중간값 정리(Intermediate value theorem)

연속인 곡선이 x축 아래에서 위로 가려면 어딘가에서 x축을 지나야 합니다. 당연해 보이지만 수직선의 수가 "빈틈없이" 채워져 있어야 성립합니다. 실수⁠(real number)⁠가 바로 그런 수이고, 분수로 쓸 수 있는 유리수⁠(rational number)⁠만으로는 모자랍니다(수 체계⁠(number system)⁠). 유리수만 있는 세상에서는 $x^2 - 2$가 1에서 음수, 2에서 양수인데도 0이 되는 유리수가 없습니다. 그 자리의 $\sqrt 2$는 무리수⁠(irrational number)⁠이니까요. 1817년 프라하의 신부이자 수학자 베른하르트 볼차노는 이 정리를 그림에 기대지 않고 수의 성질만으로 증명하려 한 논문을 냈습니다.

정리의 증명은 그대로 알고리즘⁠(algorithm)⁠이 됩니다. 이분법입니다. 가운데 점의 부호를 보고, 부호가 바뀌는 쪽 반만 남깁니다(위 단추로 한 단계씩 넘겨 볼 수 있습니다). 단계 후 근은 근처, 폭 인 구간 안에 있습니다. 한 단계마다 정확한 10진법⁠(positional notation)⁠ 자릿수가 약 0.3개씩 늘어납니다. 자릿수 하나를 더 알려면 구간이 1/10로 줄어야 하는데, 반으로 자르기를 약 3.3번 해야 1/10이 되기 때문입니다($\log_{10} 2 \approx 0.3$). 접선⁠(tangent line)⁠을 쓰는 뉴턴 방법⁠(Newton's method)⁠은 근 근처에서 훨씬 빠르지만, 이분법⁠(bisection method)⁠은 연속함수에서 부호가 다른 두 점만 있으면 절대 실패하지 않습니다. 정렬된 목록에서 값을 찾는 이진 탐색⁠(binary search)⁠도 같은 방법이라, 백만 개 가운데서도 스무 번 안팎이면 찾습니다($2^{20} \approx 10^6$).

폭이 0으로 줄어드는 닫힌 구간들이 겹겹이 포개지면 정확히 한 점으로 모입니다. 이 사실도 실수에 빈틈이 없기 때문에 성립합니다. 이 구조는 진법 전개와 같습니다. 처음 구간을 [0, 1]로 보고, 이분법의 매 단계에서 왼쪽 반을 남기면 0, 오른쪽 반을 남기면 1이라고 적으면 그 기록이 곧 근의 2진법 자릿수입니다. 칸토어 집합⁠(Cantor set)⁠도 같은 틀로 만듭니다. 구간을 셋으로 나눠 가운데를 버리고 양쪽을 남기는 일을 끝없이 되풀이하는데, 남는 점 하나하나는 '매번 왼쪽 또는 오른쪽'이라는 끝없는 선택의 기록, 곧 3진법⁠(ternary)⁠에서 숫자 0과 2만으로 적을 수 있는 수에 대응합니다(1/3 = 0.1₃도 0.0222…₃로 적을 수 있으니 남습니다).