사인파: 진폭·주기·위상(Sinusoid: amplitude, period, phase)
A·sin(ωt + φ)는 반지름 A인 원 위를 각속도(angular velocity) ω로 도는 점의 그림자다. 진폭(amplitude), 빠르기, 출발 각도 세 수로 정해진다.
반지름
세 수의 역할이 그림에서 분리되어 보입니다. A는 원의 크기, 곧 파동의 높이입니다. ω는 도는 빠르기이고 한 바퀴에 걸리는 시간(주기, period)은
도는 점을 복소수(complex number)
마찰이 없다면, 용수철에 매달린 추는 제자리에서 벗어난 거리에 비례하는 힘으로 반대쪽으로 당겨집니다. 이것을 식으로 쓰면 가속도가 위치의
양 끝이 고정된 줄의 떨림은 제자리에서 오르내리는 사인파들의 합입니다. 줄의 각 점의 가속도가 그 점에서 줄이 휜 정도에 비례한다는 식, 파동방정식(wave equation)을 풀면 그렇게 나옵니다.
네모파처럼 값이 갑자기 뛰는 곳(불연속점)이 있는 모양을 푸리에 급수의 앞 항들로 흉내 내면, 아무리 많이 더해도 그 옆에 뛴 높이의 약 9%만큼 튀어나온 뿔이 남습니다(깁스 현상, Gibbs phenomenon).
진동수가 등비수열(geometric progression)로 줄어드는 사인파와 코사인파를 한 벌 모으면 수 하나(위치)를 벡터(vector)로 적을 수 있습니다. 2017년 처음 발표된 트랜스포머(transformer)가 토큰(token)의 순서를 알려 주려고 쓴 방법이 이것입니다(위치 인코딩(positional encoding)).
이 개념이 나오는 긴 글
이 개념 위에 세워진 것
이 개념을 언급하는 페이지
- 사인과 코사인
… 입니다. 평면을 θ만큼 돌리는 회전 행렬의 성분도 이 두 수입니다. sin과 cos을 늘이고 밀면 온갖사인파가 되고, 그 사인파들을 더하면 웬만한 주기 함수(예컨대 조각마다 매끄러운 함수)를 원하는 만큼 가깝게 …
- 오일러 공식
… e^{at} 이 크기를 줄이거나 키우는 동안 e^{ibt} 가 계속 돌리니 해가 나선을 그립니다.사인파와 푸리에 급수: e^{i\omega t} 를 시간 t에 따라 돌리면(ω는 도는 빠르기) 그 그림자가 …
- 선형 미분방정식
… \lambda^n 을 넣어 풉니다. 피보나치 수열이 그 예입니다. 원 운동하는 점의 한 좌표만 보면사인파가 나옵니다. 용수철에 매단 추는 가속도가 위치에 비례해 반대쪽을 향하는데( x'' = -kx ), 위치와 …
- 삼각함수의 덧셈정리
… 각도가 더해진다"는 한 사실의 실수부와 허수부입니다. 덧셈정리는 여러 곳에서 쓰입니다. 진동수가 같은 두사인파를 더하면 진폭과 위상(출발 각도)만 다른 사인파 하나가 되는 것도 이 공식 덕분입니다. 진동수가 조금 …
- 푸리에 급수
각진 파동도 매끄러운사인파들을 더해 만들 수 있습니다. 를 진동수 1배부터 n = 배까지의 사인파로 근사해 봅시다. 흰 곡선이 목표 …
- 리사주 곡선
점의 가로 위치를 진동수 a 인사인파, 세로 위치를 진동수 b 인 사인파로 동시에 움직여 봅시다. 비율은 이고, 세밀하게는 a = , b = …
- 최대공약수와 유클리드 호제법
… 곡선⟧은 두 왕복이 동시에 끝나는 최소공배수 ab/\gcd(a, b) 초 뒤에야 처음으로 닫힙니다(주기). 예를 들어 4초와 6초면 24/2 = 12 초입니다. 두 수의 공약수는 모두 최대공약수를 나눕니다. …
- 파동방정식
… 길을 택했습니다. 제자리에서 모양을 지킨 채 위아래로만 떠는 파동, 곧 정상파를 찾은 것입니다. 이번에는사인파모양 하나 \sin kx 를 넣어 봅시다. u_{xx} = -k^2 u 이므로 높이 b는 b'' = …
- 깁스 현상
−1에서 +1로 뛰어오르는 네모파를 푸리에 급수의 부분합으로 근사합니다. 홀수 진동수의사인파를 m = 개 더합니다. 더하는 방법: . S_m(x) = \frac{4}{\pi}\left(\sin x …
- 분기
… 안으로 감기던 나선이 밖으로 풀립니다. 이때 평형점 둘레에 일정한 크기로 도는 고리, 곧 스스로 유지되는진동이 생길 수 있습니다. 이것이 오스트리아 태생의 수학자 에버하르트 호프의 이름이 붙은 호프 분기 입니다. …
- 이산 코사인 변환
… 때문이고, 높은 진동수를 버리면 매끄러워지는 것도 같은 원리입니다. 각 기저는 진폭과 진동수를 가진사인파를 표본으로 뽑은 것이고, 변환 전체는 하나의 선형변환입니다. 소리나 그림을 애초에 표본으로 뽑아도 …
- 섀넌–하틀리 정리
… 가장 해로운 이유는 최대 엔트로피 원리와 정규분포의 엔트로피로 이어지고, 신호를 여러 진동수의사인파로 나누는 푸리에 급수가 '대역폭'이라는 말의 바탕입니다. 전력을 잡음이 다른 여러 대역에 나눠 쓸 …
- 표본화 정리
… 있을 때의 통신」에서 증명과 함께 널리 알렸습니다. \cos(2\pi f t + \varphi) 꼴의사인파로 시작합시다. 진동수가 f = Hz인 파동을 1초에 f_s = 번 뽑습니다. 파란 선: 실제 파동, 노란 …
- 동역학계
… 푸앵카레가 이런 문제를 이해하려고 다듬은 도구이기도 합니다. 흔들림이 작을 때 진자는 거의사인파처럼 움직여, 이 페이지의 단위에서 주기가 2π에 가깝습니다.
- 트랜스포머
… 더했습니다. 성분을 둘씩 짝지어, 짝마다 진동수 \omega_i = 10000^{-2i/d} 가 다른사인파를 씁니다. PE(p)_{2i} = \sin(\omega_i\, p), \qquad PE(p)_{2i+1} …
- 위치 인코딩의 변천
… 벡터의 성분을 둘씩 짝지어, i번째 짝에 진동수 \omega_i = 10000^{-2i/d} 의사인파를 씁니다. PE(p)_{2i} = \sin(\omega_i\, p), \qquad PE(p)_{2i+1} …