수렴반경(Radius of convergence)
테일러 급수(Taylor series)가 수렴(convergence)하는 범위의 반지름. 중심에서 가장 가까운 복소평면(complex plane)의 특이점(singularity)까지의 거리와 같다(1/(1+x²)처럼 특이점이 극뿐이면 가장 가까운 극까지의 거리).
실수축만 봐서는 이유가 보이지 않습니다. 오른쪽 복소평면을 보세요. 이 함수(function)는
중심을 옮기면 극까지의 거리가 바뀌어 수렴 구간의 폭도 바뀝니다. 실수 함수의 행동을 복소수가 설명하는 대표적인 예입니다. 극의 모양은 도메인 컬러링(domain coloring)으로 보면 선명합니다.
수렴반경의 원형은 등비급수(geometric series)입니다. 1/(1−x) = 1 + x + x² + ⋯는 x = 1의 극까지의 거리, 곧 반지름 1 안에서만 수렴합니다.
이 개념이 나오는 긴 글
이 개념을 언급하는 페이지
- 테일러 급수
… 커지며 빗나갑니다. 끝없이 더한 합이 한 값에 다가가지 못하는 이런 경우를 발산이라 합니다. 그 거리가수렴반경인데, 이유는 실수축이 아니라 복소평면에 숨어 있습니다. 흔히 "테일러 급수는 원래 함수와 같다"고 …
- 도메인 컬러링
… 펼친 급수는 |x| \lt 1 에서만 수렴합니다. 그 까닭이 원점에서 거리 1인 극 \pm i 입니다(수렴반경). 색칠하기 전에 식을 여러 번 반복해 적용하면, 식에 따라 어디를 확대해도 복잡한 무늬가 계속 나타나는 …
- 영점과 극
… 점에서 가장 가까운 특이점(극 따위)까지의 거리가 정합니다. 실수 함수라도 이 거리는 복소평면에서 잽니다(수렴반경). zⁿ − 1의 영점들은 원 위에 고르게 놓인 1의 거듭제곱근입니다. 영점을 찾는 반복법인 ⟦뉴턴 …
- 탄젠트
… 이 두 점은 복소평면에서 원점과 거리 1이라, 원점을 중심으로 한 급수는 거리 1 밖으로 뻗지 못합니다(수렴반경).
- 등비급수
… 뼈대입니다. 1/(1-x) 의 테일러 급수가 바로 이것이고, x = 1 에서 분모가 0이 되어 막히니수렴반경은 1입니다. 0.999\ldots 는 \tfrac{9}{10} + \tfrac{9}{100} + …
- 리만 제타 함수
… 따로 보여야 합니다). 그래서 넓힌 함수는 하나로 정해집니다. 이렇게 넓히는 일을 해석적 연속이라 합니다.수렴반경밖으로 함수를 이어 가는 것과 같은 생각입니다. 이렇게 넓힌 함수에서 \zeta(-2) = …
- 생성함수
… 합이 되고, 거기서 황금비가 들어간 일반항이 바로 나옵니다. 이제 x를 실제 수로 보면, 이 급수의수렴반경은 원점에서 가장 가까운 분모의 근 1/\varphi \approx 0.618 이고, 그 역수 φ가 계수의 …
- 급수의 수렴과 발산
… 수렴하는 \sum 1/k^2 이 둘 다 그런 경우입니다. 거듭제곱 급수가 어디까지 수렴하는지 정하는수렴반경이 여기서 나옵니다. 부호가 섞인 급수에서는 한 가지를 더 따져야 합니다. 1 − ½ + ⅓ − ¼ + …
- 점별 수렴과 균등 수렴
… x에서는 전혀 안 맞을 수 있고, xⁿ이 1 바로 앞에서 보여 준 일이 정확히 그것입니다. 이 정리 덕분에수렴반경안에서 거듭제곱급수는 연속입니다. 반경보다 조금 작은 닫힌 구간에서는 급수가 균등 수렴하기 때문입니다. …
- 근사 이론
… 이런 점을 극이라 합니다(영점과 극). 극이 구간 가까이 있으면 도함수가 차수와 함께 빠르게 커집니다(수렴반경). 이 함수라면 앞의 분수가 대략 5^{n+1} 만큼 자랍니다. 그래서 고르게 놓은 점에서는 양 끝의 …