라돈 변환과 CT(Radon transform and computed tomography)

X선이 몸을 지나면 조직에 흡수되거나 흩어져 약해집니다. 흡수율이 μ인 곳을 짧은 거리 dt만큼 지나면 세기가 $\mu\,dt$의 비율만큼 줄어서, 전체로는 $I = I_0\, e^{-\int \mu\, dt}$가 됩니다. 흡수율 0.2/cm인 조직 10cm를 지나면 적분이 2이고 세기는 $e^{-2} \approx 13.5\%$로 줄어듭니다. 거꾸로, 들어간 세기와 나온 세기를 재어 $-\ln(I/I_0)$를 계산하면 빔이 지나간 직선을 따라 흡수율을 적분한 값 하나를 얻습니다. 측정 하나는 수 하나입니다. 직선을 옮기고 돌려 가며 모두 재면, 흡수율 분포 f의 라돈 변환⁠(Radon transform)⁠을 잰 셈입니다.

평면의 직선은 두 수로 정해집니다. 직선에 수직인 방향의 각 θ(0°에서 180°까지)와, 원점에서 직선까지의 부호 있는 거리 s입니다. 직선 $x\cos\theta + y\sin\theta = s$를 따라 f를 적분한 값을 $(\mathcal R f)(\theta, s)$로 씁니다. 이 값들을 θ를 가로축, s를 세로축으로 늘어놓은 그림을 사이노그램⁠(sinogram)⁠이라 부릅니다. 이름에는 까닭이 있습니다. 밝은 점 하나 $(x_0, y_0)$를 생각합시다. 원점에서 이 점까지의 거리를 r, 이 점의 방향각을 α라 하면 $(x_0, y_0) = (r\cos\alpha, r\sin\alpha)$입니다. 이 점은 자기를 지나는 직선의 적분에만 들어가고, 그 직선들은 $s = x_0\cos\theta + y_0\sin\theta = r\cos(\theta - \alpha)$를 만족합니다. 그래서 사이노그램에서 점 하나는 진폭⁠(amplitude)⁠이 r이고 α만큼 옆으로 밀린 사인⁠(sine)⁠ 곡선이 됩니다. 아래 왼쪽의 점 셋을 끌고, 각 θ = °를 바꿔 보세요.

왼쪽의 흰검은 직선이 방향 θ의 검출기 축(s축)이고, 점선은 각 점을 지나는 빔입니다. 빔이 검출기에 닿는 자리가 그 점의 s입니다. 오른쪽은 θ를 0°에서 180°까지 돌릴 때 각 점의 s가 그리는 곡선이고, 노란 세로선이 지금의 θ입니다. 원점에 가까운 점은 진폭이 작은 곡선을, 먼 점은 크게 출렁이는 곡선을 그립니다. θ를 180° 돌리면 같은 직선을 반대 방향에서 보는 것이라 s의 부호만 바뀝니다. 그래서 0°에서 180°까지만 재면 충분합니다.

되찾는 방법은 두 단계로 이해할 수 있습니다. 먼저 역투영입니다. 각 측정값을 그 값이 나온 직선을 따라 고르게 되돌려 칠하고 모든 방향을 더합니다. 이것은 정확한 역이 아닙니다. 점 하나를 역투영⁠(back-projection)⁠하면 그 점을 지나는 모든 직선이 칠해져서, 밝기가 거리 r에 반비례해 번집니다. 역투영은 f를 $1/r$의 무게로 흐리게 한 것을 돌려줍니다. 다음으로 이 흐림을 되돌립니다. 열쇠는 푸리에 조각 정리입니다. 한 방향의 투영 $(\mathcal Rf)(\theta, \cdot)$을 1차원 푸리에 변환하면, f를 2차원 푸리에 변환한 것을 원점을 지나는 방향 θ의 직선으로 자른 조각과 같습니다. 조각들은 원점 근처에 빽빽하고 멀리 갈수록 성기므로, 각 투영에 주파수의 크기 $|\omega|$를 곱해(램프 필터⁠, ramp filter⁠) 밀도를 바로잡은 뒤 역투영하면 f가 돌아옵니다. 이것이 거른 역투영이고, 상수배를 빼면 다음과 같이 씁니다.

