허수 단위 i(Imaginary unit i)

실수⁠(real number)⁠는 제곱하면 0 이상이니, 수직선 위에는 "제곱해서 −1"인 수가 없습니다. 그래서 수직선 밖에 새 수 $i$를 하나 들이고 규칙을 하나만 정합니다. $i^2 = -1$. 나머지는 보통의 덧셈과 곱셈 규칙을 그대로 따릅니다. 이 수들은 평면에 그립니다. 복소수⁠(complex number)⁠ $a + bi$를 평면의 점 $(a, b)$로 그리고, 가로는 실수 a, 세로는 i의 몫 b입니다.

i를 곱하면 무슨 일이 생기는지 축 위의 점으로 먼저 봅시다. 1에 i를 곱하면 i(위로 1)입니다. 다시 i를 곱하면 $i^2 = -1$(왼쪽으로 1), 또 곱하면 $-i$(아래로 1), 한 번 더 곱하면 1로 돌아옵니다. 네 점이 원점 둘레를 90°씩 돕니다.

아무 점에서도 같습니다. 규칙 $i^2 = -1$을 쓰면 $i(a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai$이니, 점 $(a, b)$가 $(-b, a)$로 갑니다. 이것이 원점 둘레의 90° 회전입니다. 아래 그림의 처음 값 $z = 1.7 + 0.8i$라면 $iz = -0.8 + 1.7i$입니다. 거꾸로 보아도 맞아떨어집니다. 90°씩 두 번 돌리면 반 바퀴, 다시 말해 방향이 정반대가 되니 −1배이고, 이것이 $i^2 = -1$입니다.

i를 번 곱하면 돕니다. k를 0에서 8까지 바꾸며 빨간 화살표가 네 자리를 차례로 도는 것을 보세요.

z를 어디로 끌든 z, iz, −z, −iz의 끝은 정사각형을 이루고, k가 4 늘 때마다 빨간 화살표는 같은 자리로 돌아옵니다. 흔히 허수(imaginary number)라는 이름 때문에 '실재하지 않는 상상의 수'라고 생각하지만, i에는 '평면을 90° 돌리기'라는 분명한 뜻이 있습니다.

행렬⁠(matrix)⁠을 아는 독자를 위해 덧붙이면, 이 회전⁠(rotation)⁠을 행렬로 쓰면 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$이고, 이 회전 행렬⁠(rotation matrix)⁠을 제곱하면 $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$가 나옵니다. I는 아무것도 바꾸지 않는 단위행렬⁠(identity matrix)⁠이니, −I는 모든 점을 원점 반대편으로 보내는 −1배입니다.

더 나아가면, "90° 회전"은 미적분⁠(calculus)⁠에도 숨어 있습니다. 원 위를 일정한 빠르기로 도는 점을 생각해 봅시다. 그 점이 나아가는 방향(속도⁠, velocity⁠)은 언제나 원점에서 그 점으로 향하는 방향을 90° 돌린 방향, 다시 말해 원의 접선⁠(tangent line)⁠ 방향입니다. 그래서 sin과 cos은 (부호 하나를 빼면) 서로의 도함수(순간 변화율)가 됩니다. 단위원⁠(unit circle)⁠ 위에서 각도 θ만큼 돌아간 점을 $e^{i\theta}$로 쓰면, 이 점은 θ로 미분⁠(differentiation)⁠하면 i배가 되는 성질이 있습니다. 위치를 90° 돌린 방향으로 움직이니 원을 그리는 것이고, 이것이 오일러 공식⁠(Euler's formula)⁠의 내용입니다. i 대신 아무 복소수를 곱하면 회전에 늘이기가 더해집니다(복소수 곱셈⁠, complex multiplication⁠).

i의 거듭제곱 1, i, −1, −i는 네 번에 한 바퀴를 돕니다. 이 넷은 모두 네제곱하면 1이 되는 수, 다시 말해 1의 네제곱근입니다. 예를 들어 $(-i)^4 = ((-i)^2)^2 = (-1)^2 = 1$입니다. 그래서 $i^k$는 지수 k를 4로 나눈 나머지⁠(remainder)⁠만 알면 정해집니다. 7 = 4 × 1 + 3이니 $i^7 = i^4 \cdot i^3 = i^3 = -i$입니다. 지수끼리 더할 때($i^j \cdot i^k = i^{j+k}$) 4로 나눈 나머지만 따라가면 된다는 점에서, 이것은 정수⁠(integer)⁠를 어떤 수로 나눈 나머지끼리 계산하는 모듈러 연산⁠(modular arithmetic)⁠과 같은 구조입니다. 네 번 대신 n번에 한 바퀴를 도는 수를 생각하면 n으로 나눈 나머지의 계산이 됩니다.

음수의 제곱근은 16세기 이탈리아에서 삼차방정식의 근의 공식⁠(quadratic formula)⁠을 쓰다가 처음 피할 수 없게 되었습니다. 답이 실수인데도 계산 중간에 음수의 제곱근이 나타났기 때문입니다(복소수). '상상의 수'라는 이름은 데카르트가 이런 수를 그렇게 부른 데서 왔습니다. i라는 기호는 1777년 오일러의 논문에서 처음 쓰였다고 알려져 있습니다(출판은 1794년).