벡터(Vector)
크기와 방향을 가진 양. 화살표로 그리고, 이어 붙여 더하고, 수를 곱해 늘인다.
벡터는 "어느 방향으로 얼마만큼"을 담은 화살표입니다. 두 벡터를 더하려면 한 화살표의 끝에 다른 화살표를 이어 붙입니다. 순서를 바꿔 붙여도 같은 곳에 도착하니 두 경로가 평행사변형을 이룹니다. 수
이 두 연산을 지키는 함수(function), 곧
평면의 벡터
벡터의 길이는 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)로 재고, 두 벡터가 얼마나 같은 방향인지는 내적(dot product)으로 잽니다. 통계(statistics)에서도 같은 그림이 쓰입니다. 측정값 n개(예: 학생 n명의 키)를 한 줄로 늘어놓으면 n차원 공간의 벡터 하나가 됩니다. 각 값에서 평균(mean)을 뺀 벡터를 만들면, 그 길이의 제곱을 n으로 나눈 값이 분산(variance)이고(표본(sample)으로 모집단(population)을 어림할 때는 n − 1로 나누기도 합니다), 두 측정(키와 몸무게)에서 각각 평균을 뺀 두 벡터가 이루는 각의 코사인(cosine)이 상관계수(correlation coefficient)입니다. 흩어진 정도와 함께 움직이는 정도가 길이와 각도의 문제가 됩니다.
두 벡터의 차의 길이를 내적으로 풀어 쓰면 코사인 법칙(law of cosines)이 나옵니다. 끼인각이 90°이면 내적이 0이라 피타고라스 정리로 돌아옵니다.
이 개념이 나오는 긴 글
이 개념 위에 세워진 것
이 개념을 언급하는 페이지
- 복소수
… 가로축이 실수, 세로축이 허수 방향입니다. 두 복소수 z = , w = 를 끌어 보세요. 합 는벡터처럼 화살표를 이어 붙인 곳입니다. 여기까지는 벡터와 다를 게 없습니다. 복소수가 특별해지는 건 곱셈 …
- 선형변환
선형변환은벡터를 벡터로 보내는 함수인데, 더하기와 수 곱하기를 보존합니다. 두 벡터를 먼저 더한 뒤 보내나 따로 …
- 내적
두벡터\vec u, \vec v 를 끌어 보세요. 성분끼리 곱해 더한 값 \vec v 를 \vec u 방향에 …
- 피타고라스 정리
… 성분의 제곱을 모두 더해 제곱근을 씌우면 됩니다. 복소수의 크기 |a + bi| 도, 내적으로 잰벡터의 길이 \|\vec v\|^2 = \vec v\cdot\vec v 도 같은 식입니다. 단위원 위의 …
- 코사인 법칙
… 90° = 0) 피타고라스 정리로 돌아옵니다. 둔각이면 그림자가 반대쪽을 향해 보정항이 더해집니다.벡터로 쓰면 한 줄입니다. 두 변을 \vec a, \vec b 라 하면 \|\vec a - \vec b\|^2 …
- 사인파: 진폭·주기·위상
… t+\varphi)} 로 쓰면 사인파는 그 허수부입니다(오일러 공식). 전기공학에서 교류를 이렇게 도는화살표(페이저)로 계산하는 이유입니다. 선형 회로가 한 진동수의 교류로 안정되게 돌 때는 전압과 전류가 모두 …
- 가우스 소거법
… 한 걸음 더 가도 각 상태에 있을 확률이 바뀌지 않는 분포도 연립방정식을 소거해 구합니다. 행 연산은 행을벡터로 보고 더하고 늘이는 일이니, 소거법은 선형변환을 한 단계씩 풀어 되돌리는 일이기도 합니다.
