기하(Geometry)

측지선(Geodesic)

곡면 위에서 좌우로 꺾지 않고 곧게 가는 길, 곧 곡면의 '직선'. 가까운 두 점 사이에서는 가장 짧은 길이다.

d = R\arccos\left(\sin\varphi_1\sin\varphi_2 + \cos\varphi_1\cos\varphi_2\cos\Delta\lambda\right)

먼저 보면 좋은 개념구면기하 정적분

평면에서 가장 짧은 길은 직선입니다. 곡면 위에는 직선이 없지만 가장 짧은 길은 여전히 있습니다. 곡면을 벗어나지 못하는 개미가 좌우로 꺾지 않고 똑바로 걸어간 길을 측지선이라 부르고, 가장 짧은 길은 언제나 측지선입니다. 곡선의 길이는 작은 조각의 길이 $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$ (피타고라스 정리⁠, Pythagorean theorem⁠)를 모두 더한 적분⁠(integral)⁠입니다. 측지선은 곡선을 조금 흔들어도 이 적분이 1차로는 변하지 않는 곡선이고, 짧은 구간에서는 가까운 어떤 곡선보다도 짧습니다. 수 하나가 아니라 곡선 전체를 고르는 최적화⁠(optimization)⁠인 셈이고, 이런 문제를 다루는 분야가 변분법⁠(calculus of variations)⁠입니다.

구에서 측지선은 대원⁠(great circle)⁠입니다. 서울과 샌프란시스코는 거의 같은 위도(북위 약 38°)에 있고 경도는 약 110° 떨어져 있습니다. 위도 $\varphi =$ , 경도 차 $\Delta\lambda =$ 인 두 도시를 이어 봅시다. 위선을 따라 동쪽으로 가면 , 대원을 따라 가면 로 짧습니다. 대원 항로⁠(great-circle route)⁠는 북쪽으로 불룩하게 휘어 북위 까지 올라갑니다. 북반구의 여객기가 지도에서 북쪽으로 크게 돌아가는 것처럼 보이는 이유입니다.

오른쪽은 경도와 위도를 그대로 가로·세로로 편 지도입니다. 여기서는 위선이 곧게 보이고 대원 항로가 휘어 보이지만, 사실은 반대입니다. 위선을 따라 동쪽으로 걷는 개미는 줄곧 왼쪽(북쪽)으로 핸들을 꺾어야 합니다. 적도가 아닌 위선은 대원보다 작은 원이기 때문입니다. 두 도시를 지구 중심에서 뻗은 길이 1인 벡터⁠(vector)⁠ $\vec A, \vec B$ 로 두면 대원 거리⁠(great-circle distance)⁠는 $R\arccos(\vec A\cdot\vec B)$ 이고(내적⁠, dot product⁠), 이것을 위도와 경도로 풀어 쓴 것이 위의 공식입니다. 위선은 반지름이 $R\cos\varphi$ 인 원이라(코사인⁠, cosine⁠) 그 호의 길이는 $R\cos\varphi\,\Delta\lambda$ 입니다(Δλ는 라디안⁠(radian)⁠). 가까운 두 점에서는 arccos 안의 값이 1에 너무 가까워 반올림 오차⁠(round-off error)⁠가 커지므로, 반각의 사인⁠(sine)⁠을 쓰는 하버사인 공식⁠(haversine formula)⁠으로 계산하는 편이 더 정확합니다.

측지선은 '곧게 가는 길'이라서, 늘 가장 짧은 것은 아닙니다. 대원을 따라 반 바퀴보다 멀리 가면 반대 방향으로 도는 쪽이 더 짧습니다. 나란히 출발한 두 측지선이 어떻게 되는지는 가우스 곡률⁠(Gaussian curvature)⁠이 정합니다. 적도에서 둘 다 정북으로 출발한 두 경선은 북극에서 만나고(곡률⁠(curvature)⁠ 양수), 쌍곡평면⁠(hyperbolic plane)⁠에서는 점점 벌어집니다(곡률 음수). 푸앵카레 원판⁠(Poincaré disk)⁠에서 측지선은 경계에 수직인 원호입니다.

이어지는 곳.

연결망에서 두 점 사이를 가장 적은 단계(또는 가장 짧은 총 길이)로 잇는 길, 곧 최단 경로⁠(shortest path)⁠는 측지선의 이산판입니다. 곡면 대신 점과 선으로 된 그래프 위에서 가장 짧은 길을 찾는 일이라, 실제로 '측지 거리'라고도 부릅니다.
빛은 두 점 사이를 걸리는 시간이 가장 짧은 길(정확히는 길을 조금 바꿔도 시간이 1차로 변하지 않는 길)로 갑니다(페르마의 원리). 빛의 빠르기가 곳곳에서 다르면 이 길이 휘는데, 빛의 빠르기로 거리를 새로 잰 공간의 측지선을 따라가는 셈입니다.
일반 상대성 이론⁠(general relativity)⁠에서는 중력만 받으며 떨어지는 물체가 휘어진 시공간⁠(spacetime)⁠의 측지선을 따라 움직입니다. 행성이 태양 둘레를 도는 것도, 휜 시공간에서 '곧게' 나아간 결과입니다.

