예측이 무너질 수 있음을 보여 줍니다. 변수가 셋뿐인 로렌츠 방정식이나 2차식 하나인 로지스틱 사상⁠(logistic map)⁠처럼 규칙이 단순하고 우연이 전혀 끼어들지 않아도, 먼 미래는 예측할 수 없게 될 수 있습니다. 얼마나 먼 미래인지는 아래에서 정확히 셉니다.

핵심은 초기값 민감성입니다. 규칙 로 두 궤도를 출발시키되, 두 번째는 첫 번째보다 $\varepsilon = 10^{-k}$만큼 옆에서 시작합니다. $k =$ .

오른쪽 그림은 두 궤도 사이의 거리 $|\delta_n|$을 로그 눈금으로 그린 것입니다. 로그 눈금에서는 지수적으로 자라는 양이 직선이 되고, 그 기울기⁠(slope)⁠가 랴푸노프 지수⁠(Lyapunov exponent)⁠ λ입니다(점선). 러시아 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 딴 것으로, 거리가 평균적으로 한 걸음에 $e^\lambda$배가 된다는 뜻입니다. 지금 $\lambda \approx$ 이고, 두 궤도의 차이가 0.1을 넘는 것은 입니다.

오차가 매 걸음 $e^\lambda$배로 자라면, 허용 한계 L에 이르기까지 걸리는 시간은 $n \approx \tfrac{1}{\lambda}\ln(L/\varepsilon)$입니다. 정밀도⁠(precision)⁠를 10배 높여도 $\ln 10/\lambda$ 걸음만 더 벌 수 있습니다. r = 4에서는 $\lambda = \ln 2$라서 자릿수 하나에 고작 3.3걸음입니다. k를 1씩 올리며 확인해 보세요. 영원히 예측하려면 초기값을 무리수⁠(irrational number)⁠의 소수 전개⁠(decimal expansion)⁠처럼 끝없는 자릿수까지 알아야 하는데, 측정은 언제나 유한합니다. 원리적으로는 결정론⁠(determinism)⁠이지만 실제로는 예측이 불가능한 이유입니다. 날씨 예보의 한계를 보통 2주 안팎으로 어림하는 것도 대기가 이런 성질을 갖기 때문입니다. 반대로 r = 3.2로 바꾸면 거리가 오히려 줄어듭니다(λ < 0). 두 궤도가 같은 주기⁠(period)⁠ 궤도로 끌려가니 민감성이 없고, 혼돈도 아닙니다.

초기값 민감성⁠(sensitive dependence on initial conditions)⁠만으로는 혼돈이라 부르지 않습니다. 여러 정의 가운데 흔히 쓰는 것은 미국 수학자 로버트 데버니가 1986년에 정리한 세 조건입니다.

• 초기값 민감성: 아무리 가까운 두 점에서 출발해도 언젠가는 크게 벌어집니다.
• 뒤섞임(위상적 추이성⁠, topological transitivity⁠): 어느 작은 영역에서 출발한 점들 가운데 일부는 결국 다른 어느 영역에든 닿습니다. 상태 공간⁠(state space)⁠이 따로 노는 조각들로 나뉘지 않는다는 뜻입니다.
• 주기 궤도의 조밀⁠(dense)⁠함: 어느 점 근처를 아무리 가까이 들여다보아도 그 안을 지나는 주기 궤도가 있습니다.

1992년에는 뒤의 두 조건이 성립하면 첫째 조건이 저절로 따라온다는 것이 증명되었습니다(무한히 많은 점이 있는 공간이라면). 혼돈의 핵심이 민감성 하나가 아니라 섞임과 되풀이의 구조에 있다는 뜻입니다. 벌어지기만 해서는 혼돈이 아닙니다. $\dot x = x$의 해 $x_0e^t$도 가까운 점끼리 벌어지지만, 모두 무한대로 달아날 뿐 다시 섞이지 않습니다. 혼돈에는 늘이기와 접기가 함께 있습니다. 가까운 점들을 벌리면서도 유한한 영역 안에 가두려면 접어야 합니다. 빵 반죽을 늘이고 접기를 되풀이하듯 하면, 칸토어 집합⁠(Cantor set)⁠처럼 겹 안에 겹이 끝없이 든 구조가 생깁니다. 그래서 혼돈계에서 궤도들이 오래 지나 모여드는 곳, 곧 끌개⁠(attractor)⁠는 대개 프랙털입니다. 프랙털⁠(fractal)⁠은 확대할수록 비슷하게 복잡한 구조가 끝없이 다시 나타나는 도형입니다.