$$f(x, y) \;\propto\; \int_0^{\pi} \bigl(h * (\mathcal R f)(\theta, \cdot)\bigr)(x\cos\theta + y\sin\theta)\, d\theta, \qquad \hat h(\omega) = |\omega|$$

이것은 역문제⁠(inverse problem)⁠입니다. 램프 필터는 높은 주파수를 주파수에 비례해 키우므로 측정 잡음도 함께 키웁니다. 다만 흐린 사진을 되돌릴 때처럼 지수적으로 키우지는 않아서, 라돈 변환의 역은 역문제 가운데 순한 편입니다. 실제 기계는 램프의 높은 끝을 누그러뜨린 필터(1974년 셰프와 로건의 필터⁠(filter)⁠ 등)를 써서 잡음과 선명함 사이에서 타협하는데, 그것이 곧 정규화입니다. 방향을 몇 개만 재거나 한쪽 각도 범위를 통째로 잴 수 없으면 문제는 훨씬 사나워지고, 이때는 단면이 조각마다 고르다는 믿음을 더하는 압축 센싱⁠(compressed sensing)⁠ 같은 방법을 씁니다.

역사는 에둘러 갔습니다. 1917년 빈의 요한 라돈은 순수한 적분기하학⁠(integral geometry)⁠의 질문으로 이 변환과 역변환 공식을 발표했습니다. 함수가 연속이고 멀리 갈수록 충분히 빨리 작아지면, 모든 직선 적분이 함수를 하나로 정한다는 내용입니다. 1956년 전파 천문학자 로널드 브레이스웰은 태양의 전파 지도를 만들며 푸리에 조각 정리⁠(Fourier slice theorem)⁠를 썼습니다. 남아프리카 출신의 앨런 코맥은 방사선 치료의 선량 계산에서 출발해 1963–1964년에 직선 적분으로 몸속을 되찾는 논문을 냈고, 영국 EMI의 고드프리 하운스필드는 코맥의 논문을 모른 채 기계를 만들어 1971년 10월 첫 환자의 뇌를 찍었습니다. 두 사람은 1979년 노벨 생리의학상을 받았습니다. 같은 수학이 전자 현미경 사진에서 분자의 3차원 모양을 되살리는 일, 핵의학 영상, 지진파로 땅속을 그리는 지진 단층 촬영에도 쓰입니다.

이어지는 곳. CT의 역사와 거른 역투영⁠(filtered back-projection)⁠을 머리 모형으로 직접 돌려 보는 그림은 긴 글 「거꾸로 푸는 문제는 왜 어려운가」 7절에 있습니다. 조각 정리와 램프 필터는 푸리에 급수⁠(Fourier series)⁠의 생각에 기대고 있습니다. 함수를 사인파⁠(sinusoid)⁠로 나누면, 흐림 같은 합성곱⁠(convolution)⁠이 주파수마다의 곱셈이 된다는 생각입니다. 측정 하나가 직선 위의 적분이라는 것은 정사영⁠(orthogonal projection)⁠과 닮았습니다. 둘 다 한 방향을 눌러 없애 차원을 하나 낮춥니다. 다만 정사영은 점을 옮기기만 하고, X선 투영은 그 방향으로 겹친 흡수율을 모두 더합니다. 역투영이 잡음과 흐림을 만나는 방식은 역문제 페이지의 조건수⁠(condition number)⁠와 정규화로, 적은 측정으로 단면을 되살리는 방법은 라소⁠(lasso)⁠와 L1 노름⁠(norm)⁠으로 이어집니다.