미적분의 기본정리(Fundamental theorem of calculus)

정적분⁠(definite integral)⁠의 오른쪽 끝을 변수로 두면 새 함수⁠(function)⁠, 넓이 함수 $A(x)$가 생깁니다. 끝점을 $x =$ 까지 옮기며 쌓인 넓이를 아래에 기록해 봅시다.

아래 그래프의 접선 기울기(지금 )는 위 그래프의 높이 $f(x)$(지금 )와 같습니다. 이유는 간단합니다. 끝점을 조금 $h$만큼 밀면 넓이는 폭 $h$, 높이 약 $f(x)$인 얇은 띠만큼 늘어납니다. 그러니 넓이의 평균변화율⁠(average rate of change)⁠은 띠의 평균⁠(mean)⁠ 높이이고, h → 0의 극한⁠(limit)⁠에서 정확히 $f(x)$가 됩니다.

마지막 걸음에는 조건이 하나 숨어 있습니다. 띠의 평균 높이가 $f(x)$로 다가가려면 f가 x에서 연속이어야 합니다. f가 x에서 뚝 끊겨 도약하면, 띠의 높이는 왼쪽에서는 아래 값, 오른쪽에서는 위 값에 가까워집니다. 그러면 A(x)는 그 점에서 꺾이고 미분할 수 없습니다.

그래서 "넓이 구하기"는 "미분해서 $f$가 되는 함수 찾기"로 바뀝니다. 연속함수 f에 대해 $F' = f$인 F를 하나 찾으면 $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$입니다(그런 F끼리는 상수만큼만 달라서, 어느 것을 골라도 빼기에서 상수가 지워집니다). 도함수⁠(derivative function)⁠ 공식이 곧 적분 공식이 되는 셈입니다. eˣ처럼 미분해도 그대로인 함수는 적분해도 상수 차이를 빼면 그대로입니다($\int_0^x e^t\,dt = e^x - 1$).

이 사실을 계산법으로 쓴 사람은 17세기 후반의 뉴턴과 라이프니츠이고, 기하학적 형태로는 조금 앞서 스코틀랜드의 제임스 그레고리(1668)와 케임브리지의 아이작 배로(1670)도 증명했습니다.

이 정리로 곡선 1/t 아래 1부터 x까지의 넓이를 미분하면 1/x가 됩니다. $\ln x$도 도함수가 1/x이고 둘 다 x = 1에서 0이니, 그 넓이 함수⁠(area function)⁠가 자연로그⁠(natural logarithm)⁠임을 알 수 있습니다. 하지만 한계도 있습니다. 다항식⁠(polynomial)⁠, 지수함수⁠(exponential function)⁠, 로그, 삼각함수⁠(trigonometric function)⁠를 사칙연산과 합성으로 유한 번 엮은 함수(초등함수⁠, elementary function⁠) 가운데 미분해서 e^(−x²)이 되는 것은 없습니다(19세기 리우빌의 이론). 그런 함수가 아예 없다는 뜻은 아닙니다. 넓이 함수 자체가 바로 그런 함수이고, 식으로 짧게 적을 수 없을 뿐입니다.

"미분한 뒤 적분하면 원래 함수가 변한 양으로 돌아온다"는 말에도 조건이 필요합니다. 칸토어 함수(악마의 계단⁠, devil's staircase⁠)는 0에서 1까지 끊김 없이 오르는데, 오르는 일은 전부 칸토어 집합⁠(Cantor set)⁠의 점들 위에서만 일어납니다. 칸토어 집합은 길이를 모두 합해도 0인 점들의 모임입니다(측도 0⁠, measure zero⁠). 그 밖의 모든 점, 곧 '거의 모든 점⁠(almost everywhere)⁠'에서 기울기⁠(slope)⁠는 0입니다. 그래서 기울기를 적분하면 0이지만 실제로 오른 양은 1입니다. 함수의 도함수가 모든 점에서 존재하고 연속이면 이런 일은 없습니다. 이런 함수까지 가려내는 가장 일반적인 조건('절대연속⁠(absolute continuity)⁠')은 르베그 적분⁠(Lebesgue integral)⁠의 언어로 적습니다.