자연로그(Natural logarithm)

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이 개념을 언급하는 페이지

• 정적분

  … 적분은 기댓값입니다. 유명한 넓이도 몇 있습니다. 곡선 1/t 아래 1부터 x까지의 넓이(x > 0)는자연로그\ln x 입니다. 종 모양 곡선 e^{-x^2} 아래 전체 넓이는 √π입니다. 이 곡선을 가로로 …

• 미적분의 기본정리

  … 미분하면 1/x가 됩니다. \ln x 도 도함수가 1/x이고 둘 다 x = 1에서 0이니, 그 넓이 함수가자연로그임을 알 수 있습니다. 하지만 한계도 있습니다. 다항식, 지수함수, 로그, 삼각함수를 사칙연산과 합성으로 …

• 연쇄법칙

  … 경우입니다. e^{g(x)} 의 미분이 g'(x)e^{g(x)} 인 것(지수함수)도 연쇄법칙입니다.로그의 미분도 eˣ의 역함수라는 점에서 구합니다. e^{\ln x} = x 의 양변을 미분하면 e^{\ln …

• 지수함수 eˣ

  … 입니다(기본정리). 이 급수에 허수를 넣은 것이 오일러 공식입니다. eˣ를 되돌리는 함수가자연로그이고, 지수에 −x²을 넣은 종 모양 곡선은 정규분포와 가우스 적분의 주인공입니다. p가 작을 때 …

• 중심극한정리

  … 값은 e^{-t^2/2} 로 다가가고, 원래 분포의 개성이 담긴 '더 작은 항'들은 사라집니다(이 극한은로그를 취해 계산합니다). 그런데 e^{-t^2/2} 가 바로 표준정규분포의 특성함수입니다. 가우스 곡선은 …

• 소수 정리

  … = \int_2^x dt/\ln t 에 가까워야 하고, 더 거칠게는 x/\ln x 입니다(분모의자연로그가 소수를 점점 드물게 만듭니다). 지금 두 근삿값은 , 입니다. 가로축은 log₁₀ x입니다. 두 비율 …

• 조화급수

  … 1/x 보다 높습니다. 그래서 n개 막대의 넓이 합 H_n 은 1부터 n + 1까지 곡선 아래 넓이, 곧자연로그\ln(n+1) 보다 큽니다. 그리고 로그는 끝없이 자랍니다. 느리지만 멈추지 않습니다. 합이 100을 …

• 원시근

  … 제곱근들의 곱셈과 정확히 같은 구조입니다. 거꾸로 g^k 에서 지수 k 를 되찾는 일을 보통의로그에 빗대어 이산로그 라 부릅니다. p 가 수백 자리이면 이 되돌리기를 빠르게 하는 방법이 알려져 있지 …

• 디피–헬먼 키 교환

  … 거듭제곱에서 지수를 되찾는 문제를 이산로그 라 합니다. 실수 위의 지수함수는 매끄럽게 커지니로그로 쉽게 되돌리지만, 나머지를 취하는 순간 값이 시계를 여러 바퀴 돌아 흩어집니다. 한편 g^a 를 …

• 소수 판정

  … 만에 나올지는 소수 정리와 기댓값이 알려 줍니다. x 근처에서 소수의 비율은 약 1/\ln x (자연로그)이고 홀수만 고르면 약 2/\ln x 이니, 300자리 홀수라면 평균 약 \ln(10^{300})/2 …

• 쌍둥이 소수

  … 고르게 하나를 뽑으면 소수일 확률이 그만큼입니다). 그러니 p 근처의 평균 간격은 약 \ln p 이고,자연로그라서 아주 천천히 늘어납니다. 간격은 얼마든지 커질 수도 있습니다. k! + 2, k! + 3, …

• 리만 제타 함수

  … e^{-it\ln n} 이니(오일러 공식) 각 항은 길이 n^{-\sigma} 인 화살표를로그\ln n 에 비례한 각도로 돌린 것입니다. 합은 \sigma > 1 에서만 한 값에 다가갑니다(수렴). …

• 스털링 공식

  … 같은 말입니다. 상대오차는 대략 1/(12n) 이라 n = 10에서 이미 1%보다 작습니다. 곱을 합으로.로그를 취하면 곱이 합이 됩니다: \ln n! = \ln 2 + \ln 3 + \cdots + \ln n . …

