선형변환(Linear transformation)

이 개념 위에 세워진 것

이 개념을 언급하는 페이지

• 함수

  … 함수⟧가 됩니다. 입력과 출력이 꼭 수 하나일 필요는 없습니다. 평면의 점을 평면의 점으로 보내는 함수가선형변환이고, 복소수를 복소수로 보내는 함수는 그래프를 그릴 공간이 모자라 색으로 칠해서 봅니다. 함수를 …

• 기울기

  … 됩니다. 기울기 m 인 직선 y = mx 는 "입력에 m 을 곱하는" 함수이기도 합니다. 가장 단순한선형변환, 1×1 행렬이 바로 기울기입니다. 그래서 국소 선형성은 "매끄러운 곡선도 확대하면 기울기 하나로 …

• 벡터

  … f(\vec u) + f(\vec v) 이고 f(c\,\vec u) = c\,f(\vec u) 인 함수가선형변환입니다. 선형변환을 해도 원점을 지나는 제 직선을 벗어나지 않는 0이 아닌 벡터, 곧 수배(늘이기, …

• 국소 선형성

  … 평면을 평면으로 보내는 휘어진 변환도 미분 가능한 점을 확대하면 격자가 곧게 펴지고, 그 점 근처에서는선형변환, 곧 행렬 하나처럼 움직입니다. 이 행렬이 편미분을 늘어놓은 야코비 행렬입니다. 1차원에서 …

• 정적분

  … 계산할 수 있게 됩니다. 넓이가 몇 배로 바뀌는지는 선형대수에서도 중요합니다. 평면을 늘이거나 기울이는선형변환은 모든 도형의 넓이를 같은 비율로 바꾸는데, 그 비율(뒤집히면 음수)이 행렬식입니다. 적분에서 변수를 …

• 복소수 곱셈

  … 뿐 찌그러지지 않습니다. 극형식으로 보면 당연합니다. 거리는 곱해지고 각도는 더해지니까요. 이 변환은선형변환이기도 해서 행렬로 쓸 수 있습니다. 1은 w 로, i는 iw 로 가니, 그 둘을 열로 세운 …

• 행렬

  행렬 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} 의 두 열은선형변환이 두 기준 벡터를 보내는 곳입니다. 성분을 바꿔 보세요: a = , b = , c = , d = . 노란 …

• 행렬식

  단위 정사각형(넓이 1)은선형변환뒤에 평행사변형이 됩니다. 그 넓이가 행렬식입니다. 다만 앞뒤가 뒤집히면 넓이에 음수 부호를 붙입니다. 두 …

• 행렬의 곱

  먼저 를 하고, 이어서 를 해 봅시다. 둘을 합친 변환도선형변환이니 행렬 하나로 적을 수 있고, 그것이 두 행렬의 곱입니다. 왼쪽은 "먼저 → 다음" 순서, 오른쪽은 …

• 고유벡터와 고유값

  대부분의 벡터는선형변환뒤에 방향이 바뀝니다. 노란 벡터 \vec v 를 돌려 보세요. 분홍 A\vec v 가 \vec v 와 …

• 정사영

  … u 이고 수선의 발은 (\vec p\cdot\hat u)\,\hat u 입니다. 정사영도선형변환이라 행렬 P로 쓸 수 있습니다. 이미 직선 위에 있는 점은 그대로 있으니 두 번 해도 한 번 한 것과 …

• 삼각함수의 덧셈정리

  … = (1, 0) , \hat\jmath = (0, 1) 를 생각합시다. 두 번째 회전 R_\beta 는선형변환이라 초록 화살표 (\cos\alpha, \sin\alpha) 를 " \cos\alpha 만큼의 …

• 단사·전사·전단사

  … 존재합니다. 이것이 RSA 암호 같은 암호의 바탕입니다. 선형대수에서도 똑같습니다. 행렬이 나타내는변환이 전단사이려면 행렬이 정사각이어야 하고(입력과 출력의 차원이 같아야 하고), 정사각행렬에서는 전단사인 …

• 가우스 소거법

  … 않는 분포도 연립방정식을 소거해 구합니다. 행 연산은 행을 벡터로 보고 더하고 늘이는 일이니, 소거법은선형변환을 한 단계씩 풀어 되돌리는 일이기도 합니다.

• 열공간

  … 정사각행렬은 열공간이 공간 전체일 때, 곧 행렬식이 0이 아닐 때만 모든 b에 대해 풀립니다.선형변환으로 보면 열공간은 변환이 공간 전체를 보내는 곳, 곧 치역입니다. 풀리지 않을 때는 열공간에서 b에 가장 …

• 마할라노비스 거리

  … \Sigma 의 역행렬로 계산합니다. 그 뜻은 좌표를 보면 드러납니다. \Sigma^{-1/2} 라는선형변환을 걸면 비스듬한 구름이 모든 방향으로 분산이 1이고 상관이 0인 둥근 구름이 되고(백색화), 청록 타원은 …

