대수적 수와 초월수(Algebraic and transcendental numbers)

무리수⁠(irrational number)⁠ $\sqrt2$는 $x^2 - 2 = 0$의 근이고, 황금비⁠(golden ratio)⁠ $\varphi$는 $x^2 - x - 1 = 0$의 근, 허수⁠(imaginary number)⁠ 단위 $i$는 $x^2 + 1 = 0$의 근입니다. 이처럼 0이 아닌 정수 계수 다항식(계수가 모두 정수인 다항식)의 근이 되는 수를 대수적 수라 하고(모든 계수가 0인 다항식은 모든 수를 근으로 가지니 뺍니다), 어떤 정수 계수 다항식의 근도 되지 못하는 수를 초월수라 합니다. 분수 $p/q$는 $qx - p = 0$의 근이니 모든 유리수⁠(rational number)⁠가 대수적이고, 1의 거듭제곱근⁠(roots of unity)⁠도 $z^n - 1 = 0$의 근이라 대수적입니다. 근은 복소수⁠(complex number)⁠일 수 있으니 복소평면⁠(complex plane)⁠에 그립니다.

대수적 수에는 번호를 붙일 수 있습니다. 다항식 $a_nx^n + \cdots + a_0$의 높이를 $(n-1) + |a_n| + \cdots + |a_0|$로 정하면(칸토어가 1874년에 쓴 방법), 높이가 같은 다항식은 유한 개이고 각각의 근은 차수보다 많지 않습니다. 높이 1, 2, 3, … 순서로 근을 늘어놓으면 모든 대수적 수가 언젠가 목록에 오릅니다. 대수적 수 전체는 가산입니다. 높이 $h =$ 까지 모았습니다. 다항식 , 근 , 그중 서로 다른 수는 입니다.

수 하나를 골라 봅시다. :

실수는 셀 수 없고 대수적 수는 셀 수 있으니, 초월수는 있을 뿐 아니라 셀 수 없이 많습니다. 길이로 재도 거의 전부입니다. 대수적 수 전체는 측도 0⁠(measure zero)⁠이라, 0과 1 사이에서 고르게 고른 실수가 대수적일 확률⁠(probability)⁠은 0입니다. 원하는 대상을 하나도 만들지 않고 '무작위로 고르면 거의 확실히 그렇다'로 존재를 보이는 이 방식은 조합론⁠(combinatorics)⁠의 확률적 방법⁠(probabilistic method)⁠과 같은 정신입니다. 그림에서 점이 빽빽해 보여도, 목록으로 늘어놓을 수 있는 집합⁠(set)⁠은 길이를 차지하지 못합니다.

그런데 초월수를 하나 콕 집어 보이기는 훨씬 어렵습니다. 1844년 프랑스 수학자 조제프 리우빌이 처음으로 해냈습니다. 그는 먼저 대수적 수는 분수로 아주 잘 근사될 수 없다는 것을 보였습니다(분수 근사는 연분수⁠(continued fraction)⁠의 주제입니다). 정확히는 $n$차 다항식의 근인 무리수 $\alpha$마다 양수 $c$가 있어서, 어떤 분수 $p/q$를 가져와도 오차 $|\alpha - p/q|$가 $c/q^n$보다 큽니다. 분모를 키워도 오차가 $1/q^n$보다 훨씬 빨리 줄어들 수는 없다는 뜻입니다. 그러니 이보다 훨씬 빨리 근사되는 수는 어떤 차수의 다항식의 근도 될 수 없고, 리우빌은 그런 수를 직접 만들었습니다. 흔히 드는 예는 1이 $1!, 2!, 3!, \dots$번째(1, 2, 6, 24, … 번째) 자리에만 있는 십진 전개 $0.110001000\ldots$입니다. 1이 나오는 자리가 급격히 멀어져서, 앞부분에서 끊은 분수가 뒤따르는 긴 0들 덕분에 엄청나게 정확합니다.

$e$가 초월수라는 것은 1873년 프랑스의 샤를 에르미트가, $\pi$가 초월수라는 것은 1882년 독일의 페르디난트 폰 린데만이 증명했습니다. 린데만은 0이 아닌 대수적 수 $\alpha$에 대해 지수함수⁠(exponential function)⁠ 값 $e^{\alpha}$가 초월수임을 보였습니다. 오일러 공식⁠(Euler's formula)⁠ $e^{i\pi} = -1$에서 $-1$은 대수적이니 $i\pi$는 대수적일 수 없고, 따라서 $\pi$도 대수적일 수 없습니다($i$는 대수적이고 대수적 수끼리 곱하면 대수적이기 때문입니다).

여기서 오래된 문제 하나가 풀립니다. 자와 컴퍼스로 원과 넓이⁠(area)⁠가 같은 정사각형을 그리는 원적 문제입니다. 길이 1에서 시작해 자와 컴퍼스로 그릴 수 있는 길이는 모두 대수적 수입니다. 반지름 1인 원과 넓이가 같은 정사각형의 한 변은 $\sqrt\pi$인데 이것은 초월수이니, 원적 문제⁠(squaring the circle)⁠는 불가능합니다.

이어지는 곳. $e + \pi$가 초월수인지는 아직 모릅니다. 무리수인지조차 모릅니다. 그림의 근들은 뒤랑–커너 방법으로 구했습니다. $n$차 다항식의 근 $n$개를 대충 추측해 두고, 각 추측을 나머지 추측들을 참고해 동시에 고치기를 되풀이하는 반복법입니다. 추측을 조금씩 고쳐 근에 다가가는 뉴턴 방법⁠(Newton's method)⁠과 같은 생각입니다. 대수적 수가 차지하는 $\aleph_0$와 실수 전체의 $2^{\aleph_0}$ 사이에 다른 크기가 있는지는 연속체 가설⁠(continuum hypothesis)⁠의 질문이고, 크기를 비교하는 규칙은 집합의 크기⁠(cardinality)⁠에 있습니다.