• 중앙값

  … 시간처럼 오른쪽 꼬리가 긴 지수분포에서는 중앙값이 평균의 \ln 2 \approx 0.69 배입니다(자연로그). 분포의 중앙값이 하나로 정해져 있다면, 표본의 중앙값도 큰 수의 법칙의 평균처럼 표본이 커질수록 …

• 로지스틱 사상

  … n걸음 뒤에는 이 배율들의 곱만큼 벌어집니다(두 궤도가 아주 가까운 동안의 이야기입니다). 그 곱의로그를 걸음 수로 나눈 평균, \lambda = \lim \tfrac1n \sum \ln|f'(x_k)| 가 …

• 혼돈

  … 만큼 옆에서 시작합니다. k = . 오른쪽 그림은 두 궤도 사이의 거리 |\delta_n| 을로그눈금으로 그린 것입니다. 로그 눈금에서는 지수적으로 자라는 양이 직선이 되고, 그 기울기가 랴푸노프 …

• 로렌츠 끌개

  … 어느 순간 서로 다른 날개로 갈라섭니다. 지금 거리는 |\delta| = 입니다. 아래 그림에서 거리의로그가 거의 직선으로 오르니 거리는 지수적으로, |\delta(t)| \approx \varepsilon …

• 푸앵카레 원판

  … 180°가 됩니다. 원점에서 반지름 r 인 점까지의 쌍곡 거리는 \ln\frac{1+r}{1-r} 입니다(자연로그). r \to 1 이면 이 값은 한없이 커지므로(극한) 원판 안에서 유한한 거리를 걸어서는 경계에 …

• 좁은 세상

  … 모두에 닿는 데는 k^r = n , 곧 r = \ln n / \ln k 걸음이면 됩니다. 거리가 크기의로그로만 자라는 것입니다. 80억 명이 한 사람당 100명씩 안다고 하면 \ln(8\times10^9)/\ln …

• 하버사인 공식

  … 1에 가까운 코사인 값은 쓸모가 없었습니다. 게다가 하버사인은 음수가 되지 않아 부호를 따질 필요가 없고,로그를 취해 곱셈을 덧셈으로 바꾸기도 좋았습니다. '하버사인'이라는 이름은 1835년 영국의 수학자이자 해군 …

• 지프의 법칙

  … 미국 언어학자 조지 킹슬리 지프가 여러 언어의 자료로 널리 알려서 지프의 법칙이라고 부릅니다. 양변에로그를 취하면 \log f = \log C - s\log r 이니, 가로축과 세로축을 모두 로그로 그리면 …

• 정보 엔트로피

  … 비트로 정했습니다. 확률 1/2인 일은 1비트, 1/4인 일은 2비트, 1/1024인 일은 10비트입니다.로그를 쓰는 이유는 서로 독립인 두 일의 확률은 곱해지지만 정보는 더해져야 하기 때문입니다. 엔트로피는 이 …

• 은닉 마르코프 모델

  … T N^2 에 비례하는 횟수의 곱셈으로 끝납니다. 편집 거리와 같은 동적 계획법입니다. 확률에 −로그를 씌우면 곱이 합으로, 최대가 최소로 바뀌어, 이 계산은 날짜별 상태를 점으로 둔 격자 그래프 위의 …

• 점근 표기법

  … \approx 입니다. 1초에 10억 걸음을 가는 컴퓨터로 n^2 걸음은 , 2^n 걸음은 걸립니다.로그\log_2 n 은 n을 천 배로 늘려도 10쯤 늘 뿐이고, 지수함수 2^n 은 n이 하나 늘 때마다 …

• 이진 탐색

  … 목록이 10^m 개, m = 이면 이진 탐색은 많아야 번, 순차 탐색은 최악의 경우 번 비교합니다.로그와 그 역인 지수의 차이, 점근 표기법으로 말하면 O(\log n) 과 O(n) 의 차이입니다. …

• 힙과 우선순위 큐

  … 어느 쪽이든 한 층에 비교 한두 번이니 모두 높이의 두 배 이하, 곧 O(\log n) 입니다(로그). 지금까지 꺼낸 값: . 그사이 더 작은 값을 새로 넣지 않는 한 꺼낸 값은 작아지지 않는 순서로 …

• 원천 부호화 정리

  … 0입니다. 이 사실을 미국 물리학자 깁스의 이름을 따 깁스 부등식이라 부릅니다. 깁스 부등식의 열쇠는로그곡선의 모양입니다. 로그 곡선은 위로 볼록하게 휘어 있어서 곡선 위 두 점을 잇는 선분이 늘 곡선 아래에 …