관련된 시대와 장소알렉산드리아 무세이온 괴팅겐

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이 개념이 나오는 긴 글

비유클리드 기하 평행선의 반란 유클리드의 다섯 번째 공준은 2,000년 동안 증명되지 않았다. 증명을 포기한 사람들이 찾은 것은 새로운 우주였다. 그래프 이론 일곱 다리의 도시 쾨니히스베르크의 일곱 다리를 한 번씩만 건너 산책할 수 있을까? 오일러는 지도를 지우고 점과 선만 남겼다. 혼돈 나비의 날갯짓 방정식이 정해져 있으면 미래도 정해질까? 소수점 아래 몇 자리를 버린 계산이 날씨 예보의 한계를 드러냈다. 거리와 유사도 까마귀와 택시 까마귀는 곧장 날고 택시는 블록을 돌아간다. '얼마나 먼가'에는 답이 하나가 아니고, 어떤 거리를 고르느냐가 통계와 기계 학습의 답을 바꾼다.

이 개념 위에 세워진 것

하버사인 공식 일반 상대성 이론

이 개념을 언급하는 페이지

단위원과 라디안
… 지나는 평면이 지구 표면을 자른 원이고, 구 위에서 두 점을 잇는 가장 짧은 길은 그 위에 있습니다(측지선). '거리 1인 점들'이 원이 되는 것은 유클리드 거리로 쟀기 때문입니다. 가로·세로로만 다닐 수 …
혼돈
… 위의 운동도 혼돈일 수 있습니다. 말안장처럼 곡률이 음수인 쌍곡 곡면에서는 가까이 나란히 출발한측지선들이 지수적으로 벌어집니다. 곡면이 유한한 크기로 닫혀 있으면 벌어진 길들이 다시 섞이니, 그 위를 마찰 …
평행선 공준
… 음수면 쌍곡기하입니다. 휜 공간에서 '직선' 역할을 하는 길, 가까운 두 점 사이에서는 가장 짧은 길이측지선입니다.
쌍곡기하
… 내각의 합이 180°보다 큰, 모든 것이 반대인 기하입니다. 쌍곡평면의 '직선'도 가장 짧은 길, 곧측지선입니다. 원의 둘레와 넓이가 지수적으로 커지는 성질은 가지가 갈라지는 나무 모양과 잘 맞습니다. 나무도 …
구면기하
구 위에서 '직선'은 가장 짧은 길, 곧측지선입니다. 구의 중심을 지나는 평면이 구를 자른 원, 대원 이 그것입니다. 적도와 경선은 대원이지만, 적도가 …
가우스 곡률
… 위에 삼각형을 그려 봅시다. 면을 으로 바꾸고, 크기를 m = 로 조절해 보세요. 세 변은 모두 그 면의측지선입니다. 측지선은 곡면을 벗어나지 않고 갈 수 있는 가장 곧은 길로, 가까운 두 점 사이에서는 가장 짧은 …
푸앵카레 원판
… 달라집니다(펠릭스 클라인). 지도는 달라도 기하는 하나입니다. 어느 모형에서든 직선은 가장 짧은 길인측지선이고, 가우스 곡률은 어디서나 −1이며, 평행선 공준은 성립하지 않습니다.
최단 경로
… 그래프 대신 매끄러운 곡면 위에서 두 점을 잇는 가장 짧은 곡선(예를 들어 지구 위의 대원 항로)이측지선입니다. 좁은 세상은 거대한 연결망에서 최단 경로가 놀랄 만큼 짧다는 관찰이고, 모든 도로를 적어도 한 …
코사인 유사도
… 끝은 1.5만큼 떨어졌는데 가운데를 거치면 0.5 + 0.5 = 1이면 됩니다. 각 θ 자체, 곧 구면 위측지선의 길이는 진짜 거리입니다. 길이를 무시하는 것이 왜 좋을까요? 문서를 단어마다 나온 횟수를 적은 벡터로 …
거리 함수
… 거리⟧를 떠올립니다. 하지만 택시가 실제로 달린 거리, 두 단어가 얼마나 다른지, 지구 위 두 도시 사이의측지선길이도 모두 '거리'라고 부릅니다. 수학은 이것들의 공통점만 뽑아 정의합니다. 집합 X 의 두 원소에 …
보로노이 다이어그램
… 됩니다. 불이 났을 때 어느 소방서가 가장 빨리 닿는지 정하는 지도입니다. 지구 전체라면 대원을 따른측지선거리로 구면을 나눕니다(구면기하). 비트열을 해밍 거리로 나눈 영역은 오류 정정 부호의 해독 …
하버사인 공식
… 지구 위 두 점 사이의 가장 짧은 길은 지구 중심을 지나는 평면이 지표를 자른 원, 곧 대원을 따라가는측지선입니다(구면기하). 그 길이는 지구 반지름 R(평균 약 6,371 km)에 두 점이 지구 중심에서 …
일반 상대성 이론
… 중력은 힘이 아니라 시공간의 휘어짐이고, 자유롭게 움직이는 물체는 휜 시공간 속에서 가장 곧은 길, 곧측지선을 따라갑니다. 미국의 물리학자 존 휠러는 이를 "시공간은 물질에게 어떻게 움직일지 말하고, 물질은 …
변분법
… 사실을 따로 보여야 하기 때문이고, 이 빈틈도 바이어슈트라스가 메웠습니다. 곡면 위의 가장 짧은 길은측지선이고, 일반 상대성 이론에서 행성은 시공간의 측지선을 따라가며, 아인슈타인 방정식 자체도 힐베르트가 …
가우스–보네 정리
… 따라 북극으로 돌아오는 삼각형을 생각합시다. 세 변은 모두 구 위에서 가장 짧은 길인 대원의 호, 곧측지선입니다. 그런데 세 각이 모두 90°라서 합이 270°입니다. 180°보다 90°가 큽니다. 남는 90°가 …

이 페이지가 가리키는 개념

피타고라스 정리 최적화 변분법 벡터 내적 사인과 코사인 하버사인 공식 가우스 곡률 쌍곡기하 푸앵카레 원판 최단 경로 그래프 피에르 드 페르마 일반 상대성 이론