테일러 급수(Taylor series)

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• 극한

  … + \cdots 의 부분합 1/2, 3/4, 7/8, …이 1에 다가가므로 이 등비급수의 값은 1이고,테일러 급수의 값도 같은 방식으로 정합니다. 확률에서는 같은 시행을 독립적으로 늘릴수록 결과의 평균이 (기댓값이 …

• 국소 선형성

  … 3차식처럼 차수가 높은 다항식으로 흉내 내면 테일러 다항식이 되고, 차수를 끝없이 올린 것이테일러 급수입니다. |x| 의 꼭짓점은 확대해도 V자 그대로입니다. 왼쪽과 오른쪽이 서로 다른 직선에 붙으니 …

• 도함수

  … 점에서 함숫값, 도함수 값, 이계 도함수 값, …을 끝없이 모으고 k번째 값을 k! 로 나눠 계수로 쓰면테일러 급수가 됩니다. 눈여겨볼 짝이 몇 있습니다. eˣ의 도함수는 자기 자신이고, sin의 도함수는 …

• 지수함수 eˣ

  … 뒤에 오일러가 붙였습니다. 모든 도함수가 자기 자신이니 모든 미분값이 x=0 에서 1입니다. 그래서테일러 급수의 계수가 모두 1/k! 이고, x = 1 을 넣으면 e = 1 + 1 + \tfrac12 + …

• 사인과 코사인

  … 돌아가니 sin → cos → −sin → −cos → sin, 네 번 미분하면 제자리입니다. 이 순환이테일러 급수의 계수 패턴( +,0,-,0 )을 만듭니다. "미분하면 90° 회전"이라는 말은 ⟦i를 곱하면 90° …

• 수렴반경

  … = \dfrac{1}{1+x^2} 은 실수 어디서나 매끄럽고 유한합니다. 그런데 중심 c = 에서 만든테일러 급수를 n = 차까지 올려 보면, 녹색 띠 안에서는 차수를 올릴수록 참값에 다가가지만(수렴), 띠 밖에서는 …

• 오일러 공식

  eˣ는 끝없이 더해 가는 식으로 쓸 수 있습니다. 이렇게 함수를 x의 거듭제곱들의 합으로 쓴 것을테일러 급수라 합니다. e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + …

• 영점과 극

  … |f(z)| 가 한없이 커지는 점입니다(극한). 함수를 복소평면으로 넓힐 수 있으면, 한 점에서 펼친테일러 급수가 어디까지 수렴하는지는 그 점에서 가장 가까운 특이점(극 따위)까지의 거리가 정합니다. 실수 함수라도 이 …

• 탄젠트

  … |x| \lt 1 에서 등비급수 1 - x^2 + x^4 - \cdots 와 같고, 한 항씩 적분하면테일러 급수\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots 가 …

• 푸리에 급수

  … 반영합니다. 절벽이 있는 네모파와 톱니파보다, 꺾이기만 하는 삼각파의 계수가 더 빨리 줄어듭니다.테일러 급수는 한 점 근처의 미분값으로 함수를 흉내 내지만, 푸리에 급수는 한 주기 전체의 모양을 한꺼번에 흉내 …

• 등비급수

  … 다가가지 않습니다. 이것을 발산이라 합니다. 이 단순한 급수가 곳곳의 뼈대입니다. 1/(1-x) 의테일러 급수가 바로 이것이고, x = 1 에서 분모가 0이 되어 막히니 수렴반경은 1입니다. 0.999\ldots …

• 이항계수

  … < 1일 때). 이때는 항이 끝나지 않고 무한히 이어지는데, 이것이 (1+x)^\alpha 의테일러 급수입니다. 예를 들어 α = 1/2이면 \sqrt{1+x} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 …

• 스털링 공식

  … x^n e^{-x}\,dx 입니다. 적분하는 함수는 x = n 에서 가장 높고, 그 근처에서 로그를테일러 전개해 2차항까지 남기면 x^n e^{-x} \approx n^n e^{-n}\, …

• 깁스 현상

  … 하고 끊기지 않은 뜯은 줄처럼 1/k^2 로 줄면 뿔이 생기지 않습니다. 한 점의 미분값만 보는테일러 급수는 절벽 너머를 아예 모릅니다. 네모파의 오른쪽 한 점에서 전개하면 상수 1만 나올 뿐입니다. 이 현상은 …

• 로렌츠 끌개

  … 한 걸음 동안 속도를 네 번 재어 가중 평균한 방향으로 나아가는 방법으로, 한 걸음의 결과가 참값의테일러 전개와 4차 항까지 일치합니다. 변수가 둘인 평면의 흐름에서는 궤도끼리 가로지를 수 없어 혼돈이 생길 수 …

