케네스 애로(Kenneth Arrow)

케네스 애로는 1921년 뉴욕에서 루마니아계 유대인 이민자 집안에서 태어났습니다. 대공황으로 집안이 어려워지자 학비가 들지 않는 뉴욕 시티 칼리지에 다녔고, 1940년 수학을 전공해 졸업했습니다. 그가 일하기 시작한 1940년대에 경제학은 수학을 막 받아들이던 참이었습니다. 폰 노이만과 모르겐슈테른의 『게임 이론⁠(game theory)⁠과 경제 행동』(1944)이 나왔고, 전쟁은 작전 연구와 통계⁠(statistics)⁠를 정부의 도구로 만들었습니다. 애로는 이 흐름 속에서 "여러 사람의 선호를 모아 하나의 결정을 내린다는 것은 무슨 뜻인가"를 처음으로 정리의 모양으로 물었습니다.

나이 세 ·

그는 컬럼비아 대학에서 통계학자 해럴드 호텔링에게 배우다 전쟁을 맞아 육군 항공대의 기상 장교로 일했습니다. 한 달 뒤의 날씨를 예보하는 부서에서, 그와 동료들이 예보를 통계로 검증해 보니 우연보다 나을 것이 없었다는 일화를 애로 자신이 여러 번 전했습니다. 전쟁 뒤 시카고의 카울스 위원회를 거쳐, 1949년 여름 미 공군의 지원을 받는 RAND 연구소에서 일할 때 논리학자 올라프 헬머가 물었습니다. 게임 이론은 나라 하나를 한 사람처럼 선호를 가진 참가자로 놓는데, 개인의 선호는 정의할 수 있다지만 나라의 선호란 무엇인가?

애로의 답이 1951년의 『사회 선택과 개인의 가치』입니다. 사람들의 순위를 모아 사회의 순위를 내는 규칙에 네 가지 조건을 겁니다. 어떤 순위 조합이든 받는다, 결과도 앞뒤가 맞는 순위다, 모두가 A를 B보다 좋아하면 사회도 그렇다, 그리고 A와 B의 사회적 순서는 사람들이 A와 B 사이를 어떻게 적었는지에만 달려 있다. 후보가 셋 이상이고 유권자가 유한하면 이 넷을 모두 지키는 규칙은 한 사람의 순위를 그대로 따르는 독재뿐이라는 것이 애로의 불가능성 정리⁠(Arrow's impossibility theorem)⁠입니다. 1785년 콩도르세가 적은 다수결의 순환(위의 식)은 이 정리가 막는 현상의 가장 작은 예입니다. 이 책은 그해 컬럼비아 대학의 박사 논문이 되었습니다.

1954년 그는 제라르 드브뢰와 함께, 여러 상품과 여러 사람이 있는 경쟁 시장에서 모든 시장의 수요와 공급을 동시에 맞추는 가격이 존재한다는 것을 증명했습니다. 열쇠는 모든 연속 변환에 제자리에 머무는 점이 있다는 고정점⁠(fixed point)⁠ 정리였습니다. 이 증명은 레옹 발라 이래 경제학자들이 식의 수와 미지수의 수를 세어 짐작하던 것을 처음으로 엄밀하게 만들었습니다. 1963년에는 의사와 환자 사이의 정보 차이와 불확실성 때문에 의료가 보통의 시장처럼 움직이지 않는다는 논문을 써 보건 경제학의 출발점을 놓았습니다. 1972년 그는 존 힉스와 함께 노벨 경제학상을 받았고, 당시 51세로 이 상의 가장 젊은 수상자였습니다. 스탠퍼드와 하버드에서 가르쳤고, 2017년 캘리포니아 팰로앨토에서 세상을 떠났습니다.

그의 정리는 비슷한 불가능성 정리들을 낳았습니다. 당선자 하나를 정하는 규칙에서 거짓 순위가 이득이 되는 경우가 반드시 생긴다는 기바드–새터스웨이트 정리, 안정적인 짝짓기에서 양쪽 모두에게 솔직함이 최선일 수는 없다는 로스의 정리가 그렇습니다(안정 매칭⁠, stable matching⁠). 거꾸로 조건을 늦추면 가능성이 열립니다. 모든 사람의 선호가 한 줄 위에 놓이고 봉우리가 하나이며 사람 수가 홀수이면 중앙값⁠(median)⁠에 있는 사람이 좋아하는 후보가 다수결의 승자가 됩니다.

이어지는 곳. 정리의 조건과 증명의 뼈대는 애로의 불가능성 정리에서 한 단계씩 넘겨 볼 수 있습니다. 투표의 순환을 직접 만들어 보고, 이 정리를 불변량⁠(invariant)⁠·세기·대각선이라는 불가능성 증명의 세 무기와 나란히 놓아 보는 일은 「불가능의 증명」 8절이, 짝짓기 시장의 불가능성과 그 설계는 「짝을 찾는 알고리즘⁠(algorithm)⁠」이, 게임 이론의 출발은 「이기는 쪽이 존재한다」가 따라갑니다.

관계.

• 영향을 받음 존 폰 노이만 — 폰 노이만의 게임 이론은 1940년대 RAND에서 애로가 받은 질문의 배경이었고, 애로–드브뢰의 균형 존재 증명에 쓴 가쿠타니의 고정점 정리⁠(fixed-point theorem)⁠는 폰 노이만의 최소최대 정리⁠(minimax theorem)⁠를 넓히려고 나온 것이었습니다.

연표.

• 1940년 뉴욕 시티 칼리지를 졸업하다
• 1941년 컬럼비아 대학에서 석사 학위를 받고, 해럴드 호텔링에게 통계와 경제학을 배우다
• 1942년 2차 세계대전 동안 육군 항공대의 기상 장교로 일하다
• 1947년 시카고의 카울스 위원회에 들어가다
• 1949년 여름 RAND 연구소에서 사회의 선호에 관한 질문을 받고, 스탠퍼드 대학으로 옮기다
• 1951년 『사회 선택과 개인의 가치』를 펴내고 컬럼비아에서 박사 학위를 받다
• 1954년 드브뢰와 함께 경쟁 시장의 균형이 존재함을 증명하다
• 1963년 의료 시장의 불확실성에 관한 논문을 쓰다
• 1968년 하버드 대학으로 옮기다
• 1972년 존 힉스와 함께 노벨 경제학상을 받다
• 1979년 스탠퍼드 대학으로 돌아오다