- 열공간
행렬 A 에벡터\vec x 를 곱하면 A\vec x = x_1\vec a_1 + x_2\vec a_2 , 곧 열들 을 …
- 로렌츠 끌개
… 온도 차, z는 세로 온도 분포가 곧은 직선에서 벗어난 정도입니다. 공간의 점 (x, y, z)마다 속도벡터가 하나씩 정해지고, 해는 그 벡터를 따라 흐르는 곡선입니다. 매개변수는 로렌츠가 쓴 \sigma = …
- 상관관계
… 회귀⟧의 정체입니다. 기하로 보면 r은 코사인입니다. 편차 x_i-\bar x 들을 모아 n차원벡터하나를, y의 편차로 또 하나를 만들면 공분산은 두 벡터의 내적에 비례하고, r은 두 벡터 사이 각 …
- 심슨의 역설
… 합치면 음수가 될 수 있습니다. 상관관계의 부호가 뒤집히는 것입니다. 비율을 (환자 수, 성공 수)벡터로 그려도 보입니다. 이 화살표의 기울기가 곧 성공률입니다. 두 무리를 합치는 것은 두 화살표를 이어 붙여 …
- 평행선 공준
… 피타고라스 정리가 성립한다. 그리고 그 일반형인 코사인 법칙도 이 공준 위에 서 있습니다.벡터의 덧셈처럼 화살표를 "평행하게 옮겨" 붙이는 일도 이 공준에 기댑니다. 2,000년 가까이 수학자들은 …
- 구면기하
… 구의 중심에서 이루는 각(중심각)을 라디안으로 잰 값과 같습니다. 두 점을 중심에서 뻗은 길이 1인벡터로 두면 그 각은 \arccos(\vec A\cdot\vec B) 입니다(내적). 세 변을 잇는 식은 …
- 측지선
… 합니다. 적도가 아닌 위선은 대원보다 작은 원이기 때문입니다. 두 도시를 지구 중심에서 뻗은 길이 1인벡터\vec A, \vec B 로 두면 대원 거리는 R\arccos(\vec A\cdot\vec B) …
- 코사인 유사도
두벡터가 얼마나 같은 쪽을 가리키는지는 사이각 θ가 알려 줍니다. 각을 직접 재기보다 그 코사인을 쓰는 …
- 자카드 지수
… 두 지역에 공통으로 사는 종의 비율을 재려고 쓴 '공동체 계수'가 바로 이 값입니다. 집합을 0과 1의벡터로 보면 교집합의 크기는 내적이 되고, 같은 내적을 다른 방식으로 나누면 코사인 유사도가 …
- 쇠렌센–다이스 계수
… 토르발 쇠렌센이 1948년에 여러 곳의 식물 군락을 비교하려고 같은 식을 썼습니다. 집합을 0과 1의벡터로 적으면 D = 2\,\vec a\cdot\vec b/(|\vec a|^2+|\vec b|^2) 이고, …
- 유클리드 거리
… \sqrt{21.53} \approx 4.640 입니다. 제곱을 하나씩 더할 뿐이니 좌표가 n개인 n차원벡터에도 같은 식이 통합니다. 맨 위의 공식이 그것으로, 좌표마다 차이를 제곱해 모두 더한 뒤 제곱근을 …
- 맨해튼 거리
… 0에서 뾰족하게 꺾여 미분할 수 없는 점이 있으니 최적화가 조금 까다롭습니다. 성분의 절댓값 합은벡터의 크기를 재는 한 방법, 곧 p = 1인 Lp 노름입니다. 이어지는 곳. 이 거리도 세 규칙을 지키는 …
- Lp 노름
벡터의 크기를 재는 방법은 하나가 아닙니다. 성분마다 크기를 p제곱해 더한 뒤 p제곱근을 씌우는 것이 Lp …
- 단어 임베딩
… '개'는 그냥 서로 다른 기호입니다. 둘이 '고양이'와 '바나나'보다 가깝다는 것을 알려 주려면 낱말을벡터로, 곧 수의 목록으로 바꿔야 합니다. 실마리는 분포 가설입니다. 1950년대 언어학자 젤리그 해리스와 존 …
- 퍼셉트론
… w\cdot\vec x 이므로, 답이 바뀌는 경계 \vec w\cdot\vec x + b = 0 은벡터\vec w 에 수직인 직선입니다. 청록 화살표 w를 끌고 편향 b = 를 바꿔 보세요. 배경 색이 …
- 오류 정정 부호
… XOR로 더해도 다시 부호어가 된다는 뜻입니다. 비트를 2로 나눈 나머지의 수로 보면 데이터벡터에 생성 행렬을 곱한 것이 부호어이니, 부호어들은 생성 행렬의 열공간입니다. 받은 비트열에 검사 …
- 공리와 공준
… 너머로 퍼졌습니다. 1933년 콜모고로프는 확률을 공리 세 개 위에 세웠고, 거리(거리 함수),벡터공간, 군도 모두 몇 개의 공리로 정의됩니다. 공리를 만족하는 모든 대상에 대해 정리를 한꺼번에 증명할 …
- 사원수
… + \sin\tfrac{\theta}{2}\,(u_x i + u_y j + u_z k) 하나로 적힙니다.벡터\vec v 를 실수부가 0인 사원수 v_x i + v_y j + v_z k 로 보고 …
- 자연 변환
… 타입으로는 적을 수 없습니다. 수학에서 '자연스럽다'는 말은 원래 이런 뜻으로 쓰였습니다. 유한 차원 실수벡터공간 V와 그 쌍대 공간 V*(V에서 실수로 가는 선형 함수들의 공간)는 차원이 같아 동형이지만, 동형 …
- 님과 스프라그–그런디 정리
… 원소가 자기 자신의 역원이라, 음 아닌 정수들이 님 합에 대해 군을 이룹니다. 이 군은 2원소 체 위의벡터들을 더하는 것과 같습니다. 이진법의 각 자리가 좌표 하나입니다. 스프라그–그런디 정리. 님의 풀이는 님 …