• 구면기하

  … 입니다. 변이 작을 때 \cos x \approx 1 - x^2/2 , \sin x \approx x (테일러 급수의 앞 항들)를 넣으면 근사적으로 평면의 코사인 법칙이 나오고, C = 90^\circ 이면 구면의 …

• 가우스 곡률

  … e^{-\rho}) 입니다. 함수를 \rho, \rho^2, \rho^3, \dots 의 합으로 근사하는테일러 급수를 쓰면, \rho 가 작을 때 두 함수는 다음과 같습니다. \sin\rho \approx \rho - …

• 체비쇼프 거리

  … 근사할 때, 가장 크게 벌어진 곳의 오차가 가장 작은 다항식을 찾는 문제를 연구했습니다(근사 이론).테일러 다항식의 오차 한계도 구간 전체에서 가장 큰 오차, 곧 이 거리로 적힙니다. 푸리에 급수로 계단 모양 함수를 …

• 생성함수

  … x에 값을 넣으려는 것이 아니라 계수들을 한데 묶어 다루려는 것이라서, 수렴을 따지지 않는 '형식적'거듭제곱급수라고도 부릅니다. 이렇게 담으면 세기가 곱셈이 됩니다. x^a \cdot x^b = x^{a+b} 이므로, …

• 교란순열

  … - \cdots + \frac{(-1)^n}{n!}\right) 괄호 안은 e^{-1} 의테일러 급수를 n번째 항에서 자른 것입니다. 그래서 확률 D_n/n! 은 지수함수의 급수를 따라 1/e 로 아주 …

• 점근 표기법

  … 어림값과 참값의 차이(오차항)가 얼마나 빨리 자라는지를 O로 적습니다. 함수가 충분히 매끄러우면테일러 급수를 n차에서 끊었을 때 남는 부분은 O(x^{n+1}) 인데, 여기서는 n이 커질 때가 아니라 x가 0에 …

• 급수의 수렴과 발산

  … 값으로, 리만 제타 함수의 값 ζ(−1)과 이어집니다. 이어지는 곳. 함수를 항으로 삼는 급수, 곧테일러 급수와 푸리에 급수에서는 점마다 수렴하는 것보다 강한 균등 수렴이 필요할 때가 많고, 그렇지 않을 때 …

• 다항식

  … eˣ를 구할 때도 대개 입력을 작은 구간으로 옮긴 뒤 그 구간에 맞게 잘 고른 다항식을 계산합니다(테일러 급수, 근사 이론). 다항식끼리 더하고 빼고 곱하면 다시 다항식이 되고, 나누면 정수의 나눗셈처럼 몫과 …

• 점별 수렴과 균등 수렴

  … 수 있고, xⁿ이 1 바로 앞에서 보여 준 일이 정확히 그것입니다. 이 정리 덕분에 수렴반경 안에서거듭제곱급수는 연속입니다. 반경보다 조금 작은 닫힌 구간에서는 급수가 균등 수렴하기 때문입니다. 흔히 쓰는 판정법은 …

• 근사 이론

  … 대개 덧셈과 곱셈입니다. 그러니 함수를 다항식으로 바꾸어야 하는데, 어떤 다항식이 가장 좋을까요?테일러 급수는 한 점에서의 미분값만으로 다항식을 만들어 그 점 근처에서는 아주 정확하지만, 멀어질수록 오차가 …

• 삼체 문제

  … 우주선의 궤도는 이 방정식을 짧은 시간 걸음으로 나누어 컴퓨터로 적분해 설계합니다. 위 그림도 한 걸음마다테일러 전개의 4차까지를 맞추는 룽게–쿠타 방법을 쓰고, 물체들이 가까워질수록 걸음을 줄였습니다. 이어지는 곳. 삼체 …

• 일반 상대성 이론

  … 둡니다. 속도 효과의 식은 \sqrt{1 - v^2/c^2} \approx 1 - v^2/2c^2 라는테일러 전개의 첫 항에서 나옵니다. 두 효과는 높이 약 3,190 km(지구 반지름의 절반)에서 정확히 상쇄되고, …

• 자동 미분

  … sin, cos 같은 함수도 마찬가지입니다. 이런 함수를 다항식처럼 항이 끝없이 이어지는 합으로 펼친 것이테일러 전개인데, 거기에 a + b\varepsilon 를 넣으면 \varepsilon^2 이후의 항이 모두 사라지기 …

• 대수적 자료형

  … 타입의 미분이 언제나 구멍 하나 뚫린 맥락의 타입이라는 것을 정리했습니다. 멱급수를 항별로 미분하는 것(테일러 급수)과 같은 셈법이 자료 구조에서도 통하는 것입니다. 조합론에서는 앙드레 조얄의 종(species) …

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