• 체비쇼프 거리

  … = \max(|\Delta u|, |\Delta v|) 가 됩니다. 마름모를 돌리고 늘리면 정사각형이 되는선형변환입니다. 3차원부터는 이런 관계가 성립하지 않습니다. 3차원에서 L1의 '구'는 꼭짓점이 6개인 …

• 신경망

  … 더하는 일입니다. 구부리는 함수 없이 층을 쌓으면 행렬의 곱은 다시 행렬 하나이므로, 몇 층을 쌓아도선형변환하나(와 평행이동)와 다를 바가 없습니다. 층 사이에 비선형 함수를 끼워야 쌓는 의미가 생깁니다. 요즘은 …

• 이산 코사인 변환

  … 같은 원리입니다. 각 기저는 진폭과 진동수를 가진 사인파를 표본으로 뽑은 것이고, 변환 전체는 하나의선형변환입니다. 소리나 그림을 애초에 표본으로 뽑아도 되는 까닭은 표본화 정리가 말해 주고, 계수마다 몇 …

• 사영기하

  … (x, y)의 무한원점입니다(동차 좌표). 그러면 평면의 사영 변환은 세 수에 3×3 행렬을 곱하는선형변환이 됩니다(결과도 비로만 읽습니다). 컴퓨터 그래픽이 3차원 장면을 화면에 원근법으로 그릴 때도 같은 …

• 일반 상대성 이론

  … 원뿔곡선이라는 뉴턴의 답과 셋 이상일 때의 어려움은 삼체 문제에, 좌표를 바꾸는 변환의 대수는선형변환과 사원수에 있습니다. 1905년 무렵 푸앵카레도 특수 상대성 이론의 수학적 구조를 거의 같은 …

• 사원수

  … 회전 행렬로 쓰면 회전축은 고유값 1의 고유벡터이고, 회전을 잇따라 하는 것은 행렬의 곱입니다(선형변환). ±1, ±i, ±j, ±k 여덟 원소는 곱셈에 대해 교환법칙이 성립하지 않는 작은 군(사원수군)을 …

• 특잇값 분해

  … & 5 \end{bmatrix} 가 평면을 어떻게 바꾸는지 봅시다. 길이 1인 벡터들의 끝, 곧 단위원은선형변환을 거치면 타원이 됩니다. 이 타원의 가장 긴 반지름은 \sqrt{45} \approx 6.708 , 가장 …

• 기울기 벡터와 야코비 행렬

  … F(P) + J\,\vec h 국소 선형성은 이제 이런 뜻이 됩니다. P 근처에서 F는 행렬 J로 나타나는선형변환에 평행이동을 더한 것처럼 보입니다. 사상: , 작은 정사각형의 한 변 h = 왼쪽의 점 P(정사각형의 …

• 합성곱 신경망

  … 그 응답을 필터로 삼은 합성곱입니다. 행렬로 쓰면 합성곱은 각 행이 윗줄을 한 칸씩 돌린 순환 행렬이고(선형변환), 모든 순환 행렬은 같은 고유벡터, 곧 1의 거듭제곱근으로 만든 복소 사인파들을 공유합니다. …

• 어텐션

  … 따라 정규분포에 가까워집니다. √d 계산은 그 분포의 폭을 잰 것입니다. 쿼리·키·값을 만드는 행렬은선형변환이고, 이것을 층층이 쌓아 잔차 연결과 정규화로 감싼 것이 트랜스포머입니다.

• 범주론

  … 규칙이고, 행렬 곱의 결합법칙이 범주의 결합법칙입니다. n을 ℝⁿ으로 보내면 m×n 행렬과 ℝⁿ → ℝᵐ선형변환이 빠짐없이 하나씩 대응하고, 유한 차원 실수 벡터 공간은 모두 어떤 ℝⁿ과 동형입니다. 그래서 행렬의 …

• 자연 변환

  … 계산해 맞춰 보는 방법은 중국인의 나머지 정리로 완성되고, 기저를 고르지 않는 정의가 왜 좋은지는선형변환과 행렬을 견주어 보면 드러납니다. 모든 것의 출발점인 범주와 함자의 정의는 범주론에 있습니다. …

• 수반 함자

  … 선형대수에서 더 익숙한 모습도 있습니다. 기저가 e_1, \dots, e_n 인 벡터 공간에서 W로 가는선형변환은, 기저 벡터 n개를 W의 아무 벡터로 보내는 방법과 정확히 하나씩 대응합니다. 행렬의 j번째 열이 …

• 선형 논리와 선형 타입

  … 선형대수와도 실제로 닿아 있습니다. 벡터 공간의 텐서곱에서 v \mapsto v \otimes v 는선형변환이 아닙니다. 2v를 넣으면 (2v) \otimes (2v) = 4\,(v \otimes v) 가 나와 두 …

• 모노이드 범주와 끈 그림

  … 이루어지지만, 텐서곱 V\otimes W 는 mn차원이고 기저가 e_i\otimes f_j 들입니다. 두선형변환f: V\to V' , g: W\to W' 의 텐서곱 f\otimes g 는 e_i\otimes f_j 를 …

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