• 렘펠–지브 압축

  … 번 되풀이한 글자 개가 토큰 개로 줄어듭니다. 늘어나는 것은 길이 ℓ을 적는 자릿수뿐이고, 그것은로그만큼만 자랍니다. 실제 압축기는 가장 긴 겹침을 빨리 찾으려고 세 글자짜리 조각마다 그것이 나왔던 자리들을 …

• 결합 엔트로피와 조건부 엔트로피

  … = p(x)\,p(y\mid x) 에 -\log_2 를 씌워 평균한 것뿐입니다. 곱이 합으로 바뀌는 것은로그의 성질이지요. d를 0으로 내리면 내일이 오늘과 무관해져서 H(Y|X) = H(Y)이고, 오른쪽의 첫 두 …

• 쿨백–라이블러 발산

  … 참인 분포가 p이고 경쟁 가설이 q일 때 결과 i가 나오면, 두 가설의 확률 비(가능도비)의로그\log(p_i/q_i) 만큼 p 쪽으로 증거가 쌓입니다(이 값이 음수면 q 쪽으로 쌓입니다). 이것을 …

• 섀넌–하틀리 정리

  … 것을 보였습니다. 같은 1928년 벨 연구소의 랠프 하틀리는 정보의 양을 '구별할 수 있는 선택지 수의로그'로 정했습니다. 펄스마다 M가지 높이 가운데 하나를 고르면 펄스 하나가 \log_2 M 비트를 싣고, …

• 맥스웰의 악마와 란다우어 원리

  … T}{V'}\,dV' = k_B T \ln 2 의 일을 얻습니다( k_B 는 볼츠만 상수, ln은 자연로그). 1비트의 정보가 k_B T \ln 2 의 일로 바뀐 것입니다. 이 과정을 되풀이하면 열원 하나에서 …

• 삼체 문제

  … 자라 결국 삼각형이 무너지고 세 물체가 뒤엉킵니다. 차이가 지수적으로 자라므로 아래 그림에서 거리의로그가 직선으로 오르고, k를 1 올려 처음 차이를 10분의 1로 줄여도 무너지는 시각은 약 4.3만큼 늦춰질 …

• 최대가능도법

  … + 1)입니다(지금은 ). 확률분포라면 넓이가 1이어야 합니다. 가장 큰 곳 찾기. 곱은 다루기 어려우니로그를 취합니다. 로그는 늘 증가하는 함수라서 L이 가장 큰 곳과 log L이 가장 큰 곳은 같습니다. …

• 로지스틱 회귀

  … 입니다. 점들이 서로 독립이라고 보면 자료 전체가 나올 확률은 이것들의 곱이고, 곱을 가장 크게 하는 것은로그를 씌운 합을 가장 크게 하는 것과 같습니다. 부호를 바꿔 평균하면 줄여야 할 손실이 됩니다. L(w, …

• 소프트맥스와 교차 엔트로피

  … 것이 됩니다. 통계학에서는 이 모형을 다항 로지스틱 회귀라고 부릅니다. 학습에는 정답에 준 확률의 음의로그를 손실로 씁니다. 정답이 고양이라면 -\ln 0.659 \approx 0.417 이고, 지금 손실은 …

• 규모의 법칙

  … 1쯤입니다. 캐플런 등은 학습에 쓰지 않은 글에서 잰 손실을 N에 대해 그렸습니다. 그래프의 두 축은로그눈금이었습니다. 로그 눈금에서는 1, 10, 100, 1000이 같은 간격으로 놓입니다. 그렇게 그리자 …

• 모노이드

  … 길이는 이어 붙이기를 덧셈으로 옮깁니다(len(uv) = len u + len v, len '' = 0).로그는 양수의 곱셈을 덧셈으로 옮기고(log xy = log x + log y, log 1 = 0), …

• 위치 인코딩의 변천

  … 뿐입니다. 헤드마다 따로, 층끼리는 공유하며, 거리를 32개 칸으로 묶되 가까운 거리는 촘촘히, 먼 거리는로그간격으로 넓게 묶고 128이 넘는 거리는 모두 한 칸에 넣었습니다. 이 셋은 모두 거리를 입력이 아니라 …

• 프랙털 차원

  … = (1/r)^D , 곧 D = \log N/\log(1/r) 를 차원이라고 부르는 것이 자연스럽습니다(로그). 이것을 닮음 차원이라고 합니다. 이 규칙을 1904년 헬게 폰 코흐가 만든 곡선에 써 봅시다. 선분을 …

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