궤도 하나를 오래 따라가면, 값이 각 구간에 머무는 시간의 비율은 일정한 분포로 다가갑니다(거의 모든 처음 값에서 그렇고, $x_0 = 3/4$ 같은 주기점은 예외입니다). r = 4에서는 그 분포의 밀도가 $1/(\pi\sqrt{x(1-x)})$입니다. 가장자리에 몰리는 모양이라, 궤도는 0.9 이상에서 약 20%의 시간을 보내지만 한가운데 0.45와 0.55 사이에서는 약 6%만 보냅니다. 이처럼 궤도 하나를 오래 따라가며 낸 평균(시간 평균⁠(mean)⁠)이 이 분포로 낸 평균(공간 평균)과 같아지는 성질을 에르고드성⁠(ergodicity)⁠이라 합니다. 결정론판 큰 수의 법칙⁠(law of large numbers)⁠인 셈입니다.

그래서 혼돈계에서는 궤도 하나 대신 확률⁠(probability)⁠ 분포를 예측합니다. 상태 공간을 칸으로 나누고 칸에서 칸으로 옮겨 가는 비율을 재면, 계를 다음 칸이 지금 칸에만 달린 확률 과정인 마르코프 연쇄⁠(Markov chain)⁠로 근사할 수 있습니다. 기상 예보는 초기값을 조금씩 흔든 예보 수십 개를 함께 돌리고(앙상블⁠, ensemble⁠), 그 가운데 비가 온 예보의 비율로 강수 확률을 냅니다. 무작위로 흔든 여러 계산으로 답을 어림하는 몬테카를로 방법⁠(Monte Carlo method)⁠과 같은 생각입니다.

이어지는 곳.

• 혼돈은 천체 역학에서 먼저 보였습니다. 1890년 무렵 푸앵카레는 서로 끌어당기는 세 천체의 운동을 묻는 삼체 문제⁠(three-body problem)⁠를 연구하다가, 궤도들이 끝없이 복잡하게 얽혀 식으로 적을 수 없는 경우가 있다는 것을 보았습니다. 1963년 로렌츠는 기상 모형에서 같은 현상을 다시 찾아냈습니다.
• 매개변수⁠(parameter)⁠를 올리며 분기⁠(bifurcation)⁠를 거듭해 혼돈에 이르는 길은 계가 달라도 같은 모습을 보입니다. 봉우리가 둥근 되풀이 규칙이라면 주기 배가⁠(period doubling)⁠의 간격이 줄어드는 비율(파이겐바움 상수⁠, Feigenbaum constant⁠)까지 같습니다.
• 휜 곡면 위의 운동도 혼돈일 수 있습니다. 말안장처럼 곡률⁠(curvature)⁠이 음수인 쌍곡 곡면에서는 가까이 나란히 출발한 측지선⁠(geodesic)⁠들이 지수적으로 벌어집니다. 곡면이 유한한 크기로 닫혀 있으면 벌어진 길들이 다시 섞이니, 그 위를 마찰 없이 미끄러지는 점의 운동은 가장 오래 연구된 혼돈의 예 가운데 하나입니다.
• 소리로도 구별됩니다. 주기 운동을 푸리에 급수⁠(Fourier series)⁠로 풀면 기본 진동수⁠(frequency)⁠와 그 정수배만 띄엄띄엄 나오지만, 혼돈 신호에는 진동수가 연속적으로 퍼져 있어 잡음처럼 들립니다.
• 복소평면⁠(complex plane)⁠에서도 같은 일이 일어납니다. $z \mapsto z^2 + c$를 되풀이할 때 무한대로 달아나는 출발점과 달아나지 않는 출발점의 경계를 줄리아 집합⁠(Julia set)⁠이라 하는데, 사상은 이 경계 위에서 혼돈입니다. 줄리아 집합이 한 덩어리로 이어지는 c들을 모은 것이 망델브로 집합⁠(Mandelbrot set)⁠입니다.